Løsningsforslag – Matematikk 1P Høst 2024

Eksamen MAT1019

Oppgave 1 (2 poeng)

Vi regner ut den prosentvise økningen for begge varene.

Vare A:

Vare B:

Oppgave 2 (3 poeng)

a)

En billiard er tusen millioner millioner:

Dermed er 20 billiarder:

b)

Vi gjør et overslag ved å bruke tall midt i intervallene:

• Antall maur: mellom 200 000 og 300 000. Vi bruker ca. 250 000.
• Vekt per maur: mellom 7 mg og 9 mg. Vi bruker ca. 8 mg.

Total vekt:

Vi gjør om til kilogram. Det er 1 000 000 mg i 1 kg:

Vi kontrollerer med ytterverdiene:

• Minst: \(200\,000 \cdot 7 \text{ mg} = 1\,400\,000 \text{ mg} = 1{,}4 \text{ kg}\)
• Mest: \(300\,000 \cdot 9 \text{ mg} = 2\,700\,000 \text{ mg} = 2{,}7 \text{ kg}\)

Oppgave 3 (2 poeng)

Situasjon A:

Dersom \(n\) personer deler på 2200 kr, betaler hver person \(\frac{2200}{n}\) kroner. Når antall personer dobles, halveres prisen per person. Produktet av antall personer og pris per person er alltid konstant (2200 kr).

Situasjon B:

Med tilbudet «3 for 2» er ikke sammenhengen mellom antall flasker og pris rettlinjet gjennom origo. For eksempel: 3 flasker koster det samme som 2, mens 6 flasker koster det samme som 4. Forholdet mellom antall flasker og pris er ikke konstant.

Situasjon C:

Dobler du antall porsjoner vaffelrøre, trenger du dobbelt så mye mel. Mengden mel er direkte proporsjonal med antall porsjoner. Forholdet mellom mengde mel og antall porsjoner er konstant.

Oppgave 4 (3 poeng)

a)

Program 1, linje 7: e = e * 1.04

Denne koden multipliserer verdien av \(e\) med 1,04. Det betyr at salget øker med 4 % fra en måned til den neste. Lisa antar altså en prosentvis (eksponentiell) vekst i salget på 4 % per måned.

Program 2, linje 7: e = e + 40

Denne koden legger til 40 på verdien av \(e\). Det betyr at salget øker med 40 enheter fra en måned til den neste. Lisa antar altså en konstant (lineær) vekst i salget på 40 enheter per måned.

b)

Begge programmene regner ut det totale antallet enheter som Lisa forventer å selge i løpet av 12 måneder (januar til desember 2025). Variabelen \(t\) summerer opp salget for hver måned, og verdien som skrives ut er det totale salget for hele året.

La oss følge Program 1 gjennom løkken. Vi starter med \(e = 1000\), \(t = 0\), \(m = 1\):

Måned \(m\)	Salg denne mnd \(e\)	Totalt salg \(t\)
1 (jan)	1000	1000
2 (feb)	1040	2040
3 (mar)	1081,60	3121,60
...	...	...
12 (des)	1539,45	15 025,81

For Program 2:

Måned \(m\)	Salg denne mnd \(e\)	Totalt salg \(t\)
1 (jan)	1000	1000
2 (feb)	1040	2040
3 (mar)	1080	3120
...	...	...
12 (des)	1440	14 640

Oppgave 5 (3 poeng)

a)

Vi har en lineær sammenheng \(F = aC + b\), der \(C\) er grader celsius (\(x\)-aksen) og \(F\) er grader fahrenheit (\(y\)-aksen).

Vi bruker punktene \((0, 32)\) og \((100, 212)\) for å finne stigningstallet:

Fra punktet \((0, 32)\) leser vi av at konstantleddet \(b = 32\).

b)

Vi setter \(F = 68\) og løser for \(C\):

Oppgave 1 (6 poeng)

a)

Metode 1: Regning

År 2010 tilsvarer \(x = 0\). Vi setter inn i funksjonsuttrykket:

Metode 2: Avlesning fra funksjonsuttrykket

Funksjonen har formen \(P(x) = a \cdot b^x + c\). Når \(x = 0\), blir \(b^0 = 1\), slik at startverdien alltid er \(a + c = 3600 + 600 = 4200\). Vi kan altså lese av svaret direkte fra konstantene i funksjonsuttrykket.

b)

Vi regner ut funksjonsverdiene:

Stigningstallet er:

Praktisk tolkning: I gjennomsnitt mistet avisen omtrent 151 papir-abonnenter per år i perioden fra 2014 til 2024.

c)

År 2019 tilsvarer \(x = 9\) (9 år etter 2010). Antall digitale abonnenter i år \(x\) (for \(x \geq 9\)) er:

Vi lager en tabell for å sammenlikne:

År	\(x\)	Papir \(P(x)\)	Digital \(D(x)\)
2019	9	1434	1000
2020	10	1309	1055
2021	11	1202	1113
2022	12	1112	1174

Vi ser at \(D(12) = 1174 > P(12) = 1112\). Året før, i 2021, var det fortsatt flere papirabonnenter: \(P(11) = 1202 > D(11) = 1113\).

Oppgave 2 (2 poeng)

Steg 1: Total mengde pulver per døgn:

Steg 2: Mengde pulver per dose (3 doser):

Steg 3: Antall milliliter per dose (6 mg per ml):

Oppgave 3 (2 poeng)

Vi kaller den opprinnelige prisen \(P\) og regner med vekstfaktorer:

• Opp 10 %: vekstfaktor \(1{,}10\)
• Opp 20 %: vekstfaktor \(1{,}20\)
• Ned 30 %: vekstfaktor \(0{,}70\)

Samlet vekstfaktor:

Ny pris:

Siden \(0{,}924 < 1\), er den nye prisen lavere enn den opprinnelige. Varen koster nå 92,4 % av opprinnelig pris, altså 7,6 % mindre.

Oppgave 4 (3 poeng)

a)

Vi setter inn \(s = 18\), \(v_1 = 58\) og \(v_2 = 65\):

Vi regner ut uttrykket i parentesen:

b)

La den laveste farten være \(v_1\) km/h. Da er den høyeste farten \(v_2 = 2v_1\) km/h. Tidsforskjellen er 20 minutter.

Vi forenkler parentesen:

Vi setter inn:

Da er \(v_2 = 2 \cdot 27 = 54\) km/h.

Tid for den langsomme turen:

Tid for den raske turen:

Kontroll: Tidsforskjellen er \(40 - 20 = 20\) minutter. ✓

Oppgave 5 (4 poeng)

a)

Dersom antall følgere øker med samme antall hver måned, er veksten lineær. La \(x\) være antall måneder etter starttidspunktet.

Vi finner den månedlige økningen:

Den lineære funksjonen er:

b)

Dersom antall følgere øker med samme prosent hver måned, er veksten eksponentiell. Vi har:

Vi vet at \(g(8) = 340\,000\):

Den prosentvise økningen per måned er ca. \(1{,}0201 - 1 = 0{,}0201 = 2{,}0\,\%\).

Oppgave 6 (3 poeng)

a)

Årslønn = 12 måneders fastlønn + tillegg for 3 reiseoppdrag.

Bedrift A:

Bedrift B:

Bedrift C:

b)

La \(n\) være antall reiseoppdrag i løpet av året. Årslønnen hos hver bedrift er:

Når lønner B seg bedre enn C?

Når lønner A seg bedre enn B?

Oppgave 7 (3 poeng)

a)

Vi vet at fremmøteprosenten var 62,4 %. Det betyr at andelen som ikke stemte er:

Antall som ikke stemte:

b)

Tore forveksler prosentpoeng med prosentvis endring. Høyre har størst framgang i prosentpoeng (+5,8 pp), men det er ikke det samme som størst prosentvis framgang.

For å finne prosentvis framgang må vi sammenligne endringen med oppslutningen ved forrige valg.

Vi beregner den forrige oppslutningen og prosentvis framgang for partiene som hadde framgang:

Parti	Nå (%)	Endring (pp)	Forrige (%)	Prosentvis framgang
Høyre	25,9	+5,8	20,1	\(\frac{5{,}8}{20{,}1} \cdot 100 \approx 28{,}9\,\%\)
FrP	11,3	+3,1	8,2	\(\frac{3{,}1}{8{,}2} \cdot 100 \approx 37{,}8\,\%\)
Venstre	5,0	+1,1	3,9	\(\frac{1{,}1}{3{,}9} \cdot 100 \approx 28{,}2\,\%\)
SV	6,9	+0,8	6,1	\(\frac{0{,}8}{6{,}1} \cdot 100 \approx 13{,}1\,\%\)

Oppgave 8 (7 poeng)

a)

Når Sofie skjærer bort kvadrater med sidelengde 100 mm i hvert hjørne og bretter opp, får kassen:

• Lengde: \(1200 - 2 \cdot 100 = 1000\) mm
• Bredde: \(800 - 2 \cdot 100 = 600\) mm
• Høyde: \(100\) mm

Volumet av kassen:

Vi gjør om til liter. Vi vet at \(1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 10^6 \text{ mm}^3\):

b)

Vi lar \(x\) mm være sidelengden i kvadratene som skjæres bort. Kassen får da dimensjonene:

• Lengde: \(1200 - 2x\) mm
• Bredde: \(800 - 2x\) mm
• Høyde: \(x\) mm

\(x\) (mm)	Lengde (mm)	Bredde (mm)	Volum (mm\(^3\))	Volum (L)
50	1100	700	38 500 000	38,5
100	1000	600	60 000 000	60,0
150	900	500	67 500 000	67,5
200	800	400	64 000 000	64,0
250	700	300	52 500 000	52,5
300	600	200	36 000 000	36,0
350	500	100	17 500 000	17,5
400	400	0	0	0

c)

Volumet som funksjon av \(x\) er:

Vi kan utvide uttrykket:

Den grafiske framstillingen viser en tredjegradsfunksjon som starter i origo, stiger til et toppunkt rundt \(x \approx 157\) mm, og synker tilbake til null ved \(x = 400\) mm.

d)

Fra grafen i c) ser vi at volumet er størst i toppunktet på kurven. Vi bruker GeoGebra til å finne dette toppunktet nøyaktig.

I GeoGebra Grafisk: Tegn grafen til \(V(x) = x(1200-2x)(800-2x)\) (eller i liter \(V(x) = \frac{x(1200-2x)(800-2x)}{1\,000\,000}\)) og bruk verktøyet/kommandoen for å finne toppunktet:

• Ekstremalpunkt(V, 0, 400) — finner toppunktet på intervallet
• eller Maks(V, 0, 400)

Toppunktet blir \(M \approx (157\,;\;67\,600\,000)\), altså \(x \approx 157\) mm og volum \(\approx 67{,}6\) L.

Vi kontrollerer ved å sette inn i V-formelen:

e)

For at modellen skal gi mening, må kassens alle dimensjoner være positive:

• Høyde: \(x > 0\)
• Bredde: \(800 - 2x > 0 \Rightarrow x < 400\)
• Lengde: \(1200 - 2x > 0 \Rightarrow x < 600\)

Den strengeste begrensningen er \(x < 400\).

I praksis kan \(x\) heller ikke være for liten, da kassen trenger en viss høyde for å fungere. Men matematisk er gyldighetsområdet: