Løsningsforslag – Matematikk 2P-Y Høst 2025

Eksamen MAT1151

Oppgave 1 (1 poeng)

Vi finner først prisøkningen:

Prosentvis økning finner vi ved å dele økningen på den opprinnelige prisen og gange med 100:

Oppgave 2 (2 poeng)

Vi regner ut totalkostnaden:

Vi regner steg for steg:

Vi skriver svaret på standardform:

Oppgave 3 (2 poeng)

Vi regner ut verdien av hvert tall:

Uttrykk	Verdi
\(4^{-1}\)	\(\frac{1}{4} = 0{,}25\)
\(3 \cdot 10^{-1}\)	\(3 \cdot 0{,}1 = 0{,}3\)
\(2^0\)	\(1\)
\(\sqrt{2}\)	\(\approx 1{,}41\)
\(0{,}02 \cdot 10^2\)	\(0{,}02 \cdot 100 = 2\)
\(\sqrt{80}\)	\(\sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5} \approx 8{,}94\)
\(3^2\)	\(9\)

Vi sorterer i stigende rekkefølge:

Oppgave 4 (5 poeng)

Oppgave 4a)

Vi vet at det er 20 vogner totalt. Vi legger sammen antall vogner som er oppgitt i tabellen:

Antall tomme vogner (0 personer) er:

Oppgave 4b)

Vi beregner gjennomsnittet. Totalt antall personer i pariserhjulet:

Gjennomsnittet:

For medianen sorterer vi observasjonene. Vi har 20 vogner, så medianen er gjennomsnittet av observasjon nummer 10 og 11.

Vi skriver opp de sorterte verdiene:

• Observasjon 1–5: 0 (5 vogner med 0 personer)
• Observasjon 6–7: 1 (2 vogner med 1 person)
• Observasjon 8–10: 2 (3 vogner med 2 personer)
• Observasjon 11–14: 3 (4 vogner med 3 personer)
• Observasjon 15–20: 4 (6 vogner med 4 personer)

Observasjon nummer 10 er 2 og observasjon nummer 11 er 3.

Oppgave 4c)

Den kumulative frekvensen for to personer i hver vogn er andelen vogner som har to eller færre personer.

Antall vogner med 0, 1 eller 2 personer:

Kumulativ frekvens (relativ):

Oppgave 5 (4 poeng)

Oppgave 5a)

To størrelser er proporsjonale dersom sammenhengen mellom dem kan beskrives med en lineær funksjon gjennom origo, altså på formen \(y = k \cdot x\).

Grafen \(q\) er en rett linje som går gjennom origo. Denne beskriver proporsjonale størrelser.

Vi leser av et punkt på grafen, for eksempel \((6,\, 800)\):

Oppgave 5b)

To størrelser er omvendt proporsjonale dersom sammenhengen kan beskrives med en funksjon på formen \(\displaystyle y = \frac{k}{x}\). Grafen til en slik funksjon er en hyperbel som nærmer seg aksene uten å krysse dem.

Grafen \(r\) har denne formen: \(y\) avtar når \(x\) øker, og grafen nærmer seg begge aksene asymptotisk.

Vi leser av et punkt på grafen, for eksempel \((1,\, 800)\):

Vi kan sjekke med et annet punkt, for eksempel \((2,\, 400)\):

Oppgave 6 (5 poeng)

Oppgave 6a)

Vi teller pinnene i de første figurene:

• Figur 1: 3 pinner (én trekant)
• Figur 2: 5 pinner (to trekanter, deler en side)
• Figur 3: 7 pinner (tre trekanter, deler sider)

Vi ser at mønsteret øker med 2 pinner for hver ny figur. Vi legger til en «grunnlinje» på toppen, og for hver ny trekant legges det til 2 pinner.

Figur 4:

Figur 10:

Oppgave 6b)

Vi ser at figur 1 har 3 pinner, og for hvert steg øker antallet med 2. Dette gir en lineær sammenheng:

Vi sjekker:

• \(P(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \quad \checkmark\)
• \(P(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5 \quad \checkmark\)
• \(P(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7 \quad \checkmark\)

Oppgave 6c)

Programmet som Vivian har laget:

La oss analysere programmet:

• figur starter på 3 og øker med 2 for hver runde. Verdiene av figur blir 3, 5, 7, 9, ... som er antall pinner i figur 1, 2, 3, 4, ...
• total summerer antall pinner fra figur 1 til figur \(n\).
• n teller hvilken figur vi er på.
• Løkken fortsetter så lenge total \(\leq 1000\).

Programmet finner altså hvor mange figurer man kan lage før det totale antallet pinner overstiger 1000.

Resultatet er \(n = 31\) og \(\text{total} = 1023\).

Oppgave 1 (6 poeng)

Oppgave 1a)

Vi bruker regresjonsanalyse (eksponentiell regresjon) med datapunktene der \(x\) er antall måneder etter februar 2025:

\(x\)	0	1	2	3	4
Omsetning	1267	1431	1619	1788	2032

Vi bruker digitale verktøy (CAS/regneark) til å gjøre eksponentiell regresjon. Vi finner:

Vi kan kontrollere ved å sette inn noen verdier:

• \(f(0) = 1261 \cdot 1{,}122^0 = 1261\) (nær 1267)
• \(f(4) = 1261 \cdot 1{,}122^4 \approx 1261 \cdot 1{,}587 \approx 2001\) (nær 2032)

Oppgave 1b)

I modellen \(f(x) = 1261 \cdot 1{,}122^x\) er vekstfaktoren \(b = 1{,}122\).

Prosentvis økning per måned:

Oppgave 1c)

Vi skal finne \(x\) slik at \(f(x) = 20\,000\):

\(x \approx 24\) måneder etter februar 2025 vil si februar 2027.

Oppgave 1d)

Alex skal nå 20 000 kroner i desember 2025. Desember er 6 måneder etter juni 2025.

Omsetningen i juni 2025 er 2032 kroner. Vi setter opp likningen med ny vekstfaktor \(b\):

Prosentvis økning per måned:

Oppgave 2 (5 poeng)

Oppgave 2a)

Vi har 10 verdier. Vi sorterer dem i stigende rekkefølge (de er allerede rangert fra størst til minst i tabellen, så vi snur):

55 684, 55 939, 67 372, 96 695, 121 679, 124 540, 198 777, 239 055, 272 125, 1 098 061

Median: Med 10 verdier er medianen gjennomsnittet av verdi nummer 5 og 6:

Gjennomsnitt:

Standardavvik: Vi bruker digitale verktøy til å beregne standardavviket:

Variasjonsbredde:

Oppgave 2b)

Jeg er mest enig med Kine, som mener medianen er best å bruke.

Begrunnelse: Oslo er mye større enn alle de andre byene (over 1 million innbyggere, mens den nest største har ca. 272 000). Oslo er en uteligger som trekker gjennomsnittet kraftig opp. Gjennomsnittet på ca. 233 000 er mye høyere enn 8 av 10 byer i listen, og gir dermed et misvisende bilde av en «typisk» norsk storby.

Medianen på ca. 123 000 gir et mye bedre bilde av det typiske innbyggertallet, fordi medianen ikke påvirkes like mye av ekstreme verdier (uteliggere).

Oppgave 2c)

Vi sammenligner Norge og Danmark:

Mål	Norge	Danmark
Gjennomsnitt	232 993	235 549
Median	123 110	67 832
Standardavvik	301 305	388 000

Vi kan gjøre følgende observasjoner:

• Gjennomsnittene er nesten like (ca. 233 000 vs. 236 000), noe som tyder på at totalt sett bor det omtrent like mange i de ti største tettstedene (relativt til antallet).
• Medianen i Danmark (67 832) er mye lavere enn i Norge (123 110). Det betyr at de typiske danske byene er mindre enn de typiske norske byene blant de ti største.
• Standardavviket i Danmark (388 000) er høyere enn i Norge (301 305). Det betyr at spredningen i størrelse er større i Danmark. Sannsynligvis har Danmark en enda mer dominant storby (København) sammenlignet med resten.
• At gjennomsnittet er mye høyere enn medianen i begge land, tyder på skjeve fordelinger med noen få veldig store byer som drar gjennomsnittet opp. Denne skjevheten er enda sterkere i Danmark.

Oppgave 3 (4 poeng)

Vi analyserer datamaterialet med beregninger og sammenligninger.

Prosentvis endring fra 2020 til 2024

Aldersgruppe	2020	2024	Økning	Prosentvis økning
9–15 år	180	245	65	\(\frac{65}{180} \cdot 100 \approx 36{,}1\,\%\)
16–24 år	318	440	122	\(\frac{122}{318} \cdot 100 \approx 38{,}4\,\%\)
25–44 år	245	338	93	\(\frac{93}{245} \cdot 100 \approx 38{,}0\,\%\)
45–64 år	177	260	83	\(\frac{83}{177} \cdot 100 \approx 46{,}9\,\%\)
65–79 år	60	127	67	\(\frac{67}{60} \cdot 100 \approx 111{,}7\,\%\)

Gjennomsnittlig daglig tidsbruk i 2024 (alle aldersgrupper)

Gjennomsnittlig daglig tidsbruk i 2020 (alle aldersgrupper)

Oppsummering med to interessante funn

Oppgave 4 (3 poeng)

Fatima

Verdien steg med 36 % over 5 år:

Adrian

5,7 % årlig rente i 5 år (renters rente):

Vegard

Vi multipliserer med vekstfaktorene for hvert år:

Vi regner steg for steg:

• Etter 2020: \(100\,000 \cdot 1{,}20 = 120\,000\)
• Etter 2021: \(120\,000 \cdot 0{,}89 = 106\,800\)
• Etter 2022: \(106\,800 \cdot 0{,}90 = 96\,120\)
• Etter 2023: \(96\,120 \cdot 1{,}23 = 118\,228\)
• Etter 2024: \(118\,228 \cdot 1{,}17 \approx 138\,327\)

Oversikt

Person	Startsbeløp	Ved starten av 2025	Avkastning
Fatima	100 000 kr	136 000 kr	36,0 %
Adrian	100 000 kr	131 886 kr	31,9 %
Vegard	100 000 kr	138 327 kr	38,3 %

Oppgave 5 (5 poeng)

Oppgave 5a)

Siden vi kun har gruppert data (aldersintervaller), må vi gjøre følgende antagelse:

• Vi antar at alle personene i hver aldersgruppe har en alder lik midtpunktet i intervallet. For eksempel antar vi at alle i gruppen [0, 18) har en alder på \(\frac{0 + 18}{2} = 9\) år.

Denne antagelsen er nødvendig fordi vi ikke kjenner den eksakte alderen til hver enkelt person.

Oppgave 5b)

Vi beregner midtpunktene for hvert intervall og bruker dem til å finne gjennomsnittet:

Intervall	Midtpunkt	Antall	Midtpunkt \(\times\) Antall
[0, 18)	9	188	\(9 \cdot 188 = 1692\)
[18, 50)	34	347	\(34 \cdot 347 = 11\,798\)
[50, 67)	58,5	237	\(58{,}5 \cdot 237 = 13\,864{,}5\)
[67, 80)	73,5	103	\(73{,}5 \cdot 103 = 7570{,}5\)
[80, 90)	85	33	\(85 \cdot 33 = 2805\)
[90, 100)	95	15	\(95 \cdot 15 = 1425\)

Totalt antall personer:

Sum av midtpunkt ganger antall:

Gjennomsnittsalder:

Oppgave 5c)

Vi skal finne hvor mange prosent av befolkningen som var eldre enn gjennomsnittsalderen, altså eldre enn ca. 42,4 år.

Gjennomsnittsalderen 42,4 år faller i intervallet [18, 50). Vi antar jevn fordeling innenfor dette intervallet.

Intervallet [18, 50) har bredde \(50 - 18 = 32\) år og 347 personer. Vi trenger å finne hvor mange i dette intervallet som er eldre enn 42,4 år, altså de som er i [42,4, 50).

Antall personer eldre enn gjennomsnittsalderen:

Prosentandel:

Oppgave 6 (2 poeng)

Svar til Nils

Nils har delvis rett i at jo flere kuler man kjøper, jo mer må man betale. Men sammenhengen er ikke proporsjonalitet i streng matematisk forstand.

To størrelser er proporsjonale dersom forholdet mellom dem er konstant. Det betyr at hvis man dobler den ene størrelsen, dobles også den andre. Sammenhengen kan skrives som \(y = k \cdot x\), og grafen er en rett linje gjennom origo.

I Nils sitt tilfelle er totalkostnaden satt sammen av en fast kostnad (juletreet) pluss en variabel kostnad (julekulene):

Denne sammenhengen er lineær, men den går ikke gjennom origo (fordi juletreet koster penger uansett). Derfor er ikke totalprisen og antall kuler proporsjonale.

Derimot er kostnaden for julekulene alene proporsjonal med antall kuler (forutsatt at alle kuler har samme pris).

Svar til Hanne

Hanne har rett! Beløpet hver person må betale er omvendt proporsjonalt med antall personer som deler på utgiftene.

To størrelser er omvendt proporsjonale dersom produktet av dem er konstant. Sammenhengen kan skrives som \(\displaystyle y = \frac{k}{x}\).

Her er totalkostnaden \(k\) fast. Hvis \(n\) personer deler på utgiften, betaler hver person:

Produktet \(\text{beløp per person} \cdot n = k\) er konstant. Dermed er beløpet per person omvendt proporsjonalt med antall personer.

Eksempel: Hvis totalkostnaden er 1200 kr og 10 elever deler, betaler hver 120 kr. Hvis 20 elever deler, betaler hver 60 kr. Dobbelt så mange elever gir halvparten så mye å betale per person.