Løsningsforslag – Matematikk 1P Vår 2023

Eksamen MAT1019

Oppgave 1

Markos påstand: Sjokoladeplaten er 150 % dyrere på bensinstasjonen enn i butikken.

Her sammenligner Marko med butikkprisen (20 kr) som utgangspunkt.

Prisforskjellen er:

Prosentvis økning fra butikk til bensinstasjon:

Marko har regnet riktig. Sjokoladeplaten er 150 % dyrere på bensinstasjonen enn i butikken.

Maris påstand: Sjokoladeplaten er 60 % billigere i butikken enn på bensinstasjonen.

Her sammenligner Mari med bensinstasjonsprisen (50 kr) som utgangspunkt.

Prisforskjellen er fremdeles 30 kr, men nå regner vi prosentvis nedgang fra 50 kr:

Mari har også regnet riktig. Sjokoladeplaten er 60 % billigere i butikken enn på bensinstasjonen.

Oppgave 2

Vi vet at:

• Folketallet på jorden: 8 milliarder = \(8 \cdot 10^9\)
• Det er 2,5 millioner ganger så mange maur som mennesker: \(2{,}5 \cdot 10^6\)

Antall maur blir:

Vi skriver dette på standardform (tallet foran skal være mellom 1 og 10):

Oppgave 3

Oppgave 3a

Eksempel: Sammenhengen mellom antall liter bensin og pris.

Anta at bensin koster 20 kr per liter. Da har vi:

Antall liter	1	2	3	5	10
Pris (kr)	20	40	60	100	200

Størrelsene er proporsjonale fordi:

• Forholdet mellom pris og antall liter er konstant: \(\frac{20}{1} = \frac{40}{2} = \frac{60}{3} = 20\)
• Sammenhengen kan skrives som \(y = 20x\), der \(x\) er antall liter og \(y\) er pris
• Når antall liter dobles, dobles også prisen
• Grafen er en rett linje gjennom origo

Oppgave 3b

Eksempel: Sammenhengen mellom fart og tid for en bestemt strekning.

En bil skal kjøre en strekning på 120 km.

Fart (km/h)	30	40	60	80	120
Tid (timer)	4	3	2	1,5	1

Størrelsene er omvendt proporsjonale fordi:

• Produktet av fart og tid er konstant: \(30 \cdot 4 = 40 \cdot 3 = 60 \cdot 2 = 120\)
• Sammenhengen kan skrives som \(y = \frac{120}{x}\), der \(x\) er fart og \(y\) er tid
• Når farten dobles, halveres tiden

Oppgave 4

Oppgave 4a

Vi prøver en lineær modell på formen \(y = ax + b\), der \(x\) er alder i år og \(y\) er høyde i cm.

Vi bruker to punkter fra tabellen for å finne stigningstallet. La oss bruke \((4, 100)\) og \((10, 142)\):

Vi setter inn \((4, 100)\) for å finne \(b\):

Vi sjekker med de andre punktene:

• \(x = 5\): \(y = 7 \cdot 5 + 72 = 107\) (stemmer med tabellen)
• \(x = 8\): \(y = 7 \cdot 8 + 72 = 128\) (stemmer med tabellen)

Oppgave 4b

Vi setter inn \(x = 19\) i modellen:

Oppgave 4c

Vi sjekker hva modellen gir for \(x = 0\) (alder ved fødsel):

Modellen gir 72 cm ved fødsel, men Klara var bare 50 cm da hun ble født. Modellen gir altså for høy verdi for nyfødte.

Vi sjekker også for \(x = 19\) (fra oppgave b): Modellen gir 205 cm, som er urealistisk høyt for en 19-åring. Barn slutter vanligvis å vokse med 7 cm per år lenge før fylte 19.

Modellen gir også for mye for alder under 4 år og sannsynligvis for mye for alder over ca. 14-16 år, da veksten avtar i tenårene.

Oppgave 1

Oppgave 1a

Vi må finne når \(T(x) = 0\), altså løse:

Vi bruker GeoGebra (kommandoen NLøs(T(x) = 0, x)) og finner at grafen krysser \(x\)-aksen ved omtrent:

• \(x_1 \approx 5{,}77\) (omtrent 23. mai)
• \(x_2 \approx 8{,}91\) (omtrent 27. august)

Vi sjekker noen verdier for å bekrefte at temperaturen er negativ utenfor dette intervallet og positiv inni:

• \(T(5) = 0{,}048 \cdot 625 - 1{,}4 \cdot 125 + 13{,}36 \cdot 25 - 45{,}8 \cdot 5 + 35{,}2 = -4{,}8\) °C (under null)
• \(T(7) = 0{,}048 \cdot 2401 - 1{,}4 \cdot 343 + 13{,}36 \cdot 49 - 45{,}8 \cdot 7 + 35{,}2 \approx 4{,}3\) °C (over null)
• \(T(9) \approx -0{,}5\) °C (under null igjen)

Temperaturen er over 0 °C mellom \(x \approx 5{,}77\) og \(x \approx 8{,}91\).

Antall døgn telles direkte fra 23. mai til 27. august: \(8 + 30 + 31 + 27 = 96\) døgn.

(Alternativt: \(8{,}91 - 5{,}77 = 3{,}14\) måneder, og \(3{,}14 \cdot 30 \approx 94\) døgn.)

Oppgave 1b

Vi regner først ut \(T(3)\) og \(T(7)\):

Stigningstallet blir:

Praktisk tolkning:

\(x = 3\) svarer til 1. mars og \(x = 7\) svarer til 1. juli. Stigningstallet forteller at gjennomsnittstemperaturen øker med omtrent 5,05 °C per måned i gjennomsnitt fra 1. mars til 1. juli.

Oppgave 2

Vi analyserer hva som skjer i tre faser:

1. Fase 1 – Gå til postkontoret: Aurora går med jevn fart fra hjemmet. Avstanden fra hjemmet øker jevnt (lineært). Grafen skal vise en rett linje som stiger.
2. Fase 2 – Stå i kø: Aurora står stille på postkontoret. Avstanden fra hjemmet er konstant. Grafen skal være en horisontal linje.
3. Fase 3 – Gå hjem igjen: Aurora går med jevn fart tilbake. Avstanden fra hjemmet minker jevnt (lineært). Grafen skal vise en rett linje som synker, ned til 0.

Vi vurderer de fire alternativene:

• A: Viser en kurve som bare øker – ingen flat del og ingen nedgang. Passer ikke.
• B: Viser en kurve som øker, flater ut og så synker bratt. Ikke rette linjer. Passer ikke.
• C: Viser en rett linje opp, en flat del, og så en rett linje videre oppover. Avstanden synker aldri – passer ikke.
• D: Viser en rett linje opp, en flat del, og en rett linje ned til 0. Passer!

Oppgave 3

Oppgave 3a

Rektangelet har tre sider med gjerde (den fjerde siden er elven). La lengden (parallell med elven) være 60 m og bredden være \(b\).

Totalt tau: Lengde + 2 bredder = 80 m:

Arealet blir:

Oppgave 3b

La bredden være \(b\) meter. Da er lengden \(\ell = 80 - 2b\) meter (fordi \(\ell + 2b = 80\)).

Vi lager en tabell med ulike verdier av bredden:

Bredde \(b\) (m)	Lengde \(\ell = 80 - 2b\) (m)	Areal \(A = b \cdot \ell\) (m²)
5	70	350
10	60	600
15	50	750
20	40	800
25	30	750
30	20	600
35	10	350

Vi ser at det største arealet i tabellen er 800 m², som oppnås når \(b = 20\) m og \(\ell = 40\) m.

Da er lengden dobbelt så lang som bredden: \(\ell = 2b\), som er \(40 = 2 \cdot 20\).

Oppgave 3c

La bredden \(x\) være variabelen (i meter). Lengden blir \(80 - 2x\) meter.

Arealet som funksjon av bredden:

Dette er en andregradsfunksjon med negativ koeffisient foran \(x^2\), altså en parabel som vender nedover.

Toppunktet finner vi med formelen \(x = -\frac{b}{2a}\), der \(A(x) = -2x^2 + 80x\):

Når \(x = 20\) (bredde = 20 m), er lengden \(80 - 2 \cdot 20 = 40\) m.

Lengde = 40 = 2 · 20 = dobbelt av bredden.

Største areal:

Oppgave 4

Koordinatsystemet i oppgaven har ingen tallverdier på aksene, så vi gjør en omtrentlig avlesning av hvert punkt (vekt, pris):

Sekk	Vekt (kg)	Pris (kr)
A	1,5	21
B	2	14
C	2,6	14
D	3,5	28
E	3	42
F	2	45

(Verdiene er avlest fra figuren og kan variere noe. Det viktigste er hvilke punkter som ligger på samme høyde og hvilke som ligger på samme rette linje gjennom origo.)

Oppgave 4a

Vi ser på x-verdiene (vekt). Punktet som ligger lengst til høyre langs x-aksen er den tyngste sekken. Det er sekk D.

Oppgave 4b

Vi ser på y-verdiene (pris). Sekker som ligger på samme høyde i diagrammet koster like mye. I figuren ligger punktene B og C på (nesten) samme høyde.

Oppgave 4c

B og C koster like mye, men C er tyngre enn B. Dermed får man flere kilogram poteter for samme pris ved å velge C. Vi kan også sammenlikne kiloprisen:

• Sekk B: ca. 2 kg og 14 kr. Kilopris: \(\dfrac{14}{2} = 7\) kr/kg
• Sekk C: ca. 2,6 kg og 14 kr. Kilopris: \(\dfrac{14}{2{,}6} \approx 5{,}4\) kr/kg

Oppgave 4d

Kilopris = pris/vekt. To sekker har lik kilopris dersom punktene ligger på samme rette linje gjennom origo (samme forhold \(\dfrac{y}{x}\)).

Vi regner ut omtrentlig kilopris for hver sekk:

• Sekk A: \(\dfrac{21}{1{,}5} = 14\) kr/kg
• Sekk B: \(\dfrac{14}{2} = 7\) kr/kg
• Sekk C: \(\dfrac{14}{2{,}6} \approx 5{,}4\) kr/kg
• Sekk D: \(\dfrac{28}{3{,}5} = 8\) kr/kg
• Sekk E: \(\dfrac{42}{3} = 14\) kr/kg
• Sekk F: \(\dfrac{45}{2} = 22{,}5\) kr/kg

Sekk A og sekk E har samme forhold mellom pris og vekt (14 kr/kg). I diagrammet ligger A og E på samme rette linje gjennom origo (den stiplede linjen).

Oppgave 5

Oppgave 5a

Vi teller Non Stop i figurene:

• K₁: ser ut til å inneholde 10 Non Stop
• K₂: ser ut til å inneholde 18 Non Stop
• K₃: ser ut til å inneholde 26 Non Stop

Differansen mellom figurene:

• K₂ − K₁ = 18 − 10 = 8
• K₃ − K₂ = 26 − 18 = 8

Mønsteret: For hver nye K øker antallet med 8 Non Stop. Dette er en aritmetisk tallrekke.

Generelt kan vi skrive formelen: \(a_n = 10 + (n-1) \cdot 8 = 8n + 2\)

Vi sjekker: \(a_1 = 8 \cdot 1 + 2 = 10\) ✓, \(a_2 = 8 \cdot 2 + 2 = 18\) ✓, \(a_3 = 8 \cdot 3 + 2 = 26\) ✓

Oppgave 5b

# Startverdier
nonstop_figur = 10
nonstop_totalt = 10

# Overskrifter
print("Figurnummer        Non Stop i figur        Non Stop totalt")

for figurnummer in range(1, 21):

    # Skriver ut i tre kolonner ved å bruke tabulatorer sep = "\t\t"
    print(figurnummer, nonstop_figur, nonstop_totalt, sep = "\t\t\t")

    nonstop_figur = nonstop_figur + 8
    nonstop_totalt = nonstop_totalt + nonstop_figur

Forklaring av endringene:

• Linje 14: nonstop_figur = nonstop_figur + 8 — Øker antallet med 8 slik at variabelen nå er klar med antall Non Stop i neste K (den konstante differansen er 8).
• Linje 15: nonstop_totalt = nonstop_totalt + nonstop_figur — Legger til antall Non Stop i den neste K-en til summen, slik at nonstop_totalt blir riktig kumulativt totaltall til neste runde.

Merk: I starten av runde \(k\) (før utskrift) er nonstop_figur lik antall i \(K_k\) og nonstop_totalt lik \(K_1 + K_2 + \dots + K_k\). Etter linje 14 og 15 er begge variablene oppdatert til \(k+1\), klare for neste runde.

Oppgave 5c

Vi kan bruke formelen for summen av en aritmetisk rekke:

Vi har \(n = 20\), \(a_1 = 10\) og \(a_{20} = 8 \cdot 20 + 2 = 162\).

Oppgave 5d

Vi må finne det største \(n\) slik at \(S_n \le 2000\).

Vi løser \(4n^2 + 6n = 2000\):

Vi bruker abc-formelen:

Vi tar den positive løsningen:

Vi sjekker:

• \(S_{21} = 4 \cdot 441 + 6 \cdot 21 = 1764 + 126 = 1890 \le 2000\) ✓
• \(S_{22} = 4 \cdot 484 + 6 \cdot 22 = 1936 + 132 = 2068 > 2000\) ✗

Oppgave 6

Oppgave 6a

Vi har \(E(x) = a \cdot b^x\) der \(x\) er antall år etter 2015.

For \(x = 0\) (år 2015): \(E(0) = a = 18\,899\). Altså \(a \approx 18\,899\).

Vi bruker et annet punkt for å finne \(b\). La oss bruke \(x = 6\) (år 2021, salg = 67 997):

Vi sjekker med noen verdier:

• \(E(1) = 18\,899 \cdot 1{,}238^1 \approx 23\,397\) (tabellverdi: 21 664)
• \(E(3) = 18\,899 \cdot 1{,}238^3 \approx 35\,870\) (tabellverdi: 31 385)

For en bedre tilpasning kan vi bruke regresjon med alle punktene. Med digitale hjelpemidler (GeoGebra/regneark) får vi en eksponentiell regresjon som gir omtrent:

Vi sjekker denne modellen:

• \(E(0) = 18\,100\) (tabellverdi: 18 899)
• \(E(2) = 18\,100 \cdot 1{,}24^2 \approx 27\,830\) (tabellverdi: 25 381)
• \(E(4) = 18\,100 \cdot 1{,}24^4 \approx 42\,760\) (tabellverdi: 41 142)
• \(E(6) = 18\,100 \cdot 1{,}24^6 \approx 65\,740\) (tabellverdi: 67 997)

Oppgave 6b

I modellen \(E(x) = a \cdot b^x\):

• \(a \approx 18\,100\) (eller 18 899): Dette er startverdien, altså salget av energidrikk i 2015 (når \(x = 0\)). Salget var omtrent 18 100 tusen liter i 2015.
• \(b \approx 1{,}24\): Dette er vekstfaktoren per år. Salget øker med en faktor på 1,24 hvert år, som betyr en årlig økning på omtrent 24 %.

Oppgave 6c

Salg i 2021: 67 997 tusen liter. Salg i 2022: 73 109 tusen liter.

Prosentvis økning fra 2021 til 2022:

Ifølge modellen skulle salget øke med ca. 24 % per år. Den faktiske økningen fra 2021 til 2022 var bare 7,5 %.

Vi kan også sjekke hva modellen gir for 2022 (\(x = 7\)):

Modellen gir 81 520, men faktisk salg var 73 109. Modellen overestimerer salget i 2022.