Oppgave 1 (1 poeng)
En bonde har 60 sauer. 80 % av sauene skal slaktes. Hvor mange sauer skal slaktes?
Vi regner ut 80 % av 60:
\[ 0{,}80 \cdot 60 = 48 \]
Svar: 48 sauer skal slaktes.
Oppgave 2 (1 poeng)
En familie leser av vannmåleren og ser at de i løpet av det siste året har brukt 120 m³ vann. Hvor mange liter vann har familien i gjennomsnitt brukt hver måned?
1 m³ = 1000 L, så 120 m³ = 120 000 L. Vi deler på 12 måneder:
\[ \frac{120\,000 \text{ L}}{12 \text{ måneder}} = 10\,000 \text{ L per måned} \]
Svar: Familien har i gjennomsnitt brukt 10 000 liter vann per måned.
Oppgave 3 (1 poeng)
Regn ut \( 250\,000\,000 \cdot 0{,}000\,008 \).
Vi skriver tallene som tierpotenser:
\[ 250\,000\,000 = 2{,}5 \cdot 10^8 \]
\[ 0{,}000\,008 = 8 \cdot 10^{-6} \]
Vi multipliserer:
\[ 2{,}5 \cdot 10^8 \cdot 8 \cdot 10^{-6} = (2{,}5 \cdot 8) \cdot 10^{8-6} = 20 \cdot 10^2 = 2000 \]
Svar: \( 250\,000\,000 \cdot 0{,}000\,008 = 2000 \)
Oppgave 4 (1 poeng)
Fyll ut tabellen slik at antall personer og pris per person blir omvendt proporsjonale størrelser:
| Antall personer | 10 | 20 | ? |
|---|
| Pris per person (kroner) | 600 | ? | 100 |
|---|
Når to størrelser er omvendt proporsjonale, er produktet konstant. Fra første kolonne:
\[ 10 \cdot 600 = 6000 \]
Vi finner manglende pris ved 20 personer:
\[ \text{pris} = \frac{6000}{20} = 300 \text{ kr} \]
Vi finner antall personer når pris er 100 kr:
\[ \text{antall} = \frac{6000}{100} = 60 \text{ personer} \]
Svar:
| Antall personer | 10 | 20 | 60 |
|---|
| Pris per person (kroner) | 600 | 300 | 100 |
|---|
Oppgave 5 (2 poeng)
Gjør beregninger og sorter tallene i stigende rekkefølge:
\( \sqrt{81} \), \( \sqrt{10^6} \), \( 3^{-2} \), \( 10^{-1} \), \( 10^2 \), \( 2 \cdot 2^4 \), \( \dfrac{1}{2^3} \)
Vi regner ut hvert tall:
| Uttrykk | Verdi |
|---|
| \( \sqrt{81} \) | 9 |
| \( \sqrt{10^6} = 10^3 \) | 1000 |
| \( 3^{-2} = \frac{1}{9} \) | \( \approx 0{,}111 \) |
| \( 10^{-1} \) | 0,1 |
| \( 10^2 \) | 100 |
| \( 2 \cdot 2^4 = 2^5 \) | 32 |
| \( \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8} \) | 0,125 |
Svar (stigende rekkefølge):
\[ 10^{-1} \;<\; 3^{-2} \;<\; \frac{1}{2^3} \;<\; \sqrt{81} \;<\; 2 \cdot 2^4 \;<\; 10^2 \;<\; \sqrt{10^6} \]
Oppgave 6 (1 poeng)
Prisen for en vare settes opp med 10 %. Litt senere settes prisen ned igjen med 10 %. Koster varen nå mer enn, mindre enn eller det samme som før? Begrunn.
La \(P\) være den opprinnelige prisen. Etter to endringer er ny pris:
\[ P \cdot 1{,}10 \cdot 0{,}90 = P \cdot 0{,}99 \]
Det er 1 % mindre enn opprinnelig pris.
Svar: Varen koster mindre enn før (1 % mindre). Grunnen er at 10 % nedgang etter en oppgang regnes av en høyere pris, så nedgangen i kroner er større enn oppgangen.
Oppgave 7 (2 poeng)
Christoffer har kjøpt ny båt til 850 000 kroner. Verdien faller med 20 % det første året og deretter med 6 % per år de neste fem årene. Sett opp et uttrykk som kan brukes for å regne ut båtens verdi etter seks år.
Vekstfaktor for 20 % nedgang: \( 1 - 0{,}20 = 0{,}80 \).
Vekstfaktor for 6 % nedgang: \( 1 - 0{,}06 = 0{,}94 \).
Etter 1. år: \( 850\,000 \cdot 0{,}80 \). Deretter ganges det med \(0{,}94\) hvert av de neste fem årene.
Svar: Verdien etter seks år er gitt ved
\[ 850\,000 \cdot 0{,}80 \cdot 0{,}94^5 \]
Oppgave 8 (2 poeng)
En stålplate er 1000 mm lang, 500 mm bred og 6 mm tykk. Stål har massetetthet 8 g/cm³. Hvor mye veier stålplaten?
Vi gjør om mål til cm:
\[ 1000 \text{ mm} = 100 \text{ cm}, \quad 500 \text{ mm} = 50 \text{ cm}, \quad 6 \text{ mm} = 0{,}6 \text{ cm} \]
Volumet av platen:
\[ V = 100 \cdot 50 \cdot 0{,}6 = 3000 \text{ cm}^3 \]
Massen blir:
\[ m = V \cdot \rho = 3000 \cdot 8 = 24\,000 \text{ g} = 24 \text{ kg} \]
Svar: Stålplaten veier 24 kg.
Oppgave 9 (4 poeng)
Petter, Ola og Ine eier hver sin hytte. De betaler en fast årsavgift og en pris per bompassering.
- Petter: 40 passeringer, 3200 kr
- Ola: 100 passeringer, 6200 kr
- Ine: 5200 kr
a) Hva er årsavgift og pris per passering?
b) Sett opp en lineær modell.
c) Hvor mange ganger passerte Ine?
a) Pris per passering og årsavgift:
Forskjellen mellom Ola og Petter er kun antall passeringer (60 flere) og 3000 kr mer betalt:
\[ \text{pris per passering} = \frac{6200 - 3200}{100 - 40} = \frac{3000}{60} = 50 \text{ kr} \]
Vi finner årsavgiften ved å bruke Petters tall:
\[ \text{årsavgift} = 3200 - 40 \cdot 50 = 3200 - 2000 = 1200 \text{ kr} \]
Svar a): Årsavgiften er 1200 kr, og pris per bompassering er 50 kr.
b) Lineær modell:
La \(x\) være antall bompasseringer og \(T(x)\) totale kostnader i kroner:
\[ T(x) = 1200 + 50x \]
Svar b): \( T(x) = 1200 + 50x \)
c) Antall passeringer for Ine:
\[ 5200 = 1200 + 50x \]
\[ 50x = 4000 \]
\[ x = 80 \]
Svar c): Ine passerte bommen 80 ganger.
Oppgave 10 (2 poeng)
Tallfølgen \(1, 3, 7, 13, 21, \ldots\). Susanne ser et mønster:
\[ 0 \cdot 1 + 1 = 1 \]
\[ 1 \cdot 2 + 1 = 3 \]
\[ 2 \cdot 3 + 1 = 7 \]
\[ 3 \cdot 4 + 1 = 13 \]
a) Bestem tall nummer 8.
b) Sett opp en formel for tall nummer \(n\).
Mønsteret er at tall nummer \(n\) er gitt ved \( (n-1) \cdot n + 1 \). Vi sjekker:
- \(n=1\): \( 0 \cdot 1 + 1 = 1 \) ✓
- \(n=2\): \( 1 \cdot 2 + 1 = 3 \) ✓
- \(n=3\): \( 2 \cdot 3 + 1 = 7 \) ✓
- \(n=4\): \( 3 \cdot 4 + 1 = 13 \) ✓
- \(n=5\): \( 4 \cdot 5 + 1 = 21 \) ✓
a) Tall nummer 8:
\[ a(8) = 7 \cdot 8 + 1 = 56 + 1 = 57 \]
b) Formel for tall nummer \(n\):
\[ a(n) = (n-1) \cdot n + 1 = n^2 - n + 1 \]
Svar:
a) Tall nummer 8 er 57.
b) \( a(n) = (n-1) \cdot n + 1 \) (eventuelt \( a(n) = n^2 - n + 1 \))
Oppgave 11 (3 poeng)
En bedrift har kostnader \( K(x) = x^2 + b \cdot x + 20\,000 \) kroner ved produksjon av \(x\) enheter.
a) Bestem \(K(0)\). Hva forteller denne verdien?
Det koster 30 000 kroner å produsere 50 enheter.
b) Bestem \(b\).
a) Bestem \(K(0)\):
\[ K(0) = 0^2 + b \cdot 0 + 20\,000 = 20\,000 \]
Svar a): \( K(0) = 20\,000 \) kr. Dette er de faste kostnadene – kostnadene bedriften har selv når den ikke produserer noen enheter (f.eks. husleie, forsikring).
b) Bestem \(b\):
Vi setter inn \(K(50) = 30\,000\):
\[ 30\,000 = 50^2 + b \cdot 50 + 20\,000 \]
\[ 30\,000 = 2500 + 50b + 20\,000 \]
\[ 30\,000 - 22\,500 = 50b \]
\[ 50b = 7500 \]
\[ b = 150 \]
Svar b): \( b = 150 \)
Oppgave 12 (2 poeng)
Lufttetthet: \( L = \dfrac{p}{287 \cdot T} \).
Påstand 1: Når \(T\) er konstant, er \(p\) og \(L\) proporsjonale.
Påstand 2: \(L\) og \(T\) er omvendt proporsjonale.
Argumenter for om hver påstand er sann eller usann.
Påstand 1: Når \(T\) er konstant, kan vi skrive
\[ L = \frac{1}{287 \cdot T} \cdot p = k \cdot p, \quad \text{der } k = \frac{1}{287T} \text{ er konstant.} \]
Dette er en proporsjonal sammenheng: når \(p\) dobles, dobles \(L\) også. Forholdet \( \dfrac{L}{p} \) er konstant.
Påstand 1 er SANN. Når temperaturen er konstant, er trykk og lufttetthet proporsjonale størrelser.
Påstand 2: To størrelser \(L\) og \(T\) er omvendt proporsjonale dersom produktet \(L \cdot T\) er konstant. Vi regner ut:
\[ L \cdot T = \frac{p}{287 \cdot T} \cdot T = \frac{p}{287} \]
Produktet \( L \cdot T \) avhenger av \(p\) og er bare konstant dersom \(p\) er konstant. Påstanden gjelder derfor ikke generelt.
Påstand 2 er USANN. Lufttetthet og temperatur er bare omvendt proporsjonale dersom trykket \(p\) holdes konstant. Påstanden mangler denne forutsetningen.
Oppgave 13 (4 poeng)
I 2026 består en fuglebestand av 20 000 individer. Sofie er forsker og antar at bestanden vil minke de kommende årene. Hun har laget to modeller og skrevet programkoden nedenfor.
x = 0 # x er antall år etter 2026
def f(x):
return 20000 - 300 * x
def g(x):
return 20000 * 0.984 ** x
while f(x) >= g(x):
x = x + 1
print("Resultat:")
print(x)
print(f(x))
print(g(x))
Output:
Resultat:
10
17000
17020.83963620087
a) Gi en praktisk tolkning av modellene \(f\) og \(g\).
b) Hva ønsker Sofie å finne ut? Hva forteller verdiene som skrives ut når programmet kjøres?
a) Praktisk tolkning av modellene:
Modell \(f\): \( f(x) = 20\,000 - 300x \) er en lineær modell. Den antar at bestanden i 2026 er 20 000 individer, og at bestanden minker med 300 individer per år.
Modell \(g\): \( g(x) = 20\,000 \cdot 0{,}984^x \) er en eksponentiell modell. Den antar at bestanden i 2026 er 20 000 individer, og at bestanden minker med en vekstfaktor på 0,984 per år, dvs. en nedgang på 1,6 % per år.
Svar a): \(f\) beskriver lineær nedgang på 300 individer/år, mens \(g\) beskriver eksponentiell nedgang på 1,6 % per år. Begge starter på 20 000 individer i 2026.
b) Hva programmet finner ut:
Programmet starter med \(x = 0\) (året 2026) og øker \(x\) så lenge \(f(x) \geq g(x)\). Det betyr at programmet leter etter første år hvor den eksponentielle modellen \(g\) gir høyere verdi enn den lineære modellen \(f\) – altså det første året der \(g\)-bestanden er større enn \(f\)-bestanden.
I de første årene synker den lineære modellen raskere enn den eksponentielle. På et tidspunkt vil grafene krysse hverandre, og deretter ligger den eksponentielle modellen høyere.
Utskriftene betyr:
- 10: Det går 10 år før den eksponentielle modellen \(g\) gir høyere verdi enn den lineære modellen \(f\). Det er altså i år \(2026 + 10 = 2036\).
- 17000: \( f(10) = 20\,000 - 300 \cdot 10 = 17\,000 \). Den lineære modellen anslår 17 000 individer i 2036.
- 17020,84: \( g(10) = 20\,000 \cdot 0{,}984^{10} \approx 17\,020{,}84 \). Den eksponentielle modellen anslår ca. 17 021 individer i 2036.
Svar b): Sofie vil finne ut når den eksponentielle modellen først gir høyere bestand enn den lineære modellen. Programmet skriver ut at dette skjer 10 år etter 2026 (altså i 2036), og at de to modellene da gir henholdsvis 17 000 og ca. 17 021 individer.
Oppgave 1 (5 poeng)
Fru Hansen har en gammel bil. Når hun kjører i \(x\) km/h, slipper bilen ut \(U(x)\) gram CO₂ per kilometer:
\[ U(x) = \frac{5400}{x} + 0{,}0074x^2 + 50, \quad 30 < x < 110 \]
a) Hvor mange gram CO₂ per km ved 50 km/h?
b) Hvilken fart gir minst utslipp? Hva er utslippet ved denne farten?
c) Fru Hansen kjører 90 km/h i 20 minutter. Hvor mange gram CO₂ slippes ut?
a) Utslipp ved 50 km/h:
\[ U(50) = \frac{5400}{50} + 0{,}0074 \cdot 50^2 + 50 \]
\[ U(50) = 108 + 18{,}5 + 50 = 176{,}5 \]
Svar a): Ved 50 km/h slipper bilen ut 176,5 gram CO₂ per kilometer.
b) Minste utslipp:
Vi finner minimum av \(U(x)\) ved hjelp av graftegner eller CAS.
Slik gjør du det i GeoGebra Grafisk:
- Skriv inn:
U(x) = 5400/x + 0.0074*x^2 + 50
- Bruk kommandoen:
Ekstremalpunkt(U, 30, 110)
- GeoGebra gir bunnpunktet \(M \approx (71{,}5\,;\;163{,}4)\)
Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
- Definer funksjonen:
U(x) := 5400/x + 0.0074*x^2 + 50
- Finn minimum:
Min(U, 30, 110) → gir \(x \approx 71{,}46\)
- Regn ut utslippet:
U(71.46) → gir \(\approx 163{,}4\)
Svar b): Minst utslipp er ved en fart på ca. 71,5 km/h. Da slipper bilen ut ca. 163 gram CO₂ per kilometer.
c) Totalt utslipp ved 90 km/h i 20 minutter:
I 20 minutter ved 90 km/h er strekningen:
\[ s = 90 \cdot \frac{20}{60} = 30 \text{ km} \]
Utslipp per km ved 90 km/h:
\[ U(90) = \frac{5400}{90} + 0{,}0074 \cdot 90^2 + 50 = 60 + 59{,}94 + 50 = 169{,}94 \]
Totalt utslipp:
\[ 169{,}94 \cdot 30 \approx 5098 \text{ g} \]
Svar c): Bilen slipper ut ca. 5100 gram (ca. 5,1 kg) CO₂ i løpet av disse 20 minuttene.
Oppgave 2 (2 poeng)
I september 2025 satte Norges Bank ned styringsrenten fra 4,25 % til 4 %.
a) Hvor mange prosentpoeng ble styringsrenten satt ned med?
b) Hvor mange prosent ble styringsrenten satt ned med?
a) Endring i prosentpoeng:
\[ 4{,}25\,\% - 4\,\% = 0{,}25 \text{ prosentpoeng} \]
Svar a): Styringsrenten ble satt ned med 0,25 prosentpoeng.
b) Prosentvis endring:
\[ \frac{0{,}25}{4{,}25} \cdot 100\,\% \approx 5{,}88\,\% \]
Svar b): Styringsrenten ble satt ned med ca. 5,9 %.
Oppgave 3 (6 poeng)
Vipa er en kritisk truet fuglearter i Norge.
| År | 2013 | 2022 |
|---|
| Vipebestand (par) | 9000 | 2500 |
|---|
Tor antar lineær nedgang. Egil antar eksponentiell nedgang. La \(x\) være antall år etter 2013.
a) Lag modell \(f\) ut fra Tors antakelser.
b) Lag modell \(g\) ut fra Egils antakelser.
Myndighetene verner hekkeområder, og bestanden vil stabilisere seg. Egil ønsker en ny modell. Han lager først eksponentiell modell \(p\), så endrer han litt og kommer fram til modell \(q\). Graf for modellene er gitt: modell \(p\) går gjennom punktene \( (0, 7000) \) og \( (9, 500) \), og modell \(q\) starter i \( (0, 9000) \), går gjennom \( (9, 2500) \) og har asymptote \( y = 2000 \).
c) Gjør rede for antakelsene Egil har lagt til grunn for modell \(q\). Bestem \(p(x)\) og \(q(x)\).
a) Lineær modell \(f\) (Tors antakelser):
Tor antar at bestanden minker like mye hvert år. Vi finner stigningstallet:
\[ a = \frac{2500 - 9000}{9 - 0} = \frac{-6500}{9} \approx -722{,}22 \]
Da bestanden var 9000 par i 2013 (\(x = 0\)), er konstantleddet 9000:
\[ f(x) = 9000 - 722{,}22x \]
Svar a): \( f(x) = 9000 - 722{,}22x \). Modellen sier at vipebestanden minker med ca. 722 par per år. Etter ca. 12,5 år (rundt 2025–2026) vil bestanden ifølge modellen være null.
b) Eksponentiell modell \(g\) (Egils antakelser):
Egil antar at bestanden minker prosentvis like mye hvert år. Vi har \(g(x) = 9000 \cdot k^x\) med \(g(9) = 2500\):
\[ 9000 \cdot k^9 = 2500 \implies k^9 = \frac{2500}{9000} = \frac{5}{18} \]
\[ k = \left(\frac{5}{18}\right)^{1/9} \approx 0{,}867 \]
\[ g(x) = 9000 \cdot 0{,}867^x \]
Svar b): \( g(x) = 9000 \cdot 0{,}867^x \). Modellen sier at vipebestanden minker med ca. 13,3 % per år. Bestanden går mot null over tid, men nærmer seg null mye saktere enn i Tors modell.
c) Modell \(p\) og \(q\):
Fra grafen leser vi punktene \( (0, 7000) \) og \( (9, 500) \) for modellen \(p\). Egil antar her at uten vernetiltak ville bestanden minket eksponentielt mye raskere (fra en lavere startbestand enn i de opprinnelige modellene). Vi finner vekstfaktoren:
\[ p(x) = 7000 \cdot k^x, \quad p(9) = 500 \]
\[ 7000 \cdot k^9 = 500 \implies k = \left(\frac{500}{7000}\right)^{1/9} = \left(\frac{1}{14}\right)^{1/9} \approx 0{,}746 \]
\[ p(x) = 7000 \cdot 0{,}746^x \]
For modell \(q\) ser vi fra grafen at:
- \( q(0) = 9000 \) (bestanden i 2013)
- \( q(9) = 2500 \) (bestanden i 2022)
- Grafen har asymptote ved \( y = 2000 \) (bestanden stabiliserer seg på dette nivået)
Egil endrer modell \(p\) ved å forskyve den slik at den ikke går mot null, men mot 2000. Det gjøres ved å legge til konstanten \(2000\) (asymptoten) og bruke "starthøyden" \( 9000 - 2000 = 7000 \) over asymptoten:
\[ q(x) = (9000 - 2000) \cdot 0{,}746^x + 2000 = 7000 \cdot 0{,}746^x + 2000 \]
Vi sjekker:
- \( q(0) = 7000 \cdot 1 + 2000 = 9000 \) ✓
- \( q(9) = 7000 \cdot 0{,}746^9 + 2000 \approx 500 + 2000 = 2500 \) ✓
- Når \(x \to \infty\): \( 0{,}746^x \to 0 \), så \( q(x) \to 2000 \) ✓ (asymptoten)
Svar c):
Antakelser Egil har lagt til grunn for modell \(q\):
- Bestanden vil ikke gå mot null, men stabilisere seg på ca. 2000 par takket være verntiltakene.
- Nedgangen er fortsatt eksponentiell, men den foregår fra startbestanden mot det stabile nivået istedenfor mot null. Egil bruker samme vekstfaktor som i modell \(p\), men forskyver kurven oppover med asymptoteverdien.
- Asymptoten \( y = 2000 \) representerer det bærekraftige nivået bestanden går mot.
Modellene:
\[ p(x) = 7000 \cdot 0{,}746^x \]
\[ q(x) = 7000 \cdot 0{,}746^x + 2000 \]
Oppgave 4 (4 poeng)
For å varme opp 1 liter vann 1 grad Celsius kreves en energi på 4184 J.
Vanntemperaturen fra varmtvannstanken er 70 °C. Kaldt vann er 10 °C.
a) Vis at å varme opp 100 L vann fra 10 °C til 70 °C krever \( 2{,}51 \cdot 10^7 \) J.
Martin dusjer og bruker 15 liter vann per minutt. Dusjvannet er 40 °C. Formelen
\[ V = \frac{T - 10}{4} \]
gir hvor mange liter vann fra varmtvannstanken Martin bruker per minutt når dusjvannet har temperatur \(T\) °C.
En dag dusjer Martin i 10 minutter (dusjvann 40 °C).
b) Hvor mange liter vann fra varmtvannstanken bruker han?
c) Hvor mye energi kreves for å varme opp dette vannet?
Strømpris: 134 øre per kWh, og \(1 \text{ kWh} = 3{,}6 \cdot 10^6\) J.
d) Hvor mye kostet dusjen denne morgenen?
a) Energi for å varme opp 100 L fra 10 °C til 70 °C:
Temperaturøkningen er \( 70 - 10 = 60 \) grader. Energien blir:
\[ E = 100 \text{ L} \cdot 60 \text{ °C} \cdot 4184 \text{ J/(L · °C)} \]
\[ E = 100 \cdot 60 \cdot 4184 = 25\,104\,000 \text{ J} \]
\[ E \approx 2{,}51 \cdot 10^7 \text{ J} \quad \checkmark \]
Svar a): Det kreves ca. \( 2{,}51 \cdot 10^7 \) J for å varme opp 100 L vann fra 10 °C til 70 °C.
b) Liter varmtvann per minutt:
Med \(T = 40\) i formelen \( V = \dfrac{T - 10}{4} \):
\[ V = \frac{40 - 10}{4} = \frac{30}{4} = 7{,}5 \text{ L per minutt} \]
Total bruk i 10 minutter:
\[ 7{,}5 \cdot 10 = 75 \text{ L} \]
Svar b): Martin bruker 75 liter vann fra varmtvannstanken på 10 minutter.
c) Energi for å varme opp 75 L vann fra 10 °C til 70 °C:
\[ E = 75 \cdot (70 - 10) \cdot 4184 = 75 \cdot 60 \cdot 4184 = 18\,828\,000 \text{ J} \]
\[ E \approx 1{,}88 \cdot 10^7 \text{ J} \]
Svar c): Det kreves ca. \( 1{,}88 \cdot 10^7 \) J (ca. 18,8 MJ) for å varme opp vannet.
d) Kostnad for dusjen:
Vi gjør om fra J til kWh:
\[ \text{Energi} = \frac{18\,828\,000 \text{ J}}{3{,}6 \cdot 10^6 \text{ J/kWh}} = \frac{18{,}828}{3{,}6} \approx 5{,}23 \text{ kWh} \]
Kostnad i øre:
\[ 5{,}23 \cdot 134 \approx 701 \text{ øre} = 7{,}01 \text{ kr} \]
Svar d): Dusjen kostet ca. 7 kroner denne morgenen.