Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no.
Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.
DEL 1 – Uten hjelpemidler
Oppgave 1 (1 poeng)
En bonde leverer 5200 egg til et pakkeri. 20 % av eggene er brune.
Hvor mange egg er brune?
Vi skal finne 20 % av 5200 egg. Vi gjør om prosenten til desimaltall: \(20\,\% = 0{,}20\).
\[0{,}20 \cdot 5200 = 1040\]
Svar: Det er 1040 brune egg.
Oppgave 2 (4 poeng)
En dag registrerer Anita hvor mange vogner det er på togene som passerer der hun bor. Resultatene ser du nedenfor:
3 1 5 30 5 6 1 6 20 6
a) Bestem medianen, gjennomsnittet, variasjonsbredden og typetallet for antall vogner.
b) Bestem den relative frekvensen for 6 vogner. Gi en praktisk tolkning av svaret.
a) Median, gjennomsnitt, variasjonsbredde og typetall
Vanlig feil: Mange forveksler median og gjennomsnitt. Når datasettet inneholder ekstremverdier (som 30 her), trekker det gjennomsnittet kraftig opp, mens medianen ikke påvirkes på samme måte. Det er derfor medianen (5,5) er mye lavere enn gjennomsnittet (8,3).
b) Relativ frekvens for 6 vogner
Vi teller hvor mange ganger 6 forekommer i listen: tre ganger (av totalt 10 observasjoner).
Praktisk tolkning: 30 % av togene som passerte den dagen hadde 6 vogner.
Svar: Den relative frekvensen for 6 vogner er 0,3 (30 %). 3 av 10 tog hadde 6 vogner.
Oppgave 3 (2 poeng)
Skriv av tabellen nedenfor og fyll inn verdiene som mangler.
Vekstfaktor
Prosentvis endring
1,05
+5 %
1,4
?
?
+17,5 %
?
−28 %
0,67
?
2
?
Sammenhengen mellom vekstfaktor \(k\) og prosentvis endring \(p\):
Økning: \(k = 1 + \dfrac{p}{100}\)
Nedgang: \(k = 1 - \dfrac{p}{100}\)
Rad 2: Vekstfaktor 1,4. Da er \(p = (1{,}4 - 1) \cdot 100\,\% = 40\,\%\) (økning).
Rad 3: Økning på 17,5 %. Da er \(k = 1 + 0{,}175 = 1{,}175\).
Rad 4: Nedgang på 28 %. Da er \(k = 1 - 0{,}28 = 0{,}72\).
Rad 5: Vekstfaktor 0,67. Da er \(p = (1 - 0{,}67) \cdot 100\,\% = 33\,\%\) (nedgang).
Rad 6: Vekstfaktor 2. Da er \(p = (2 - 1) \cdot 100\,\% = 100\,\%\) (økning).
Svar:
Vekstfaktor
Prosentvis endring
1,05
+5 %
1,4
+40 %
1,175
+17,5 %
0,72
−28 %
0,67
−33 %
2
+100 %
Oppgave 4 (1 poeng)
Prisen for en vare settes ned med 20 %.
Litt senere settes prisen opp igjen med 20 %.
Koster varen nå mer enn, mindre enn eller det samme som den gjorde før de to prisendringene? Husk å begrunne svaret.
La startprisen være \(P\). Vekstfaktor ved nedgang 20 %: \(0{,}80\). Vekstfaktor ved oppgang 20 %: \(1{,}20\).
Pris etter begge endringene:
\[P \cdot 0{,}80 \cdot 1{,}20 = P \cdot 0{,}96\]
Sluttprisen er altså 96 % av startprisen — varen er 4 % billigere enn før prisendringene.
Forklaring: 20 % av en lavere pris er mindre kroner enn 20 % av den opprinnelige (høyere) prisen, så prosentpåslaget kompenserer ikke for hele prisreduksjonen.
Svar: Varen koster mindre enn den gjorde før prisendringene. Sluttprisen er 96 % av startprisen.
Vanlig feil: Mange tror at en nedgang på 20 % og en påfølgende oppgang på 20 % gir den opprinnelige prisen tilbake. Men prosenter regnes alltid av gjeldende pris. Etter nedgangen er prisen lavere, så 20 % av denne lavere prisen er en mindre kronesum enn 20 % av den opprinnelige prisen.
Oppgave 5 (2 poeng)
Prisen for en vare har endret seg tre ganger i løpet av det siste året. Uttrykket nedenfor viser prisen for varen før prisendringene.
\[\frac{40\,000}{1{,}05 \cdot 0{,}85^2}\]
Hva forteller uttrykket om prisendringene?
For å gå tilbake til den opprinnelige prisen deler vi den nåværende prisen (40 000 kr) på vekstfaktorene som har vært brukt. Det betyr at prisen etter alle endringene er 40 000 kr, og at endringene som har skjedd er:
Faktoren 1,05: En prisøkning på 5 %.
Faktoren \(0{,}85^2\) (to ganger 0,85): To prisnedganger på 15 % hver.
Til sammen tre endringer (én økning på 5 % og to nedganger på 15 %), slik oppgaveteksten sier.
Vi kan kontrollere ved å regne ut den opprinnelige prisen:
Svar: Uttrykket forteller at prisen først har økt med 5 %, og deretter (eller før) gått ned med 15 % to ganger. Etter alle tre endringene er prisen 40 000 kr. (Rekkefølgen av endringene spiller ingen rolle for sluttprisen, fordi vi multipliserer vekstfaktorene.)
Oppgave 6 (2 poeng)
En bank har i løpet av et år satt ned renten på boliglån fra 6 % til 5,46 %.
a) Hvor mange prosentpoeng er renten satt ned med?
b) Hvor mange prosent er renten satt ned med?
a) Prosentpoeng
Prosentpoeng er den absolutte differansen mellom to prosentverdier:
Vanlig feil: Det er lett å forveksle prosentpoeng (forskjellen direkte) og prosent (relativ endring). Når en rentesats endres fra 6 % til 5,46 %, er nedgangen 0,54 prosentpoeng, men hele 9 prosent av den opprinnelige renten.
Oppgave 7 (1 poeng)
Regn ut
\[3\,000\,000 \cdot 0{,}000\,025\]
Vi skriver tallene på standardform for å gjøre regningen enklere:
En gruppe elever skal på tur og har leid en hytte for 15 000 kroner. Elevene som deltar på turen, skal dele leieutgiftene likt mellom seg. I tillegg må hver elev betale 250 kroner for mat.
a) Avgjør om antall elever og pris per elev er
proporsjonale størrelser
omvendt proporsjonale størrelser
ingen av delene
Husk å begrunne svaret.
b) Sett opp et funksjonsuttrykk som viser prisen \(P(x)\) kroner per elev når \(x\) elever deltar på turen.
a) Proporsjonal, omvendt proporsjonal eller ingen av delene?
La oss undersøke hvor mye hver elev må betale ved noen ulike antall elever:
Antall elever, \(x\)
Hytteandel
Mat
Pris per elev, \(P(x)\)
5
\(15\,000/5 = 3000\)
250
3250 kr
10
\(15\,000/10 = 1500\)
250
1750 kr
15
\(15\,000/15 = 1000\)
250
1250 kr
Hvis prisen var proporsjonal med antall elever, skulle prisen øke når antallet øker. Det skjer ikke her — prisen synker tvert imot.
Hvis prisen var omvendt proporsjonal med antall elever, skulle produktet \(x \cdot P(x)\) være konstant:
\(5 \cdot 3250 = 16\,250\)
\(10 \cdot 1750 = 17\,500\)
\(15 \cdot 1250 = 18\,750\)
Produktet er ikke konstant, så størrelsene er heller ikke omvendt proporsjonale.
Konstantleddet på 250 kr (mat) ødelegger den rene omvendt proporsjonaliteten.
Svar: Antall elever og pris per elev er ingen av delene (verken proporsjonale eller omvendt proporsjonale).
b) Funksjonsuttrykk for \(P(x)\)
Hver elev betaler en lik andel av hytteleien (15 000 / \(x\)) pluss 250 kr for mat:
\[P(x) = \frac{15\,000}{x} + 250\]
Svar: \(\displaystyle P(x) = \frac{15\,000}{x} + 250\) kroner per elev.
Oppgave 10 (3 poeng)
Ovenfor ser du fire figurer. Figurene er satt sammen av grønne sirkler. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
Svar: 1,4 kg skulle kostet 168 kroner, og 250 g skulle kostet 30 kroner.
Oppgave 12 (1 poeng)
Kari har laget programmet nedenfor:
L = [2, 4, 8, 16, 20] # L er en liste med tall
a = len(L) # Antall tall i listen L
s = sum(L) # Summen av tallene i listen L
g = s/a
print("Resultat:")
print(g)
Når programmet kjøres, skrives det ut: Resultat: 10.0
Hva forteller verdien som skrives ut når programmet kjøres?
Vi analyserer programmet linje for linje:
a = len(L) → antall tall i listen = 5
s = sum(L) → summen av tallene = \(2 + 4 + 8 + 16 + 20 = 50\)
g = s/a → \(50 / 5 = 10{,}0\)
Variabelen \(g\) beregner altså summen delt på antallet — dette er definisjonen av gjennomsnittet.
Svar: Verdien 10,0 som skrives ut, er gjennomsnittet av tallene i listen \(L\). Programmet regner ut gjennomsnittet ved å dele summen av tallene på antallet.
Oppgave 13 (3 poeng)
Tabellen til høyre viser aldersfordelingen for de 200 personene som bor i blokk Z på Tirilltoppen.
Alder (år)
Frekvens
[0, 10)
40
[10, 20)
20
[20, 30)
60
[30, 50)
20
[50, 60)
20
[60, 80)
40
Sum
200
Aurora har laget diagrammet nedenfor (kumulativ frekvens i prosent) som går gjennom punktet \(A(50, 70)\).
a) Hva forteller koordinatene til punkt \(A\) om aldersfordelingen i blokk Z?
b) Aurora kan bruke diagrammet til å finne en verdi hun kan anta er medianalderen. Hvilken verdi er det, og hvilken antakelse må hun gjøre? Husk å begrunne svaret.
Vi setter opp en tabell med kumulativ frekvens og kumulativ prosent:
Alder (år)
Frekvens
Kumulativ frekvens
Kumulativ %
[0, 10)
40
40
20 %
[10, 20)
20
60
30 %
[20, 30)
60
120
60 %
[30, 50)
20
140
70 %
[50, 60)
20
160
80 %
[60, 80)
40
200
100 %
a) Hva koordinatene til \(A(50, 70)\) forteller
Punktet \(A(50, 70)\) ligger på kurven for kumulativ frekvens. Det betyr at:
Ved alder 50 år er kumulativ frekvens 70 %.
Med andre ord: 70 % av de 200 personene i blokk Z er under 50 år.
Det tilsvarer \(0{,}70 \cdot 200 = 140\) personer.
Svar: Koordinatene \(A(50, 70)\) forteller at 70 % av personene i blokk Z er under 50 år, det vil si 140 av 200 personer.
b) Medianalder fra diagrammet
Medianen er den verdien som deler datasettet i to like store deler. På kumulativ frekvenskurve finner vi medianen der kumulativ frekvens er 50 %.
Vi leser av tabellen:
Etter intervallet [10, 20): kumulativ % = 30 %
Etter intervallet [20, 30): kumulativ % = 60 %
50 % ligger altså i intervallet [20, 30). For å lese av en eksakt verdi må Aurora anta at observasjonene er jevnt fordelt innenfor hvert intervall. Da kan hun bruke lineær interpolasjon (eller lese rett av grafen):
Svar: Medianalderen er ca. 27 år (lest av der kumulativ frekvens er 50 %). For å lese av en eksakt verdi må Aurora anta at aldrene er jevnt fordelt innenfor hvert aldersintervall (slik at hun kan bruke lineær interpolasjon mellom punktene på den kumulative kurven).
Vanlig feil: Mange leser av medianen som midten av aldersintervallene (f.eks. 25 år). Den riktige metoden er å finne x-verdien på den kumulative grafen der den horisontale 50 %-linjen krysser kurven. Dette krever interpolasjon innenfor det intervallet som "treffes".
DEL 2 – Med hjelpemidler
Oppgave 1 (4 poeng)
En bedrift har fått krav om å redusere utslippet av et miljøskadelig stoff.
I dag er utslippet 16 000 tonn per år.
Kravet er at utslippet skal halveres for hvert sjette år. Det betyr at utslippet skal være 8000 tonn per år om 6 år, 4000 tonn per år om 12 år, og så videre.
Ledelsen mener funksjonen \(U\) gitt ved
\[U(x) = 16\,000 \cdot 0{,}89^x\]
vil være en god modell for utslippet \(U(x)\) tonn per år om \(x\) år dersom bedriften klarer å innfri kravet.
a) Vis hvordan ledelsen kan ha kommet fram til modellen.
b) Hvor mange prosent vil utslippet reduseres med per år, ifølge modellen?
c) Hvor mange tonn vil utslippet i gjennomsnitt reduseres med per år i løpet av de fem første årene, ifølge modellen?
a) Hvordan modellen kan ha kommet fram
Vi har en eksponentiell modell på formen \(U(x) = U_0 \cdot k^x\), der \(U_0 = 16\,000\) er startverdien og \(k\) er årlig vekstfaktor.
Kravet sier at utslippet skal halveres hvert 6. år. Det betyr at den årlige vekstfaktoren \(k\) må tilfredsstille:
\[k^6 = 0{,}5\]
Vi løser for \(k\):
\[k = 0{,}5^{1/6} \approx 0{,}8909\]
Ledelsen har rundet av til \(k = 0{,}89\), og kommet fram til modellen \(U(x) = 16\,000 \cdot 0{,}89^x\).
Svar: Ledelsen har funnet den årlige vekstfaktoren ved å løse \(k^6 = 0{,}5\), som gir \(k = 0{,}5^{1/6} \approx 0{,}89\). Modellen blir dermed \(U(x) = 16\,000 \cdot 0{,}89^x\).
Svar: Utslippet reduseres i gjennomsnitt med ca. 1413 tonn per år de fem første årene.
Vanlig feil: Noen elever regner \(0{,}11 \cdot 16\,000 = 1760\) tonn for å finne den årlige reduksjonen. Men dette er bare reduksjonen det første året — eksponentiell nedgang gir mindre reduksjon i tonn for hvert år som går, fordi 11 % regnes av en gradvis lavere verdi. Riktig fremgangsmåte er å regne \(\dfrac{U(0) - U(5)}{5}\).
Oppgave 2 (3 poeng)
Sondre og Sindre har startet en mekkeklubb. Klubben tilbyr tre medlemskap:
Medlemskap
Månedsavgift (kr)
Pris per time i verkstedet (kr)
Basis, B
150
70
Standard, S
300
40
Premium, P
1000
0
La \(x\) være antall timer et medlem bruker verkstedet i løpet av en måned.
a) Bestem tre uttrykk \(B(x)\), \(S(x)\) og \(P(x)\) som viser de totale kostnadene per måned for hvert av de tre medlemskapene.
b) Hvor mange timer må et medlem bruke på verkstedet per måned for at det skal lønne seg å velge et standard medlemskap?
a) Uttrykk for de tre medlemskapene
Total månedlig kostnad = fast månedsavgift + timepris × antall timer.
Standard lønner seg når den er billigere enn både Basis og Premium.
Standard billigere enn Basis: \(S(x) < B(x)\):
\[300 + 40x < 150 + 70x\]
\[300 - 150 < 70x - 40x\]
\[150 < 30x\]
\[x > 5\]
Standard billigere enn Premium: \(S(x) < P(x)\):
\[300 + 40x < 1000\]
\[40x < 700\]
\[x < 17{,}5\]
Det lønner seg å velge Standard når \(5 < x < 17{,}5\). Siden \(x\) er antall timer, må man bruke mellom 6 og 17 timer per måned for at Standard skal være billigst.
Svar: Det lønner seg å velge Standard medlemskap når medlemmet bruker mellom 6 og 17 timer (\(5 < x < 17{,}5\)) på verkstedet per måned. Ved akkurat 5 timer er Basis og Standard like dyre (500 kr), og ved 17,5 timer er Standard og Premium like dyre (1000 kr).
💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
B(x) := 150 + 70x
S(x) := 300 + 40x
P(x) := 1000
Nedre grense: Løs(B(x) = S(x), x) → \(x = 5\)
Øvre grense: Løs(S(x) = P(x), x) → \(x = 17{,}5\)
Oppgave 3 (7 poeng)
Nedenfor ser du hvor mange fraværsdager hver av de 15 ansatte i bedrift A hadde i 2025:
2 0 0 5 4 1 1 12 15 0 0 1 1 2 1
a) Bestem gjennomsnittet, medianen og standardavviket for antall fraværsdager.
b) Bestem den kumulative frekvensen for 5 fraværsdager. Gi en praktisk tolkning av svaret.
Bedrift B har også 15 ansatte:
Gjennomsnittet for antall fraværsdager i 2025 er det samme for bedrift B som for bedrift A.
Medianen er høyere for bedrift B.
Standardavviket er lavere for bedrift B.
c) Hva forteller disse opplysningene om fraværet i bedrift B sammenlignet med fraværet i bedrift A?
Kari påstår at den kumulative frekvensen for 5 fraværsdager i bedrift B må være høyere enn for bedrift A.
d) Er denne påstanden riktig? Husk å begrunne svaret.
(Avhengig av om man bruker populasjonsformelen \(\sigma = \sqrt{288/15} \approx 4{,}38\), kan svaret bli litt forskjellig. På videregående bruker vi vanligvis utvalgsformelen, slik regneark og GeoGebra også gjør.)
Svar: Gjennomsnitt = 3 dager Median = 1 dag Standardavvik \(s \approx 4{,}54\) dager.
📊 Slik gjør du det i regneark (f.eks. Excel):
Skriv inn dataene i A1:A15.
Gjennomsnitt: =GJENNOMSNITT(A1:A15) → 3
Median: =MEDIAN(A1:A15) → 1
Standardavvik (utvalg): =STDAV(A1:A15) → ≈ 4,54
b) Kumulativ frekvens for 5 fraværsdager
Vi teller hvor mange ansatte som har 5 fraværsdager eller færre. Fra den sorterte listen:
Praktisk tolkning: 13 av 15 ansatte (≈ 87 %) i bedrift A hadde 5 eller færre fraværsdager i 2025. Bare 2 av 15 ansatte hadde flere enn 5 fraværsdager.
Svar: Den kumulative frekvensen for 5 fraværsdager er 13 (eller \(\dfrac{13}{15} \approx 86{,}7\,\%\)). Det betyr at 13 av 15 ansatte i bedrift A hadde 5 eller færre fraværsdager.
c) Sammenligning av bedrift A og B
Vi tolker hver opplysning:
Samme gjennomsnitt (3 dager): Totalt antall fraværsdager er likt i begge bedriftene (\(3 \cdot 15 = 45\) dager).
Høyere median i B (medianen for A er 1): I bedrift B har minst halvparten av de ansatte flere enn 1 fraværsdag. Det er færre ansatte med svært lavt fravær (f.eks. 0 eller 1 dag).
Lavere standardavvik i B: Verdiene i B er mer samlet rundt gjennomsnittet 3. Det er færre ekstremverdier (færre ansatte med veldig høyt eller veldig lavt fravær).
Svar: I bedrift A er fraværet ujevnt fordelt: de fleste har lite fravær, men noen få har svært høyt fravær (12 og 15 dager). I bedrift B er fraværet jevnere fordelt mellom de ansatte — det er færre med ekstremverdier og typisk fravær ligger nærmere gjennomsnittet på 3 dager. Halvparten av de ansatte i B har dermed et høyere fravær enn medianen i A.
d) Er Karis påstand riktig?
Påstanden er: kumulativ frekvens for 5 fraværsdager må være høyere i B enn i A.
Vi tester med et konkret eksempel der opplysningene om B er oppfylt, men kumulativ frekvens ved 5 fraværsdager er lavere.
Kumulativ frekvens ved 5 fraværsdager i B: vi teller ansatte med 5 eller færre dager = de med 0 og 3 dager = \(6 + 3 = 9\) ansatte. Kumulativ frekvens = \(\dfrac{9}{15} = 60\,\%\).
Dette er lavere enn for bedrift A (87 %), selv om alle betingelsene Kari fikk oppgitt er oppfylt!
Svar:Nei, Karis påstand er ikke nødvendigvis riktig. Selv om bedrift B har samme gjennomsnitt, høyere median og lavere standardavvik enn bedrift A, betyr ikke det automatisk at flere har 5 eller færre fraværsdager. Som eksempelet over viser, kan en jevnere fordeling rundt 3 dager faktisk gi færre som er ≤ 5 hvis flere ansatte ligger akkurat over 5 (f.eks. 6 dager).
Vanlig feil: Det er naturlig å tenke at "lavere standardavvik = mer samlet rundt 3 = flere som er ≤ 5". Men en lavere standardavvik kan også gi en fordeling der mange ligger akkurat over 5 (f.eks. ved 6 dager), så lenge ingen ligger veldig langt unna gjennomsnittet. Man må alltid sjekke med konkrete eksempler — ett moteksempel er nok til å avvise en slik påstand.
Oppgave 4 (4 poeng)
Reuters Institute, Universitetet i Bergen og Stiftelsen Fritt Ord undersøker hvordan vi får med oss nyheter, og i hvilken grad vi unngår nyheter. Tabellene under viser noen resultater:
Hvordan nordmenn får med seg dagens første nyheter i 2019 og 2025 (prosentandel):
Kilde
2019
2025
Smarttelefon
32 %
50 %
Radio
19 %
14 %
PC
15 %
12 %
TV
13 %
11 %
Nettbrett
6 %
5 %
Papiravis
7 %
2 %
Ingen av disse
4 %
4 %
Vet ikke
4 %
2 %
Nyhetsunngåelse i Norge 2025 – hvor ofte unngår nordmenn nyheter:
Svar
2025
Aldri
37 %
En gang iblant
29 %
Noen ganger
23 %
Ofte
7 %
Vet ikke
4 %
Gjør beregninger og sammenligninger, og lag ulike diagrammer som du kan bruke i en presentasjon.
Vi presenterer relevante beregninger og diagrammer som kan brukes i en presentasjon.
Prosentvise endringer fra 2019 til 2025 (nyhetskilder)
Vi beregner hvor mye hver andel har endret seg i prosentpoeng og prosentvis (relativt til 2019-verdien):
Vi lager et sektordiagram for hvor ofte nordmenn aktivt unngår nyheter i 2025. Først regner vi ut sektorvinkler (av 360°):
Svar
Prosent
Sektorvinkel
Aldri
37 %
\(0{,}37 \cdot 360° = 133{,}2°\)
En gang iblant
29 %
\(0{,}29 \cdot 360° = 104{,}4°\)
Noen ganger
23 %
\(0{,}23 \cdot 360° = 82{,}8°\)
Ofte
7 %
\(0{,}07 \cdot 360° = 25{,}2°\)
Vet ikke
4 %
\(0{,}04 \cdot 360° = 14{,}4°\)
Sentrale observasjoner
Smarttelefonen har dominerende vekst: Fra 32 % i 2019 til 50 % i 2025 — en økning på 18 prosentpoeng, tilsvarende ca. 56 % relativ vekst. Halvparten av nordmenn får dagens første nyheter via smarttelefonen.
Papiravisens kraftige fall: Fra 7 % til 2 %, en relativ nedgang på ca. 71 %. Tradisjonelle medier mister terreng raskt.
Andre tradisjonelle kanaler (radio, PC, TV) har også gått tilbake med 2–5 prosentpoeng hver.
Nyhetsunngåelse: Hele 59 % (29 % + 23 % + 7 %) av nordmenn unngår aktivt nyheter i hvert fall en gang iblant. Kun 37 % unngår dem aldri.
Sum av andelene: Nyhetskildene i 2019 summerer til \(32 + 19 + 15 + 13 + 6 + 7 + 4 + 4 = 100\,\%\) — fordelingen dekker hele populasjonen. Det samme gjelder for 2025: \(50 + 14 + 12 + 11 + 5 + 2 + 4 + 2 = 100\,\%\). ✓
Oppsummering: Nordmenns nyhetsvaner har endret seg betydelig fra 2019 til 2025. Smarttelefonen har gått fra å være én av flere kilder til å bli den dominerende kanalen for førstegangsnyheter (50 %). Tradisjonelle kanaler som papiravis og radio har gått klart tilbake. Samtidig viser tallene at over 6 av 10 nordmenn aktivt unngår nyheter i hvert fall noen ganger i løpet av året, og dette er et problem forskerne er bekymret for.