VG2
Løsningsforslag Matematikk 2P-YHøst 2023
Løsningsforslag – Matematikk 2P-Y Høst 2023
Eksamen MAT1151
Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no.
Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.
DEL 1 – Uten hjelpemidler
Oppgave 1
Oppgave: Selma er på ferie og vil bruke buss. Hun vurderer enkeltbillett til 25 kr per reise eller fleksikort med 20 reiser til 415 kr.
a) Hvor mange reiser må hun ta med bussen for at det skal lønne seg å kjøpe et fleksikort med 20 reiser?
b) Tenk deg at Selma kjøper et fleksikort med 20 reiser og bruker alle reisene. Hvor mange prosent sparer hun sammenliknet med å kjøpe 20 enkeltbilletter?
a) Hvor mange reiser må hun ta med bussen for at det skal lønne seg å kjøpe et fleksikort med 20 reiser?
b) Tenk deg at Selma kjøper et fleksikort med 20 reiser og bruker alle reisene. Hvor mange prosent sparer hun sammenliknet med å kjøpe 20 enkeltbilletter?
a) Hvor mange reiser for at fleksikortet lønner seg?
Prisen per reise med enkeltbillett er 25 kroner. Med fleksikort koster 20 reiser 415 kroner.
For at fleksikortet skal lønne seg, må kostnaden med enkeltbilletter være minst like høy som fleksikortet. Vi setter opp ulikheten:
\[25 \cdot x \geq 415\]
Vi løser for \(x\):
\[x \geq \frac{415}{25} = 16{,}6\]
Siden antall reiser må være et helt tall, må hun ta minst 17 reiser.
Svar: Selma må ta minst 17 reiser for at det skal lønne seg å kjøpe fleksikortet.
Vanlig feil: Når du får et desimaltall (16,6 reiser) som svar på en oppgave der svaret må være et helt tall, må du vurdere om du skal runde opp eller ned. Siden du trenger mer enn 16,6 reiser for å spare, må du runde opp til 17.
b) Hvor mange prosent sparer hun?
Prisen for 20 enkeltbilletter:
\[20 \cdot 25 = 500 \text{ kr}\]
Med fleksikort betaler hun 415 kr. Besparelsen er:
\[500 - 415 = 85 \text{ kr}\]
Vi regner ut hvor mange prosent dette utgjør av prisen med enkeltbilletter:
\[\frac{85}{500} \cdot 100\,\% = 17\,\%\]
Svar: Selma sparer 17 % ved å kjøpe fleksikort sammenliknet med å kjøpe 20 enkeltbilletter.
Oppgave 2
Oppgave: I 2002 var det registrert omtrent 1,9 millioner personbiler i Norge. I 2022 var antallet omtrent 2,9 millioner. Anta at antall personbiler økte lineært i denne perioden, og sett opp en modell som viser antall millioner registrerte personbiler \(x\) år etter 2002. Hvor mange registrerte personbiler vil det være i Norge i 2030 ifølge modellen?
Vi har to datapunkter:
- \(x = 0\) (år 2002): 1,9 millioner
- \(x = 20\) (år 2022): 2,9 millioner
Vi finner stigningstallet (økningen per år):
\[a = \frac{2{,}9 - 1{,}9}{20 - 0} = \frac{1{,}0}{20} = 0{,}05\]
Startverdi (konstantleddet) er antall biler i 2002:
\[b = 1{,}9\]
Den lineære modellen blir:
\[y = 0{,}05x + 1{,}9\]
der \(y\) er antall millioner personbiler og \(x\) er antall år etter 2002.
År 2030 tilsvarer \(x = 2030 - 2002 = 28\). Vi setter inn:
\[y = 0{,}05 \cdot 28 + 1{,}9 = 1{,}4 + 1{,}9 = 3{,}3\]
Svar: Ifølge modellen \(y = 0{,}05x + 1{,}9\) vil det være omtrent 3,3 millioner registrerte personbiler i Norge i 2030.
Oppgave 3
Oppgave: Sola har en masse på ca. \(2{,}0 \cdot 10^{30}\) kg. Jorda har en masse på ca. \(6{,}0 \cdot 10^{24}\) kg. Massen til sola er omtrent ... ganger større enn massen til jorda. Gjør beregninger og finn ut hvilket tall som mangler. Skriv tallet på standardform.
Vi deler massen til sola på massen til jorda:
\[\frac{2{,}0 \cdot 10^{30}}{6{,}0 \cdot 10^{24}}\]
Vi deler tallene og bruker potensregler for eksponentene:
\[\frac{2{,}0}{6{,}0} \cdot 10^{30-24} = \frac{2{,}0}{6{,}0} \cdot 10^{6}\]
\[\approx 0{,}333 \cdot 10^{6}\]
Vi skriver dette på standardform (tallet foran skal være mellom 1 og 10):
\[0{,}333 \cdot 10^{6} = 3{,}33 \cdot 10^{5}\]
Vi runder av til to gjeldende siffer (samme nøyaktighet som oppgitte data):
\[\approx 3{,}3 \cdot 10^{5}\]
Svar: Massen til sola er omtrent \(3{,}3 \cdot 10^{5}\) ganger større enn massen til jorda (altså ca. 330 000 ganger).
Oppgave 4
Oppgave: Jonas har notert hvor mange kilometer han har jogget hver av de siste ti dagene. Han ser at typetallet er 5 km, medianen er 8 km og gjennomsnittet er 9 km. Du skal sette opp to mulige alternativer som viser hvor mange kilometer han kan ha jogget hver av de ti dagene.
Krav:
- I det første alternativet skal du bruke 8 km minst én dag.
- I det andre alternativet skal du ikke bruke 8 km noen av dagene, og minst halvparten av tallene du bruker, skal være tall du ikke brukte i det første alternativet.
Krav:
- I det første alternativet skal du bruke 8 km minst én dag.
- I det andre alternativet skal du ikke bruke 8 km noen av dagene, og minst halvparten av tallene du bruker, skal være tall du ikke brukte i det første alternativet.
Vi må finne 10 tall som oppfyller:
- Typetall = 5 (5 må forekomme oftest)
- Median = 8 (gjennomsnittet av de to midterste verdiene, altså verdi nr. 5 og nr. 6, må være 8)
- Gjennomsnitt = 9 (summen av alle 10 tall må være \(9 \cdot 10 = 90\))
Alternativ 1 (bruk 8 km minst én dag)
Vi prøver med tallene sortert i stigende rekkefølge. Typetallet 5 må forekomme flest ganger. Medianen er gjennomsnittet av verdi nr. 5 og nr. 6. Vi lar verdi nr. 5 og nr. 6 begge være 8.
Et forslag:
\[3, \; 5, \; 5, \; 5, \; 8, \; 8, \; 10, \; 12, \; 14, \; 20\]
Kontroll:
- Typetall: 5 (forekommer 3 ganger, som er flest)
- Median: \(\frac{8 + 8}{2} = 8\) ✔
- Sum: \(3 + 5 + 5 + 5 + 8 + 8 + 10 + 12 + 14 + 20 = 90\)
- Gjennomsnitt: \(\frac{90}{10} = 9\) ✔
Alternativ 2 (ikke bruk 8 km, og minst halvparten nye tall)
Medianen skal fortsatt være 8, men vi bruker ikke 8. Da må verdi nr. 5 og nr. 6 ha gjennomsnitt 8, for eksempel 7 og 9.
Vi må bruke minst 5 tall som ikke ble brukt i alternativ 1 (der vi brukte 3, 5, 8, 10, 12, 14, 20). Nye tall kan for eksempel være: 1, 2, 7, 9, 15, 16, osv.
Et forslag:
\[1, \; 2, \; 5, \; 5, \; 7, \; 9, \; 15, \; 16, \; 25, \; 5\]
Sortert:
\[1, \; 2, \; 5, \; 5, \; 5, \; 7, \; 9, \; 15, \; 16, \; 25\]
Kontroll:
- Typetall: 5 (forekommer 3 ganger) ✔
- Median: \(\frac{5 + 7}{2} = 6\) ✘ — dette gir feil median.
Vi justerer. Vi trenger verdi nr. 5 og nr. 6 med gjennomsnitt 8. La oss prøve 7 og 9:
\[1, \; 5, \; 5, \; 5, \; 7, \; 9, \; 11, \; 15, \; 16, \; 16\]
Kontroll:
- Typetall: 5 (forekommer 3 ganger, 16 forekommer 2 ganger — 5 er fortsatt typetallet) ✔
- Median: \(\frac{7 + 9}{2} = 8\) ✔
- Sum: \(1 + 5 + 5 + 5 + 7 + 9 + 11 + 15 + 16 + 16 = 90\)
- Gjennomsnitt: \(\frac{90}{10} = 9\) ✔
- Bruker ikke 8: ✔
- Nye tall (ikke brukt i alternativ 1): 1, 7, 9, 11, 15, 16 — det er 6 av 10, altså minst halvparten ✔
Svar:
Alternativ 1: \(3, \; 5, \; 5, \; 5, \; 8, \; 8, \; 10, \; 12, \; 14, \; 20\)
Alternativ 2: \(1, \; 5, \; 5, \; 5, \; 7, \; 9, \; 11, \; 15, \; 16, \; 16\)
Begge datasettene har typetall 5, median 8 og gjennomsnitt 9.
Alternativ 1: \(3, \; 5, \; 5, \; 5, \; 8, \; 8, \; 10, \; 12, \; 14, \; 20\)
Alternativ 2: \(1, \; 5, \; 5, \; 5, \; 7, \; 9, \; 11, \; 15, \; 16, \; 16\)
Begge datasettene har typetall 5, median 8 og gjennomsnitt 9.
Oppgave 5
Oppgave: Du ser tre figurer som er satt sammen av små sirkler. Figurene følger et mønster (trapesform). Beskriv mønsteret, og bestem et uttrykk for antallet små sirkler i figur \(n\).
Vi teller sirklene i hver figur:
| Figur | Rader | Sirkler |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 |
| 2 | 3 | 8 |
| 3 | 4 | 15 |
La oss se nærmere på strukturen. Figur 1 har 2 rader: den øverste raden har 1 sirkel og den nederste har 2 sirkler. Men fra bildet ser vi at figur 1 er en trapesform med rader nedenfra: 2 og 1, altså 3 sirkler totalt.
Figur 2 har 3 rader med (nedenfra): 3, 3, 2 sirkler = 8 sirkler.
Figur 3 har 4 rader med (nedenfra): 4, 4, 4, 3 sirkler = 15 sirkler. La oss telle nøyere fra bildet.
Fra bildet ser vi at figurene er trekantlignende:
- Figur 1: rad 1 har 1 sirkel, rad 2 har 2 sirkler. Totalt: \(1 + 2 = 3\)
- Figur 2: radene har 2, 3, 3 sirkler. Totalt: \(2 + 3 + 3 = 8\)
- Figur 3: radene har 3, 4, 4, 4 sirkler. Totalt: \(3 + 4 + 4 + 4 = 15\)
Mønster: Figur \(n\) har \((n+1)\) rader. Den øverste raden har \(n\) sirkler, og de resterende \(n\) radene har \((n+1)\) sirkler hver.
Antall sirkler i figur \(n\):
\[S(n) = n + n \cdot (n+1) = n + n^2 + n = n^2 + 2n\]
Kontroll:
- \(S(1) = 1 + 2 = 3\) ✔
- \(S(2) = 4 + 4 = 8\) ✔
- \(S(3) = 9 + 6 = 15\) ✔
Vi kan også skrive uttrykket som:
\[S(n) = n^2 + 2n = n(n + 2)\]
Svar: Mønsteret er at figur \(n\) har \((n+1)\) rader der den øverste raden har \(n\) sirkler og de \(n\) nederste radene har \((n+1)\) sirkler. Antall sirkler i figur \(n\) er \(n^2 + 2n\) (eller \(n(n+2)\)).
DEL 2 – Med hjelpemidler
Oppgave 1
Oppgave: Funksjonen \(T\) er gitt ved
\[T(x) = -\frac{1}{1000}\left(0{,}0028x^3 - x^2 + 25x - 3800\right), \quad 0 \leq x \leq 300\]
og er en modell for temperaturen \(T(x)\) grader celsius i sjøen et sted på Sørlandet \(x\) døgn etter 31. desember 2020.
a) Bruk modellen til å bestemme forskjellen mellom høyeste og laveste temperatur i sjøen de 300 første dagene i 2021.
b) Hvor mange grader steg temperaturen i sjøen i gjennomsnitt med hvert døgn i mars ifølge modellen?
a) Bruk modellen til å bestemme forskjellen mellom høyeste og laveste temperatur i sjøen de 300 første dagene i 2021.
b) Hvor mange grader steg temperaturen i sjøen i gjennomsnitt med hvert døgn i mars ifølge modellen?
a) Forskjellen mellom høyeste og laveste temperatur
Vi må finne maksimums- og minimumsverdien til \(T(x)\) på intervallet \([0, 300]\). Vi bruker digitale hjelpemidler (for eksempel GeoGebra eller kalkulator) til å tegne grafen og finne ekstremalpunktene.
Vi undersøker funksjonen:
\[T(x) = -\frac{1}{1000}\left(0{,}0028x^3 - x^2 + 25x - 3800\right)\]
Vi forenkler:
\[T(x) = -0{,}0000028x^3 + 0{,}001x^2 - 0{,}025x + 3{,}8\]
Ved å bruke digitale hjelpemidler finner vi:
- Laveste temperatur: Vi evaluerer i endepunktene og eventuelle lokale minimumspunkt.
Vi beregner noen verdier:
\[T(0) = -\frac{1}{1000}(0 - 0 + 0 - 3800) = -\frac{-3800}{1000} = 3{,}8 \text{ °C}\]
\[T(300) = -\frac{1}{1000}(0{,}0028 \cdot 27\,000\,000 - 90\,000 + 7\,500 - 3\,800)\]
\[= -\frac{1}{1000}(75\,600 - 90\,000 + 7\,500 - 3\,800) = -\frac{-10\,700}{1000} = 10{,}7 \text{ °C}\]
For å finne ekstremalpunktene setter vi den deriverte lik null:
\[T'(x) = -0{,}0000084x^2 + 0{,}002x - 0{,}025 = 0\]
Vi løser med digitale hjelpemidler og finner røttene \(x \approx 13{,}0\) og \(x \approx 225{,}1\).
Vi beregner funksjonsverdiene:
\[T(13{,}0) \approx 3{,}6 \text{ °C} \quad (\text{lokalt minimum})\]
\[T(225{,}1) \approx 17{,}0 \text{ °C} \quad (\text{lokalt maksimum})\]
Vi sammenligner alle verdier: \(T(0) = 3{,}8\), \(T(13) \approx 3{,}6\), \(T(225) \approx 17{,}0\), \(T(300) = 10{,}7\).
Forskjellen mellom høyeste og laveste temperatur:
\[17{,}0 - 3{,}6 = 13{,}4 \text{ °C}\]
Svar: Forskjellen mellom høyeste og laveste temperatur i sjøen de 300 første dagene i 2021 er ca. 13,4 °C.
b) Gjennomsnittlig temperaturstigning per døgn i mars
Januar har 31 dager og februar har 28 dager (2021 er ikke skuddår). Dermed er 1. mars = døgn 60 og 31. mars = døgn 90.
Gjennomsnittlig stigning per døgn i mars er gitt ved:
\[\frac{T(90) - T(60)}{90 - 60}\]
Vi beregner \(T(60)\):
\[T(60) = -\frac{1}{1000}\left(0{,}0028 \cdot 60^3 - 60^2 + 25 \cdot 60 - 3800\right)\]
\[= -\frac{1}{1000}\left(0{,}0028 \cdot 216\,000 - 3\,600 + 1\,500 - 3\,800\right)\]
\[= -\frac{1}{1000}\left(604{,}8 - 3\,600 + 1\,500 - 3\,800\right)\]
\[= -\frac{-5\,295{,}2}{1000} = 5{,}30 \text{ °C}\]
Vi beregner \(T(90)\):
\[T(90) = -\frac{1}{1000}\left(0{,}0028 \cdot 90^3 - 90^2 + 25 \cdot 90 - 3800\right)\]
\[= -\frac{1}{1000}\left(0{,}0028 \cdot 729\,000 - 8\,100 + 2\,250 - 3\,800\right)\]
\[= -\frac{1}{1000}\left(2\,041{,}2 - 8\,100 + 2\,250 - 3\,800\right)\]
\[= -\frac{-7\,608{,}8}{1000} = 7{,}61 \text{ °C}\]
Gjennomsnittlig stigning per døgn:
\[\frac{T(90) - T(60)}{90 - 60} = \frac{7{,}61 - 5{,}30}{30} = \frac{2{,}31}{30} \approx 0{,}077 \text{ °C per døgn}\]
Svar: Temperaturen i sjøen steg i gjennomsnitt med ca. 0,077 °C per døgn i mars ifølge modellen.
Oppgave 2
Oppgave: Tabellen viser de 11 fotballspillerne som skåret flest mål i eliteserien 2022:
a) Bestem typetallet, variasjonsbredden og medianen for antall mål.
b) Bestem gjennomsnittet og standardavviket for antall mål.
c) For de 11 fotballspillerne som skåret flest mål i sesongen 2021, var medianen 11, gjennomsnittet 14,5 og standardavviket 6,7. Hva kan du ut fra dette og beregningene i a) og b) si om de 11 fotballspillerne fra 2021 sammenliknet med de 11 fotballspillerne fra 2022?
| Rank | Spiller | Mål |
|---|---|---|
| 1 | Amahl Pellegrino | 25 |
| 2 | Hugo Vetlesen | 16 |
| 3 | David Datro Fofana | 15 |
| 3 | Casper Tengstedt | 15 |
| 3 | Tobias Heintz | 15 |
| 6 | Ole Hammerfjell Sæter | 14 |
| 7 | Eric Bugale Kitolano | 13 |
| 8 | Runar Espejord | 12 |
| 8 | Mohamed Ofkir | 12 |
| 10 | Ola Brynhildsen | 11 |
| 10 | Johan Hove | 11 |
a) Bestem typetallet, variasjonsbredden og medianen for antall mål.
b) Bestem gjennomsnittet og standardavviket for antall mål.
c) For de 11 fotballspillerne som skåret flest mål i sesongen 2021, var medianen 11, gjennomsnittet 14,5 og standardavviket 6,7. Hva kan du ut fra dette og beregningene i a) og b) si om de 11 fotballspillerne fra 2021 sammenliknet med de 11 fotballspillerne fra 2022?
a) Typetall, variasjonsbredde og median
Vi sorterer antall mål i stigende rekkefølge:
\[11, \; 11, \; 12, \; 12, \; 13, \; 14, \; 15, \; 15, \; 15, \; 16, \; 25\]
Typetall: Den verdien som forekommer flest ganger. 15 forekommer 3 ganger, som er flest.
\[\text{Typetall} = 15\]
Variasjonsbredde: Forskjellen mellom største og minste verdi.
\[\text{Variasjonsbredde} = 25 - 11 = 14\]
Median: Vi har 11 verdier, så medianen er den 6. verdien (den midterste).
\[\text{Median} = 14\]
Svar: Typetallet er 15, variasjonsbredden er 14, og medianen er 14.
b) Gjennomsnitt og standardavvik
Vi regner ut gjennomsnittet:
\[\bar{x} = \frac{25 + 16 + 15 + 15 + 15 + 14 + 13 + 12 + 12 + 11 + 11}{11}\]
\[\bar{x} = \frac{159}{11} \approx 14{,}45\]
Vi regner ut standardavviket. Først finner vi avvikene fra gjennomsnittet og kvadrerer dem:
| Mål \(x_i\) | \(x_i - \bar{x}\) | \((x_i - \bar{x})^2\) |
|---|---|---|
| 25 | 10,55 | 111,30 |
| 16 | 1,55 | 2,40 |
| 15 | 0,55 | 0,30 |
| 15 | 0,55 | 0,30 |
| 15 | 0,55 | 0,30 |
| 14 | −0,45 | 0,20 |
| 13 | −1,45 | 2,10 |
| 12 | −2,45 | 6,00 |
| 12 | −2,45 | 6,00 |
| 11 | −3,45 | 11,90 |
| 11 | −3,45 | 11,90 |
Sum av kvadratavvik:
\[\sum (x_i - \bar{x})^2 \approx 152{,}73\]
Standardavvik (vi deler på \(n = 11\)):
\[s = \sqrt{\frac{152{,}73}{11}} = \sqrt{13{,}88} \approx 3{,}7\]
Svar: Gjennomsnittet er ca. 14,5 mål og standardavviket er ca. 3,7.
c) Sammenligning 2021 og 2022
Vi sammenligner nøkkeltallene for 2021 og 2022:
| 2021 | 2022 | |
|---|---|---|
| Median | 11 | 14 |
| Gjennomsnitt | 14,5 | 14,5 |
| Standardavvik | 6,7 | 3,7 |
Vi kan observere følgende:
- Gjennomsnittet er omtrent likt (14,5) begge årene. Det betyr at toppskårerne i snitt skåret like mange mål.
- Medianen er mye høyere i 2022 (14) enn i 2021 (11). Dette betyr at «den typiske» toppskåreren skåret flere mål i 2022.
- Standardavviket er mye lavere i 2022 (3,7) enn i 2021 (6,7). Det betyr at målskårene i 2022 lå mye tettere sammen. I 2021 var det større forskjeller mellom spillerne.
- Fordi gjennomsnittet er likt men medianen er lavere i 2021, tyder det på at noen få spillere i 2021 skåret svært mange mål og trakk opp gjennomsnittet, mens flertallet skåret færre. I 2022 var fordelingen jevnere.
Svar: Toppskårerne i 2022 skåret i snitt like mange mål som i 2021, men målene var mye jevnere fordelt i 2022 (lavere standardavvik). I 2021 var det noen få spillere som skåret veldig mange mål, mens de fleste skåret færre (lav median, høyt standardavvik). Fordelingen i 2022 var mer symmetrisk.
Oppgave 3
Oppgave: Mona eier en butikk. Hun setter opp prisen for en vare med 160 kroner. Dette tilsvarer en prisøkning på 2,5 %. Hvor mange prosent hadde prisøkningen vært på dersom Mona i stedet hadde satt opp prisen for varen med 240 kroner?
En økning på 160 kr tilsvarer 2,5 %. Vi finner den opprinnelige prisen:
\[2{,}5\,\% \text{ av opprinnelig pris} = 160 \text{ kr}\]
\[\text{Opprinnelig pris} = \frac{160}{0{,}025} = 6\,400 \text{ kr}\]
Hvis hun i stedet hadde satt opp prisen med 240 kr:
\[\text{Prosentvis økning} = \frac{240}{6\,400} \cdot 100\,\% = 3{,}75\,\%\]
Svar: Prisøkningen hadde vært på 3,75 % dersom Mona hadde satt opp prisen med 240 kroner.
Oppgave 4
Oppgave: En elevbedrift selger grønne, svarte og blå handlenett. Prisen er den samme for hvert handlenett. Elevbedriften selger tre ganger så mange grønne som blå handlenett og dobbelt så mange svarte som blå.
Elevene setter opp prisen for det grønne handlenettet med 5 %, det svarte med 10 % og det blå med 15 %.
Hvor mange prosent vil inntektene fra salget øke med dersom elevbedriften fremdeles vil selge tre ganger så mange grønne som blå og dobbelt så mange svarte som blå, etter at de setter opp prisene?
Elevene setter opp prisen for det grønne handlenettet med 5 %, det svarte med 10 % og det blå med 15 %.
Hvor mange prosent vil inntektene fra salget øke med dersom elevbedriften fremdeles vil selge tre ganger så mange grønne som blå og dobbelt så mange svarte som blå, etter at de setter opp prisene?
La oss kalle den opprinnelige prisen for hvert handlenett \(p\), og antall blå handlenett som selges \(n\).
Da selges:
- Blå: \(n\) stykk
- Svarte: \(2n\) stykk
- Grønne: \(3n\) stykk
Opprinnelig inntekt:
\[I_{\text{før}} = n \cdot p + 2n \cdot p + 3n \cdot p = 6np\]
Nye priser etter økning:
- Grønt: \(1{,}05p\)
- Svart: \(1{,}10p\)
- Blå: \(1{,}15p\)
Ny inntekt (med samme antall av hver):
\[I_{\text{etter}} = 3n \cdot 1{,}05p + 2n \cdot 1{,}10p + n \cdot 1{,}15p\]
\[= 3{,}15np + 2{,}20np + 1{,}15np = 6{,}50np\]
Prosentvis økning i inntekt:
\[\frac{I_{\text{etter}} - I_{\text{før}}}{I_{\text{før}}} \cdot 100\,\% = \frac{6{,}50np - 6np}{6np} \cdot 100\,\% = \frac{0{,}50}{6} \cdot 100\,\%\]
\[= 8{,}3\overline{3}\,\% \approx 8{,}3\,\%\]
Svar: Inntektene fra salget vil øke med ca. 8,3 % etter prisøkningene.
Oppgave 5
Oppgave: Klassen til Emilie og Emma skal kjøpe en vase med roser i gave til læreren. De må betale for vasen og for hver rose.
Emilie sier: «Jeg tror antall roser vi kjøper, og den totale prisen for vasen og rosene vil være proporsjonale størrelser. Jo flere roser vi kjøper, desto mer må vi jo betale. Eller?»
Emma sier: «Jeg tror beløpet hver av oss må betale, er omvendt proporsjonalt med hvor mange som blir med og spleiser på gaven. Er det riktig? Er det ikke slik at når en størrelse blir mindre og en annen øker, så er størrelsene omvendt proporsjonale?»
Kommenter det Emilie og Emma sier.
Emilie sier: «Jeg tror antall roser vi kjøper, og den totale prisen for vasen og rosene vil være proporsjonale størrelser. Jo flere roser vi kjøper, desto mer må vi jo betale. Eller?»
Emma sier: «Jeg tror beløpet hver av oss må betale, er omvendt proporsjonalt med hvor mange som blir med og spleiser på gaven. Er det riktig? Er det ikke slik at når en størrelse blir mindre og en annen øker, så er størrelsene omvendt proporsjonale?»
Kommenter det Emilie og Emma sier.
Kommentar til Emilies utsagn
Emilie sier at antall roser og totalprisen er proporsjonale størrelser. La oss undersøke dette.
La \(r\) være prisen per rose og \(v\) være prisen for vasen. Total pris for \(n\) roser + vase:
\[P(n) = v + r \cdot n\]
For at to størrelser skal være proporsjonale, må forholdet mellom dem være konstant. Det vil si at \(\frac{P(n)}{n}\) må være konstant for alle \(n\).
\[\frac{P(n)}{n} = \frac{v + rn}{n} = \frac{v}{n} + r\]
Dette er ikke konstant, fordi \(\frac{v}{n}\) endrer seg når \(n\) endrer seg. Så antall roser og totalprisen er ikke proporsjonale.
Dersom vasen var gratis (\(v = 0\)), ville \(P(n) = r \cdot n\), og da ville de vært proporsjonale. Det er riktig at totalprisen øker når man kjøper flere roser, men det er ikke nok til at størrelsene er proporsjonale. For proporsjonalitet kreves det at grafen er en rett linje gjennom origo.
Emilie har ikke rett. Totalprisen er en lineær funksjon av antall roser, men den går ikke gjennom origo (fordi vasen har en fast kostnad). Derfor er størrelsene ikke proporsjonale.
Kommentar til Emmas utsagn
Emma sier at beløpet per person er omvendt proporsjonalt med antall personer som spleiser. La \(K\) være totalprisen og \(n\) være antall personer.
\[\text{Beløp per person} = \frac{K}{n}\]
For omvendt proporsjonalitet kreves det at produktet av de to størrelsene er konstant:
\[\text{Beløp per person} \cdot n = K\]
Totalprisen \(K\) er den samme uansett hvor mange som spleiser (det er den faste kostnaden for vase + roser). Derfor er produktet konstant, og størrelsene er omvendt proporsjonale.
Emma nevner også at «når en størrelse blir mindre og en annen øker, er de omvendt proporsjonale». Dette er ikke alltid riktig. At en størrelse synker når en annen øker, er nødvendig, men ikke tilstrekkelig for omvendt proporsjonalitet. Produktet må også være konstant.
Emma har rett i at beløpet per person og antall personer er omvendt proporsjonale. Men begrunnelsen hennes er ikke helt presis. Det er ikke nok at en størrelse øker når en annen minker — produktet av størrelsene må også være konstant.
Oppgave 6
Oppgave: Tabellen viser antall helsefagarbeidere i Norge 2015–2022, fordelt på kjønn:
Tenk deg at du skal presentere dette datamaterialet i et foredrag. Gjør sammenlikninger og beregninger, og lag ulike fremstillinger som du kan bruke i en presentasjon. Presentasjonene skal inneholde både beregninger og diagrammer.
| År | Menn | Kvinner |
|---|---|---|
| 2015 | 2 232 | 17 493 |
| 2016 | 2 911 | 21 439 |
| 2017 | 3 558 | 24 785 |
| 2018 | 3 957 | 27 327 |
| 2019 | 4 698 | 30 733 |
| 2020 | 5 511 | 33 958 |
| 2021 | 6 447 | 37 357 |
| 2022 | 7 317 | 40 472 |
Her presenterer vi en rekke beregninger og analyser av datamaterialet.
Totalt antall helsefagarbeidere
| År | Menn | Kvinner | Totalt |
|---|---|---|---|
| 2015 | 2 232 | 17 493 | 19 725 |
| 2016 | 2 911 | 21 439 | 24 350 |
| 2017 | 3 558 | 24 785 | 28 343 |
| 2018 | 3 957 | 27 327 | 31 284 |
| 2019 | 4 698 | 30 733 | 35 431 |
| 2020 | 5 511 | 33 958 | 39 469 |
| 2021 | 6 447 | 37 357 | 43 804 |
| 2022 | 7 317 | 40 472 | 47 789 |
Totalt antall helsefagarbeidere har økt fra 19 725 i 2015 til 47 789 i 2022.
Prosentvis økning totalt fra 2015 til 2022
\[\frac{47\,789 - 19\,725}{19\,725} \cdot 100\,\% = \frac{28\,064}{19\,725} \cdot 100\,\% \approx 142{,}3\,\%\]
Totalt antall helsefagarbeidere har altså mer enn doblet seg i perioden.
Prosentvis økning fordelt på kjønn
Menn:
\[\frac{7\,317 - 2\,232}{2\,232} \cdot 100\,\% = \frac{5\,085}{2\,232} \cdot 100\,\% \approx 227{,}8\,\%\]
Kvinner:
\[\frac{40\,472 - 17\,493}{17\,493} \cdot 100\,\% = \frac{22\,979}{17\,493} \cdot 100\,\% \approx 131{,}4\,\%\]
Antall mannlige helsefagarbeidere har økt relativt sett mer enn antall kvinnelige.
Andel menn per år
| År | Andel menn |
|---|---|
| 2015 | \(\frac{2\,232}{19\,725} \approx 11{,}3\,\%\) |
| 2016 | \(\frac{2\,911}{24\,350} \approx 12{,}0\,\%\) |
| 2017 | \(\frac{3\,558}{28\,343} \approx 12{,}6\,\%\) |
| 2018 | \(\frac{3\,957}{31\,284} \approx 12{,}6\,\%\) |
| 2019 | \(\frac{4\,698}{35\,431} \approx 13{,}3\,\%\) |
| 2020 | \(\frac{5\,511}{39\,469} \approx 14{,}0\,\%\) |
| 2021 | \(\frac{6\,447}{43\,804} \approx 14{,}7\,\%\) |
| 2022 | \(\frac{7\,317}{47\,789} \approx 15{,}3\,\%\) |
Andelen menn har økt jevnt fra ca. 11,3 % til ca. 15,3 % i perioden.
Gjennomsnittlig årlig økning
Menn:
\[\frac{7\,317 - 2\,232}{7} \approx 726 \text{ per år}\]
Kvinner:
\[\frac{40\,472 - 17\,493}{7} \approx 3\,283 \text{ per år}\]
I absolutte tall øker antall kvinnelige helsefagarbeidere langt mer per år.
Vekstfaktor fra år til år (menn)
| Periode | Vekstfaktor (menn) |
|---|---|
| 2015–2016 | \(\frac{2\,911}{2\,232} \approx 1{,}304\) |
| 2016–2017 | \(\frac{3\,558}{2\,911} \approx 1{,}222\) |
| 2017–2018 | \(\frac{3\,957}{3\,558} \approx 1{,}112\) |
| 2018–2019 | \(\frac{4\,698}{3\,957} \approx 1{,}187\) |
| 2019–2020 | \(\frac{5\,511}{4\,698} \approx 1{,}173\) |
| 2020–2021 | \(\frac{6\,447}{5\,511} \approx 1{,}170\) |
| 2021–2022 | \(\frac{7\,317}{6\,447} \approx 1{,}135\) |
Sammendrag og diagramforslag
Til presentasjonen kan man lage følgende diagrammer:
- Stolpediagram: Antall menn og kvinner side om side for hvert år.
- Linjediagram: Utviklingen i totalt antall helsefagarbeidere over tid.
- Sektordiagram: Kjønnsfordelingen for et valgt år (f.eks. 2015 og 2022) for å vise endringen.
Oppsummering: Antall helsefagarbeidere i Norge har mer enn doblet seg fra 2015 til 2022 (ca. 142 % økning). Antall menn har økt relativt sett mest (ca. 228 %), mens antall kvinner har økt med ca. 131 %. Andelen menn har økt fra 11,3 % til 15,3 %. Yrket er fortsatt sterkt kvinnedominert.
Oppgave 7
Oppgave: En bedrift vil redusere utslippet av et forurenset stoff med 5 % hvert år framover. I år er utslippet på 40 tonn.
a) Vis at det samlede utslippet i år og de to neste årene vil være på 114,1 tonn.
b) Lag et program du kan bruke for å bestemme det samlede utslippet for denne bedriften over svært lang tid.
c) Tenk deg at en annen bedrift har et utslipp som er lavere eller høyere enn 40 tonn i år. Denne bedriften vil også redusere utslippet med 5 % hvert år framover. Undersøk sammenhengen mellom utslippet i år og det samlede utslippet over svært lang tid.
d) Ole påstår at \(T = \frac{u}{p} \cdot 100\) er en formel for å regne ut det samlede utslippet \(T\) når utslippet i år er \(u\) og utslippet reduseres med \(p\) % hvert år framover. Undersøk om denne sammenhengen kan gjelde.
a) Vis at det samlede utslippet i år og de to neste årene vil være på 114,1 tonn.
b) Lag et program du kan bruke for å bestemme det samlede utslippet for denne bedriften over svært lang tid.
c) Tenk deg at en annen bedrift har et utslipp som er lavere eller høyere enn 40 tonn i år. Denne bedriften vil også redusere utslippet med 5 % hvert år framover. Undersøk sammenhengen mellom utslippet i år og det samlede utslippet over svært lang tid.
d) Ole påstår at \(T = \frac{u}{p} \cdot 100\) er en formel for å regne ut det samlede utslippet \(T\) når utslippet i år er \(u\) og utslippet reduseres med \(p\) % hvert år framover. Undersøk om denne sammenhengen kan gjelde.
a) Samlet utslipp i år og de to neste årene
Utslippet reduseres med 5 % hvert år. Vekstfaktoren er \(1 - 0{,}05 = 0{,}95\).
- I år (år 0): \(40\) tonn
- Neste år (år 1): \(40 \cdot 0{,}95 = 38\) tonn
- To år fram (år 2): \(40 \cdot 0{,}95^2 = 40 \cdot 0{,}9025 = 36{,}1\) tonn
Samlet utslipp:
\[40 + 38 + 36{,}1 = 114{,}1 \text{ tonn}\]
Svar: Det samlede utslippet i år og de to neste årene er 114,1 tonn. ✔
b) Program for samlet utslipp over svært lang tid
Vi kan lage et Python-program som summerer utslippet over mange år:
utslipp = 40
samlet = 0
for i in range(1000):
samlet = samlet + utslipp
utslipp = utslipp * 0.95
print(f"Samlet utslipp: {samlet:.1f} tonn")
Programmet gir:
\[\text{Samlet utslipp} \approx 800 \text{ tonn}\]
Dette stemmer med den uendelige geometriske rekken:
\[S = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{40}{1 - 0{,}95} = \frac{40}{0{,}05} = 800 \text{ tonn}\]
Svar: Det samlede utslippet over svært lang tid vil nærme seg 800 tonn.
c) Sammenheng mellom utslipp i år og samlet utslipp
Vi undersøker hva det samlede utslippet over svært lang tid blir for ulike startverdier, med 5 % reduksjon per år:
| Utslipp i år \(u\) | Samlet utslipp \(S\) |
|---|---|
| 20 | \(\frac{20}{0{,}05} = 400\) |
| 30 | \(\frac{30}{0{,}05} = 600\) |
| 40 | \(\frac{40}{0{,}05} = 800\) |
| 50 | \(\frac{50}{0{,}05} = 1000\) |
| 60 | \(\frac{60}{0{,}05} = 1200\) |
Vi ser at det er en lineær sammenheng: det samlede utslippet er alltid 20 ganger det årlige utslippet.
\[S = \frac{u}{0{,}05} = 20 \cdot u\]
Svar: Det samlede utslippet over svært lang tid er proporsjonalt med utslippet i år. Med 5 % årlig reduksjon er det samlede utslippet 20 ganger det opprinnelige utslippet.
d) Undersøk Oles formel
Ole påstår at formelen er:
\[T = \frac{u}{p} \cdot 100\]
Vi tester dette med våre verdier: \(u = 40\) og \(p = 5\):
\[T = \frac{40}{5} \cdot 100 = 800\]
Dette stemmer med svaret vi fant i oppgave b). La oss teste med en annen prosent, f.eks. \(p = 10\):
\[\text{Oles formel: } T = \frac{40}{10} \cdot 100 = 400\]
Summen av den geometriske rekken med \(k = 0{,}90\):
\[S = \frac{40}{1 - 0{,}90} = \frac{40}{0{,}10} = 400 \quad \checkmark\]
Vi kan vise at formlene er identiske. Summen av en uendelig geometrisk rekke med \(k = 1 - \frac{p}{100}\):
\[S = \frac{u}{1 - k} = \frac{u}{1 - \left(1 - \frac{p}{100}\right)} = \frac{u}{\frac{p}{100}} = \frac{u \cdot 100}{p} = \frac{u}{p} \cdot 100\]
Svar: Oles formel \(T = \frac{u}{p} \cdot 100\) stemmer. Den er matematisk ekvivalent med formelen for summen av en uendelig geometrisk rekke der vekstfaktoren er \(1 - \frac{p}{100}\).
Oppgave 8
Oppgave:
Anders ser for seg at utslippet reduseres med et fast antall tonn hvert år. Han ønsker å lage en modell som viser hvor mange tonn den årlige reduksjonen må være på for å nå målet i 2030.
Arne ser for seg at utslippet reduseres med en fast prosent hvert år. Han ønsker å lage en modell som viser hvor mange prosent den årlige reduksjonen må være for å nå målet i 2030.
a) La \(x\) være antall år etter 2022 og hjelp Anders og Arne med å lage modellene.
Norge har som mål å bli et lavutslippssamfunn innen 2050. Da må klimagassutslippet reduseres med 90–95 % sammenliknet med utslippet i 1990.
b) Bruk modellene du fant i oppgave a), og vurder dem opp mot opplysningene om målet for klimagassutslipp i 2050.
- I 1990 var Norges klimagassutslipp på 51,3 millioner tonn CO₂-ekvivalenter.
- I 2022 var Norges klimagassutslipp på 48,9 millioner tonn CO₂-ekvivalenter.
Anders ser for seg at utslippet reduseres med et fast antall tonn hvert år. Han ønsker å lage en modell som viser hvor mange tonn den årlige reduksjonen må være på for å nå målet i 2030.
Arne ser for seg at utslippet reduseres med en fast prosent hvert år. Han ønsker å lage en modell som viser hvor mange prosent den årlige reduksjonen må være for å nå målet i 2030.
a) La \(x\) være antall år etter 2022 og hjelp Anders og Arne med å lage modellene.
Norge har som mål å bli et lavutslippssamfunn innen 2050. Da må klimagassutslippet reduseres med 90–95 % sammenliknet med utslippet i 1990.
b) Bruk modellene du fant i oppgave a), og vurder dem opp mot opplysningene om målet for klimagassutslipp i 2050.
a) Modeller for klimagassutslipp
Målet for 2030: Utslippet skal være 55 % lavere enn i 1990.
\[\text{Mål 2030} = 51{,}3 \cdot (1 - 0{,}55) = 51{,}3 \cdot 0{,}45 = 23{,}085 \text{ mill. tonn}\]
Vi avrunder til \(23{,}1\) mill. tonn.
La \(x\) være antall år etter 2022. I 2022 er utslippet 48,9 mill. tonn. I 2030 er \(x = 8\).
Anders' modell (lineær)
Anders antar at utslippet reduseres med et fast antall tonn per år. Modellen er lineær:
\[A(x) = 48{,}9 - a \cdot x\]
Vi setter \(A(8) = 23{,}1\) og løser for \(a\):
\[48{,}9 - 8a = 23{,}1\]
\[8a = 48{,}9 - 23{,}1 = 25{,}8\]
\[a = \frac{25{,}8}{8} = 3{,}225\]
Anders' modell:
\[A(x) = 48{,}9 - 3{,}225x\]
der \(x\) er antall år etter 2022. Utslippet må reduseres med ca. 3,225 mill. tonn per år.
Arnes modell (eksponentiell)
Arne antar at utslippet reduseres med en fast prosent per år. Modellen er eksponentiell:
\[B(x) = 48{,}9 \cdot k^x\]
Vi setter \(B(8) = 23{,}1\) og løser for \(k\):
\[48{,}9 \cdot k^8 = 23{,}1\]
\[k^8 = \frac{23{,}1}{48{,}9} \approx 0{,}4724\]
\[k = 0{,}4724^{1/8} \approx 0{,}9105\]
Arnes modell:
\[B(x) = 48{,}9 \cdot 0{,}9105^x\]
Den årlige prosentvise reduksjonen er:
\[1 - 0{,}9105 = 0{,}0895 \approx 8{,}95\,\%\]
Svar:
Anders' modell: \(A(x) = 48{,}9 - 3{,}225x\) (reduksjon på ca. 3,2 mill. tonn per år)
Arnes modell: \(B(x) = 48{,}9 \cdot 0{,}9105^x\) (reduksjon på ca. 9,0 % per år)
Anders' modell: \(A(x) = 48{,}9 - 3{,}225x\) (reduksjon på ca. 3,2 mill. tonn per år)
Arnes modell: \(B(x) = 48{,}9 \cdot 0{,}9105^x\) (reduksjon på ca. 9,0 % per år)
💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
- Definer Arnes modell:
B(x) := 48.9 · 0.9105^x - Sjekk utslippet i 2030 (\(x = 8\)):
Numerisk(B(8))→ gir \(\approx 23{,}1\) mill. tonn (treffer 2030-målet) - Finn utslippet i 2050 (\(x = 28\)):
Numerisk(B(28))→ gir \(\approx 3{,}5\) mill. tonn
b) Vurdering opp mot 2050-målet
Målet for 2050: 90–95 % reduksjon fra 1990-nivået.
\[\text{Mål 2050 (90 %)} = 51{,}3 \cdot 0{,}10 = 5{,}13 \text{ mill. tonn}\]
\[\text{Mål 2050 (95 %)} = 51{,}3 \cdot 0{,}05 = 2{,}565 \text{ mill. tonn}\]
I 2050 er \(x = 28\) (antall år etter 2022).
Anders' modell i 2050:
\[A(28) = 48{,}9 - 3{,}225 \cdot 28 = 48{,}9 - 90{,}3 = -41{,}4\]
Anders' modell gir negativt utslipp i 2050, som ikke er realistisk. Den lineære modellen fungerer bare på kort sikt. Faktisk blir utslippet null allerede etter:
\[x = \frac{48{,}9}{3{,}225} \approx 15{,}2 \text{ år}\]
Det vil si rundt år 2037. Etter det gir modellen negative verdier, noe som ikke gir mening.
Arnes modell i 2050:
\[B(28) = 48{,}9 \cdot 0{,}9105^{28} \approx 48{,}9 \cdot 0{,}0724 \approx 3{,}5 \text{ mill. tonn}\]
Arnes modell gir ca. 3,5 mill. tonn i 2050. Målet er mellom 2,6 og 5,1 mill. tonn.
\[3{,}5 \text{ mill. tonn ligger i intervallet } [2{,}6 ; \; 5{,}1]\]
Arnes modell viser altså at 2050-målet kan nås hvis utslippet reduseres med ca. 9 % per år.
Svar:
Anders' lineære modell gir et negativt utslipp i 2050, noe som ikke er realistisk. Den egner seg bare for kort tidshorisont og ikke for å vurdere langsiktige mål.
Arnes eksponentielle modell gir ca. 3,5 mill. tonn i 2050, som ligger innenfor 2050-målet (mellom 2,6 og 5,1 mill. tonn). Den eksponentielle modellen er mer realistisk over lang tid fordi utslippet aldri blir negativt, men nærmer seg null gradvis.
Anders' lineære modell gir et negativt utslipp i 2050, noe som ikke er realistisk. Den egner seg bare for kort tidshorisont og ikke for å vurdere langsiktige mål.
Arnes eksponentielle modell gir ca. 3,5 mill. tonn i 2050, som ligger innenfor 2050-målet (mellom 2,6 og 5,1 mill. tonn). Den eksponentielle modellen er mer realistisk over lang tid fordi utslippet aldri blir negativt, men nærmer seg null gradvis.