VG1
Løsningsforslag Matematikk 1PHøst 2023
Løsningsforslag – Matematikk 1P Høst 2023
Eksamen MAT1019
Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no.
Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.
DEL 1 – Uten hjelpemidler
Oppgave 1
Oppgave: Tobias veier 70 kg. En nettside sier at voksne har behov for ca. 30 mL væske per kilogram kroppsvekt per døgn. Hvor mange liter vann bør Tobias drikke i løpet av et døgn ifølge nettsiden?
Vi regner ut det totale væskebehovet:
\[70 \text{ kg} \cdot 30 \text{ mL/kg} = 2100 \text{ mL}\]
Vi gjør om fra milliliter til liter. Vi vet at \(1 \text{ L} = 1000 \text{ mL}\):
\[2100 \text{ mL} = \frac{2100}{1000} \text{ L} = 2{,}1 \text{ L}\]
Svar: Tobias bør drikke \(2{,}1\) liter vann i løpet av et døgn ifølge nettsiden.
Oppgave 2
Oppgave: Overskriften sier "Ni av ti nordmenn bruker sosiale medier". Første setning sier at 88 % av nordmenn bruker sosiale medier. De siste fem årene har andelen økt med 8 prosentpoeng.
a) Samsvarer overskriften med første setning? Begrunn svaret.
b) Hvor mange prosent tilsvarer økningen på 8 prosentpoeng?
a) Samsvarer overskriften med første setning? Begrunn svaret.
b) Hvor mange prosent tilsvarer økningen på 8 prosentpoeng?
a) Samsvarer overskriften med første setning?
"Ni av ti" betyr:
\[\frac{9}{10} = 0{,}90 = 90\,\%\]
Første setning sier at 88 % bruker sosiale medier. \(88\,\% \neq 90\,\%\), så overskriften samsvarer ikke helt med første setning.
Overskriften er en avrunding og gir et noe høyere tall enn det faktiske. Det er vanlig i overskrifter å bruke avrundede tall for å gjøre det lettere å forstå, men strengt tatt er det ikke helt presist.
Svar: Nei, overskriften samsvarer ikke helt med første setning. "Ni av ti" tilsvarer 90 %, mens det faktiske tallet er 88 %. Overskriften overdriver litt.
Vanlig feil: Mange svarer bare «ja» eller «nei» uten beregning. Du bor vise at «ni av ti» tilsvarer \(\frac{9}{10} = 90\%\) og sammenligne med 88 %. I tillegg er det lurt a nevne at overskriften avrunder oppover, noe som er vanlig i media men ikke matematisk presist.
b) Hvor mange prosent tilsvarer 8 prosentpoeng?
For fem år siden var andelen som brukte sosiale medier:
\[88\,\% - 8 \text{ prosentpoeng} = 80\,\%\]
Vi skal finne hvor mange prosent 8 prosentpoeng utgjør av den opprinnelige andelen (80 %):
\[\frac{8}{80} \cdot 100\,\% = 10\,\%\]
Svar: Økningen på 8 prosentpoeng tilsvarer en økning på \(10\,\%\).
Oppgave 3
Oppgave: Ohms lov sier at strømmen \(I\) gjennom en metallisk leder med konstant temperatur er proporsjonal med spenningen \(U\) og omvendt proporsjonal med motstanden \(R\).
1) Hvis vi øker spenningen, vil strømmen også øke.
2) Hvis vi øker motstanden, vil strømmen også øke.
Argumenter for om hver av påstandene er sann eller usann.
1) Hvis vi øker spenningen, vil strømmen også øke.
2) Hvis vi øker motstanden, vil strømmen også øke.
Argumenter for om hver av påstandene er sann eller usann.
Ohms lov kan skrives som:
\[I = \frac{U}{R}\]
Påstand 1: Hvis vi øker spenningen, vil strømmen også øke
Strømmen \(I\) er proporsjonal med spenningen \(U\). Det betyr at dersom \(R\) holdes konstant og \(U\) øker, så vil \(I = \frac{U}{R}\) også øke (telleren blir større mens nevneren er uendret).
Svar: Påstand 1 er sann. Når spenningen øker (og motstanden er konstant), øker strømmen.
Påstand 2: Hvis vi øker motstanden, vil strømmen også øke
Strømmen \(I\) er omvendt proporsjonal med motstanden \(R\). Det betyr at dersom \(U\) holdes konstant og \(R\) øker, så vil \(I = \frac{U}{R}\) bli mindre (nevneren blir større mens telleren er uendret).
Svar: Påstand 2 er usann. Når motstanden øker (og spenningen er konstant), synker strømmen.
Oppgave 4
Oppgave: Tabellen viser sammenhengen mellom hundealder og menneskealder. Sondre har en hund som er 2 år gammel (stor hund). Han mener at funksjonen \(H(x) = 6x + 12\) kan brukes som modell for antall menneskeår \(H(x)\) en stor hund er når den er \(x\) hundeår.
a) Forklar hvordan Sondre kan ha kommet fram til dette uttrykket, og argumenter for når modellen er gyldig.
b) Sondre påstår at modellen viser at alderen til en hund er proporsjonal med alderen til et menneske. Stemmer dette?
a) Forklar hvordan Sondre kan ha kommet fram til dette uttrykket, og argumenter for når modellen er gyldig.
b) Sondre påstår at modellen viser at alderen til en hund er proporsjonal med alderen til et menneske. Stemmer dette?
a) Forklaring av uttrykket \(H(x) = 6x + 12\)
Sondre tar utgangspunkt i kolonnen for store hunder fra 2 år og oppover:
| Hundealder (år) | Menneskealder (år) |
|---|---|
| 2 | 24 |
| 3 | 30 |
| 4 | 36 |
| 5 | 42 |
For hvert år hunden blir eldre, øker menneskealderen med 6. Det blir 6x-leddet i funksjonen.
Konstantleddet finner Sondre ved å sette inn et tabellpunkt, for eksempel \(x = 2\) med \(H = 24\):
\[6 \cdot 2 + b = 24 \quad \Rightarrow \quad b = 12\]
Det gir modellen \(H(x) = 6x + 12\).
Når modellen er gyldig: Yngre hunder vokser mye raskere. En 1-årig hund tilsvarer 16 menneskeår, ikke \(6 \cdot 1 + 12 = 18\). Modellen kan derfor bare brukes for store hunder fra ca. 2 år og oppover.
b) Er hundealder proporsjonal med menneskealder?
Proporsjonalitet betyr at \(H(x) = k \cdot x\) — altså at grafen går gjennom origo.
Sondres modell gir \(H(0) = 12\), ikke 0. Konstantleddet 12 gjør at linjen ikke går gjennom origo.
Svar: Påstanden stemmer ikke. Modellen er lineær, men ikke proporsjonal.
Oppgave 5
Oppgave: Dennis vil kjøpe en ny bil som koster 490 000 kr. Verdifallet er 20 % det første året, deretter 14 % av bruktprisen det andre året. Sett opp et regnestykke som vil gi bilens verdi etter 2 år.
Etter 1. år: Bilen taper 20 % av sin verdi. Vekstfaktoren er \(1 - 0{,}20 = 0{,}80\).
\[\text{Verdi etter 1 år} = 490\,000 \cdot 0{,}80\]
Etter 2. år: Bilen taper 14 % av bruktprisen (verdien etter 1 år). Vekstfaktoren er \(1 - 0{,}14 = 0{,}86\).
\[\text{Verdi etter 2 år} = 490\,000 \cdot 0{,}80 \cdot 0{,}86\]
Vi regner ut:
\[490\,000 \cdot 0{,}80 \cdot 0{,}86 = 490\,000 \cdot 0{,}688 = 337\,120\]
Svar: Regnestykket er \(490\,000 \cdot 0{,}80 \cdot 0{,}86 = 337\,120\) kr. Bilens verdi etter 2 år er 337 120 kroner.
Vanlig feil: Mange bruker 0,80 som vekstfaktor for begge arene, men nedgangen i det andre aret er 14 %, ikke 20 %. Les oppgaveteksten nøye: hvert ar kan ha ulik nedgangsprosent. Vekstfaktorene multipliseres i rekkefølge: \(0{,}80 \cdot 0{,}86\), ikke \(0{,}80^2\).
DEL 2 – Med hjelpemidler
Oppgave 1
Oppgave: Tabellen viser antall personer i Norge som hadde fiske som hovedyrke i perioden 1952–2022:
a) La \(x\) være antall år etter 1950. Bestem en modell \(F\) for antall fiskere.
b) Hvor mange fiskere i 2050 ifølge modellen? Vurder gyldighetsområde.
c) Bestem stigningstallet til linjen gjennom \((30, F(30))\) og \((70, F(70))\). Gi en praktisk tolkning.
| År | 1952 | 1982 | 1992 | 2002 | 2012 | 2022 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Antall fiskere | 65 956 | 25 289 | 19 780 | 13 841 | 9 825 | 9 591 |
a) La \(x\) være antall år etter 1950. Bestem en modell \(F\) for antall fiskere.
b) Hvor mange fiskere i 2050 ifølge modellen? Vurder gyldighetsområde.
c) Bestem stigningstallet til linjen gjennom \((30, F(30))\) og \((70, F(70))\). Gi en praktisk tolkning.
a) Bestem en modell \(F\)
La \(x\) være antall år etter 1950. Da får vi disse datapunktene:
| \(x\) | 2 | 32 | 42 | 52 | 62 | 72 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(F(x)\) | 65 956 | 25 289 | 19 780 | 13 841 | 9 825 | 9 591 |
Antall fiskere synker raskt i starten og flater ut mot slutten. Dette minner om en avtagende eksponentialfunksjon på formen \(F(x) = a \cdot b^x\). For 1P bruker vi eksponentialregresjon i GeoGebra på alle datapunktene — ikke manuell logaritmeregning.
Slik gjør du det i GeoGebra:
- Legg inn x-verdiene som en liste:
L1 = {2, 32, 42, 52, 62, 72} - Legg inn fiskertallene som en liste:
L2 = {65956, 25289, 19780, 13841, 9825, 9591} - Kjør kommandoen:
Eksponentialregresjon(L1, L2)
GeoGebra gir:
\[ a \approx 66\,400 \quad \text{og} \quad b \approx 0{,}9714 \]
Modellen blir:
\[ F(x) \approx 66\,400 \cdot 0{,}9714^x \]
Vi kontrollerer modellen ved å sammenligne med tabellen:
| År | \(x\) | Tabell | Modell \(F(x)\) |
|---|---|---|---|
| 1952 | 2 | 65 956 | 62 623 |
| 1982 | 32 | 25 289 | 26 251 |
| 1992 | 42 | 19 780 | 19 646 |
| 2002 | 52 | 13 841 | 14 703 |
| 2012 | 62 | 9 825 | 11 004 |
| 2022 | 72 | 9 591 | 8 235 |
Modellen treffer godt for de fleste årene, men flater ikke ut like raskt som tabellen gjør de siste årene.
Svar: En mulig modell er \(F(x) \approx 66\,400 \cdot 0{,}9714^x\), der \(x\) er antall år etter 1950.
b) Antall fiskere i 2050
År 2050 tilsvarer \(x = 2050 - 1950 = 100\). Vi setter inn i modellen (eller bruker F(100) i GeoGebra):
\[F(100) = 66\,400 \cdot 0{,}9714^{100} \approx 3\,660\]
Vurdering av gyldighetsområde: Modellen er basert på data fra 1952 til 2022. Å bruke den til å spå 28 år inn i framtiden (2050) er en ekstrapolering med stor usikkerhet. Nedgangen i antall fiskere har avtatt de siste årene (fra 9 825 i 2012 til 9 591 i 2022), noe som tyder på at antallet kan stabilisere seg. Modellen overdriver derfor sannsynligvis nedgangen, og det reelle tallet i 2050 er trolig høyere enn 3 660.
Svar: Ifølge modellen vil det være ca. \(3\,660\) fiskere i 2050. Prognosen er usikker fordi vi ekstrapolerer langt utenfor dataperioden, og nedgangen ser ut til å avta.
c) Stigningstallet til linjen gjennom \((30, F(30))\) og \((70, F(70))\)
Vi beregner funksjonsverdiene i GeoGebra:
\[F(30) = 66\,400 \cdot 0{,}9714^{30} \approx 27\,800\]
\[F(70) = 66\,400 \cdot 0{,}9714^{70} \approx 8\,730\]
Stigningstallet blir:
\[a = \frac{F(70) - F(30)}{70 - 30} = \frac{8\,730 - 27\,800}{40} = \frac{-19\,070}{40} \approx -477\]
Praktisk tolkning: \(x = 30\) tilsvarer år 1980 og \(x = 70\) tilsvarer år 2020. Stigningstallet forteller at antall fiskere i gjennomsnitt ble redusert med ca. 477 personer per år i perioden fra 1980 til 2020.
Svar: Stigningstallet er ca. \(-477\). Det betyr at antall fiskere i Norge ble redusert med omtrent 477 per år i gjennomsnitt i perioden 1980–2020.
💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
- Eksponentialregresjon:
Eksponentialregresjon({2, 32, 42, 52, 62, 72}, {65956, 25289, 19780, 13841, 9825, 9591})→ gir \(F(x) \approx 66\,400 \cdot 0{,}9714^x\) - Antall fiskere i 2050:
F(100)→ gir \(\approx 3\,660\) - Stigningstall:
(F(70) - F(30)) / 40→ gir \(\approx -477\) fiskere per år
Oppgave 2
Oppgave: Sofie har et rektangelformet uteområde. Hun vil endre på dette området ved å øke lengden med 10 % og redusere bredden med 20 %. Hvor stor vil den prosentvise endringen av arealet bli?
La den opprinnelige lengden være \(L\) og den opprinnelige bredden være \(B\). Da er det opprinnelige arealet:
\[A_{\text{opprinnelig}} = L \cdot B\]
Ny lengde (økt med 10 %): \(L_{\text{ny}} = 1{,}10 \cdot L\)
Ny bredde (redusert med 20 %): \(B_{\text{ny}} = 0{,}80 \cdot B\)
Nytt areal:
\[A_{\text{ny}} = L_{\text{ny}} \cdot B_{\text{ny}} = 1{,}10 \cdot L \cdot 0{,}80 \cdot B = 0{,}88 \cdot L \cdot B\]
Vekstfaktoren for arealet er \(0{,}88\), som tilsvarer en nedgang på:
\[1 - 0{,}88 = 0{,}12 = 12\,\%\]
Svar: Arealet vil bli redusert med \(12\,\%\).
Vanlig feil: Mange tenker at \(+10\% - 20\% = -10\%\), altså at arealet reduseres med 10 %. Men prosentvise endringer legges ikke sammen pa denne maten. Du ma multiplisere vekstfaktorene: \(1{,}10 \cdot 0{,}80 = 0{,}88\), som gir en nedgang pa 12 %, ikke 10 %.
Oppgave 3
Oppgave: Opplysninger fra nrk.no:
- Vi spiser omtrent 500 millioner pølser i Norge hvert år.
- 13 millioner av pølsene spiser vi 17. mai.
- Om vi hadde lagt alle pølsene vi spiser i løpet av ett år etter hverandre, ville vi kommet to og en halv gang rundt jorda.
Jordens radius er 6378 km ved ekvator.
a) Hvor mange pølser spiser vi i gjennomsnitt hvert sekund i Norge?
b) Hvor mange prosent av pølsene spiser vi 17. mai?
c) Omtrent hvor lang har NRK regnet at en pølse er?
- Vi spiser omtrent 500 millioner pølser i Norge hvert år.
- 13 millioner av pølsene spiser vi 17. mai.
- Om vi hadde lagt alle pølsene vi spiser i løpet av ett år etter hverandre, ville vi kommet to og en halv gang rundt jorda.
Jordens radius er 6378 km ved ekvator.
a) Hvor mange pølser spiser vi i gjennomsnitt hvert sekund i Norge?
b) Hvor mange prosent av pølsene spiser vi 17. mai?
c) Omtrent hvor lang har NRK regnet at en pølse er?
a) Pølser per sekund
Antall sekunder i et år:
\[365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 = 31\,536\,000 \text{ sekunder}\]
Antall pølser per sekund:
\[\frac{500\,000\,000}{31\,536\,000} \approx 15{,}9\]
Svar: Vi spiser i gjennomsnitt ca. 16 pølser hvert sekund i Norge.
b) Prosent av pølsene på 17. mai
\[\frac{13\,000\,000}{500\,000\,000} \cdot 100\,\% = \frac{13}{500} \cdot 100\,\% = 2{,}6\,\%\]
Svar: Vi spiser \(2{,}6\,\%\) av pølsene på 17. mai.
c) Hvor lang er en pølse ifølge NRK?
Omkretsen av jorda ved ekvator:
\[O = 2\pi r = 2\pi \cdot 6378 \approx 40\,074 \text{ km}\]
Total lengde av alle pølser (2,5 ganger rundt jorda):
\[\text{Total lengde} = 2{,}5 \cdot 40\,074 \approx 100\,186 \text{ km}\]
Vi gjør om til centimeter: \(100\,186 \text{ km} = 100\,186 \cdot 100\,000 \text{ cm} = 10\,018\,600\,000 \text{ cm}\)
Lengden per pølse:
\[\frac{10\,018\,600\,000 \text{ cm}}{500\,000\,000} \approx 20{,}0 \text{ cm}\]
Svar: NRK har regnet med at en pølse er ca. 20 cm lang.
Vanlig feil: Mange roter med enhetsomregningen, spesielt mellom kilometer og centimeter. Husk at \(1 \text{ km} = 1000 \text{ m} = 100\,000 \text{ cm}\). Når du deler en avstand i km på antall pølser, får du lengden per pølse i km. Du må deretter gjøre om til cm for å få et fornuftig svar.
Oppgave 4
Oppgave: Snorre har en hund som heter Mira. Mira har spist 200 g melkesjokolade. Informasjon fra helsenorge.no:
- Sjokolade inneholder teobromin, som er giftig for hunder.
- I norsk melkesjokolade er det ca. 1,2 mg teobromin per gram sjokolade.
- Hunder som har spist mer enn 20 mg teobromin per kg kroppsvekt, kan få kliniske tegn på forgiftning.
- Kontakt veterinær hvis hunden har spist en giftig mengde sjokolade.
Gjør antakelser og beregninger, og vurder om Snorre bør kontakte veterinær.
- Sjokolade inneholder teobromin, som er giftig for hunder.
- I norsk melkesjokolade er det ca. 1,2 mg teobromin per gram sjokolade.
- Hunder som har spist mer enn 20 mg teobromin per kg kroppsvekt, kan få kliniske tegn på forgiftning.
- Kontakt veterinær hvis hunden har spist en giftig mengde sjokolade.
Gjør antakelser og beregninger, og vurder om Snorre bør kontakte veterinær.
200 g sjokolade med 1,2 mg teobromin per gram gir totalt:
\[200 \cdot 1{,}2 = 240 \text{ mg teobromin}\]
Grensen er 20 mg per kg kroppsvekt. Vi finner hvor mye Mira må veie for å være akkurat på grensen ved å dele total mengde på 20:
\[\frac{240}{20} = 12 \text{ kg}\]
Veier Mira mindre enn 12 kg, har hun fått i seg mer enn 20 mg/kg. Vi prøver to vektantakelser:
| Antatt vekt | Teobromin per kg | Vurdering |
|---|---|---|
| 10 kg (liten hund) | \(240/10 = 24\) mg/kg | Over grensen |
| 15 kg (mellomstor) | \(240/15 = 16\) mg/kg | Under grensen, men tett på |
Svar: Hvis Mira veier under 12 kg, er hun over grensen og Snorre bør kontakte veterinær. Selv om hun er tyngre, er marginen liten — det er fornuftig å ringe veterinæren uansett.
Oppgave 5
Oppgave: Et rektangel er innskrevet i en likebeint, rettvinklet trekant med hjørner i \(A(-6, 0)\), \(B(6, 0)\) og \(C(0, 6)\). Punktet \(P\) er et hjørne i rektangelet og ligger på linjestykket \(BC\). Bestem koordinatene til \(P\) slik at arealet av rektangelet blir størst mulig.
Ta utgangspunkt i samtalen mellom Martin og Maria og løs oppgaven.
Ta utgangspunkt i samtalen mellom Martin og Maria og løs oppgaven.
Steg 1: Finn linjene som begrenser trekanten
Vi trenger ligningen til linjen \(BC\), som går gjennom \(B(6, 0)\) og \(C(0, 6)\):
\[\text{Stigningstall: } a = \frac{6 - 0}{0 - 6} = -1\]
Linjen \(BC\) har stigningstall \(-1\) og \(y\)-skjæring 6:
\[y = -x + 6 \quad \text{(for } 0 \leq x \leq 6\text{)}\]
Tilsvarende for linjen \(AC\) gjennom \(A(-6, 0)\) og \(C(0, 6)\):
\[\text{Stigningstall: } a = \frac{6 - 0}{0 - (-6)} = 1\]
\[y = x + 6 \quad \text{(for } -6 \leq x \leq 0\text{)}\]
Steg 2: Sett opp rektangelets dimensjoner
Rektangelet har to hjørner på \(x\)-aksen og er symmetrisk om \(y\)-aksen. La \(P\) ligge på linjen \(BC\) med koordinater \(P(x,\; y)\) der \(y = -x + 6\) og \(x > 0\).
På grunn av symmetrien har det motsatte hjørnet på linjen \(AC\) koordinater \((-x,\; y)\).
Rektangelets bredde er \(2x\) og høyden er \(y = 6 - x\).
Steg 3: Sett opp en funksjon for arealet
\[A(x) = \text{bredde} \cdot \text{høyde} = 2x \cdot (6 - x) = 12x - 2x^2\]
Steg 4: Prøv noen verdier (Martin og Marias strategi)
| \(x\) | \(y = 6 - x\) | Bredde = \(2x\) | Høyde = \(y\) | Areal \(A(x)\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 2 | 5 | 10 |
| 2 | 4 | 4 | 4 | 16 |
| 3 | 3 | 6 | 3 | 18 |
| 4 | 2 | 8 | 2 | 16 |
| 5 | 1 | 10 | 1 | 10 |
Steg 5: Finn toppunktet til \(A(x)\)
\(A(x) = -2x^2 + 12x\) er en andregradsfunksjon med negativ lederkoeffisient, så den har et toppunkt.
Toppunktet finner vi ved:
\[x = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot (-2)} = -\frac{12}{-4} = 3\]
Da er \(y = 6 - 3 = 3\), og det maksimale arealet er:
\[A(3) = 12 \cdot 3 - 2 \cdot 3^2 = 36 - 18 = 18\]
Svar: Koordinatene til punktet \(P\) er \((3,\; 3)\). Da blir arealet av rektangelet størst mulig og lik 18 arealenheter. Rektangelets bredde er 6 og høyden er 3.
💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
- Definer arealfunksjonen:
A(x) := -2x² + 12x - Finn toppunktet:
Ekstremalpunkt(A, 0, 6)→ gir \((3,\;18)\) - Størst areal:
A(3)→ gir \(18\) arealenheter
Oppgave 6
Oppgave: Linjestykker settes sammen til en figur. Det første linjestykket er 100 cm langt. Lengden av et linjestykke er alltid 90 % av lengden av det forrige linjestykket.
a) Bestem summen av lengdene av de 8 første linjestykkene.
b) Lag et program for å bestemme summen. Hvor mange linjestykker trengs for at summen skal bli minst 9 meter?
c) Hvor mange prosent øker summen av lengdene dersom vi øker antall linjestykker fra 50 til 100?
a) Bestem summen av lengdene av de 8 første linjestykkene.
b) Lag et program for å bestemme summen. Hvor mange linjestykker trengs for at summen skal bli minst 9 meter?
c) Hvor mange prosent øker summen av lengdene dersom vi øker antall linjestykker fra 50 til 100?
a) Summen av de 8 første linjestykkene
Lengden av linjestykke nr. \(n\) er:
\[a_n = 100 \cdot 0{,}9^{\,n-1} \text{ cm}\]
Vi beregner lengdene:
| Linjestykke \(n\) | Lengde (cm) |
|---|---|
| 1 | 100,00 |
| 2 | 90,00 |
| 3 | 81,00 |
| 4 | 72,90 |
| 5 | 65,61 |
| 6 | 59,05 |
| 7 | 53,14 |
| 8 | 47,83 |
Summen av en geometrisk rekke med \(a_1 = 100\), \(k = 0{,}9\) og \(n = 8\):
\[S_n = a_1 \cdot \frac{1 - k^n}{1 - k} = 100 \cdot \frac{1 - 0{,}9^8}{1 - 0{,}9}\]
\[0{,}9^8 \approx 0{,}4305\]
\[S_8 = 100 \cdot \frac{1 - 0{,}4305}{0{,}1} = 100 \cdot \frac{0{,}5695}{0{,}1} = 100 \cdot 5{,}695 = 569{,}5 \text{ cm}\]
Svar: Summen av lengdene av de 8 første linjestykkene er ca. \(569{,}5\) cm, altså ca. 5,70 m.
b) Program og antall linjestykker for minst 9 meter
Et program i Python:
lengde = 100 # cm
summen = 0
n = 0
while summen < 900: # 9 meter = 900 cm
n = n + 1
summen = summen + lengde
lengde = lengde * 0.9
print("Antall linjestykker:", n)
print("Sum:", round(summen, 1), "cm")
Vi kan også regne med formelen. Vi søker \(n\) slik at:
\[S_n = 100 \cdot \frac{1 - 0{,}9^n}{0{,}1} \geq 900\]
\[1000 \cdot (1 - 0{,}9^n) \geq 900\]
\[1 - 0{,}9^n \geq 0{,}9\]
\[0{,}9^n \leq 0{,}1\]
\[n \cdot \ln(0{,}9) \leq \ln(0{,}1)\]
\[n \geq \frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}9)} = \frac{-2{,}3026}{-0{,}1054} \approx 21{,}85\]
Siden \(n\) må være et heltall, trenger vi \(n = 22\).
Svar: Vi trenger minst 22 linjestykker for at summen av lengdene skal bli minst 9 meter.
c) Prosentvis økning fra 50 til 100 linjestykker
Vi beregner summen av 50 og 100 linjestykker:
\[S_{50} = 100 \cdot \frac{1 - 0{,}9^{50}}{0{,}1} = 1000 \cdot (1 - 0{,}9^{50})\]
\[0{,}9^{50} \approx 0{,}00515\]
\[S_{50} \approx 1000 \cdot (1 - 0{,}00515) = 1000 \cdot 0{,}99485 \approx 994{,}85 \text{ cm}\]
\[S_{100} = 1000 \cdot (1 - 0{,}9^{100})\]
\[0{,}9^{100} \approx 0{,}0000266\]
\[S_{100} \approx 1000 \cdot (1 - 0{,}0000266) \approx 999{,}97 \text{ cm}\]
Prosentvis økning:
\[\frac{S_{100} - S_{50}}{S_{50}} \cdot 100\,\% = \frac{999{,}97 - 994{,}85}{994{,}85} \cdot 100\,\% \approx \frac{5{,}12}{994{,}85} \cdot 100\,\% \approx 0{,}51\,\%\]
Svar: Summen øker med ca. \(0{,}5\,\%\) når vi øker antall linjestykker fra 50 til 100. Dette er fordi den geometriske rekken konvergerer mot \(1000\) cm (= 10 m), og allerede ved 50 linjestykker er vi nær denne grensen.
Oppgave 7
Oppgave: Ramanujans formel for omkretsen av en ellipse:
\[O \approx \pi(a + b)\left(1 + \frac{3h}{10 + \sqrt{4 - 3h}}\right)\] der \(h = \left(\frac{a - b}{a + b}\right)^2\), og \(a\) og \(b\) er store og lille halvakse.
a) Bruk formelen med \(a = 3\) og \(b = 2\). Sammenlikn med Maris svar 15,865 cm.
b) Undersøk om formelen gjelder når ellipsen er en sirkel.
\[O \approx \pi(a + b)\left(1 + \frac{3h}{10 + \sqrt{4 - 3h}}\right)\] der \(h = \left(\frac{a - b}{a + b}\right)^2\), og \(a\) og \(b\) er store og lille halvakse.
a) Bruk formelen med \(a = 3\) og \(b = 2\). Sammenlikn med Maris svar 15,865 cm.
b) Undersøk om formelen gjelder når ellipsen er en sirkel.
a) Beregn \(O\) med \(a = 3\) og \(b = 2\)
Steg 1: Beregn \(h\):
\[h = \left(\frac{a - b}{a + b}\right)^2 = \left(\frac{3 - 2}{3 + 2}\right)^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{25} = 0{,}04\]
Steg 2: Beregn uttrykket inne i parentesen:
\[3h = 3 \cdot 0{,}04 = 0{,}12\]
\[4 - 3h = 4 - 0{,}12 = 3{,}88\]
\[\sqrt{4 - 3h} = \sqrt{3{,}88} \approx 1{,}9698\]
\[10 + \sqrt{4 - 3h} \approx 10 + 1{,}9698 = 11{,}9698\]
\[\frac{3h}{10 + \sqrt{4 - 3h}} = \frac{0{,}12}{11{,}9698} \approx 0{,}01002\]
\[1 + \frac{3h}{10 + \sqrt{4 - 3h}} \approx 1{,}01002\]
Steg 3: Beregn omkretsen:
\[O \approx \pi(3 + 2) \cdot 1{,}01002 = 5\pi \cdot 1{,}01002 \approx 15{,}708 \cdot 1{,}01002 \approx 15{,}865 \text{ cm}\]
Maris svar var 15,865 cm, og Ramanujans formel gir det samme.
Svar: Ramanujans formel gir \(O \approx 15{,}865\) cm, som stemmer med Maris svar fra det digitale verktøyet. Formelen gir en svært god tilnærming.
b) Undersøk formelen for en sirkel
Når ellipsen er en sirkel, er \(a = b = r\) (begge halvaksene er lik radien).
Steg 1: Beregn \(h\):
\[h = \left(\frac{a - b}{a + b}\right)^2 = \left(\frac{r - r}{r + r}\right)^2 = \left(\frac{0}{2r}\right)^2 = 0\]
Steg 2: Sett inn i formelen:
\[O \approx \pi(r + r)\left(1 + \frac{3 \cdot 0}{10 + \sqrt{4 - 3 \cdot 0}}\right)\]
\[O \approx \pi \cdot 2r \cdot \left(1 + \frac{0}{10 + \sqrt{4}}\right)\]
\[O \approx 2\pi r \cdot \left(1 + 0\right) = 2\pi r\]
Vi vet at omkretsen av en sirkel med radius \(r\) er \(O = 2\pi r\).
Svar: Ja, Ramanujans formel gjelder i spesialtilfellet der ellipsen er en sirkel. Når \(a = b = r\), gir formelen \(O = 2\pi r\), som er den kjente formelen for omkretsen av en sirkel.
Oppgave 8
Oppgave: En graf viser hvordan farten til en racerbil har variert gjennom en runde av et billøp. Bilen har kjørt på en av banene A, B, C, D, E eller F. Hvilken bane har bilen kjørt på? Husk å argumentere.
Vi analyserer grafen som viser fart mot tilbakelagt strekning:
Grafen viser:
- Bilen starter med relativt høy fart.
- Det er tre tydelige fartsreduksjoner (svinger), der farten synker markant.
- Den første svingen gir et moderat fall, den andre er den dypeste (skarpeste svingen), og den tredje er omtrent like dyp som den første.
- Mellom svingene er det langstrakte strekninger der farten øker og forblir høy.
Vi eliminerer baner:
- Bane A: Har mange svinger tett i tett (mer enn 3). Passer ikke, fordi grafen viser nøyaktig tre fartsreduksjoner.
- Bane C: Har bare to tydelige svinger. Passer ikke, fordi grafen viser tre fartsreduksjoner.
- Bane F: Har bare to svinger. Passer ikke.
- Bane D: Har fire svinger som er jevnt fordelt. Passer ikke med tre ulike fartsreduksjoner.
- Bane E: Har tre hjørner, men alle svingene er like skarpe (likesidet trekant). Passer ikke, fordi grafen viser svinger med ulik dybde/skarphet.
- Bane B: Har tre svinger med ulik skarphet, adskilt av rette strekninger. Passer med grafen.
Grafen viser tre klare svinger med rette strekninger imellom. De tre svingene varierer i skarphet (farten synker til ulike nivåer). Bane B har nøyaktig tre svinger av ulik skarphet adskilt av rette strekninger, noe som samsvarer med grafen.
Svar: Bilen har kjørt på bane B. Begrunnelse: Grafen viser nøyaktig tre fartsreduksjoner (svinger) med ulik skarphet og rette strekninger imellom. Bane A, C og F ekskluderes fordi de ikke har tre svinger. Bane E ekskluderes fordi alle svingene er like skarpe. Bane D ekskluderes fordi den har fire svinger. Bane B er den eneste banen med tre svinger av ulik skarphet adskilt av rette strekninger.