Løsningsforslag – Matematikk S1 Høst 2022

Del 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1

Vi forenkler faktor for faktor.

Første faktor:

\[ \left(2a^{-2}b\right)^{-1} = \frac{1}{2a^{-2}b} = \frac{1}{2 \cdot \frac{b}{a^2}} = \frac{a^2}{2b} \]

Andre faktor:

\[ \left(\frac{b^2}{a}\right)^{2} = \frac{b^4}{a^2} \]

Multipliserer sammen:

\[ \frac{a^2}{2b} \cdot \frac{b^4}{a^2} = \frac{a^2 \cdot b^4}{2b \cdot a^2} = \frac{b^4}{2b} = \frac{b^3}{2} \]

Oppgave 2

Oppgave 2a

Vi deriverer \( O(x) \):

\[ O'(x) = -0{,}1x + 100 \]

Vi setter inn \( x = 500 \):

\[ O'(500) = -0{,}1 \cdot 500 + 100 = -50 + 100 = 50 \]

Oppgave 2b

Overskuddet er maksimalt når \( O'(x) = 0 \):

\[ -0{,}1x + 100 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{100}{0{,}1} = 1000 \]

Siden \( O(x) \) er en andregradsfunksjon med negativ koeffisient foran \( x^2 \), har den et toppunkt. Det maksimale overskuddet er:

\[ O(1000) = -0{,}05 \cdot 1000^2 + 100 \cdot 1000 - 10\,000 \] \[ = -50\,000 + 100\,000 - 10\,000 = 40\,000 \]

Oppgave 3

Vi bruker logaritmeregelen \( \lg A + \lg B = \lg(A \cdot B) \):

\[ \lg\bigl((x-3) \cdot x\bigr) = 1 \] \[ (x-3) \cdot x = 10^1 = 10 \] \[ x^2 - 3x = 10 \] \[ x^2 - 3x - 10 = 0 \]

Vi bruker abc-formelen (eller faktoriserer):

\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2} \]

Dette gir:

\[ x = \frac{3 + 7}{2} = 5 \qquad \text{eller} \qquad x = \frac{3 - 7}{2} = -2 \]

Sjekk av gyldighet: For at \( \lg(x-3) \) skal være definert, må \( x - 3 > 0 \), altså \( x > 3 \). For at \( \lg x \) skal være definert, må \( x > 0 \).

Dermed er \( x = -2 \) ikke en gyldig løsning.

Oppgave 4

Vi utvider teller:

\[ (4+h)^2 - 4^2 = 16 + 8h + h^2 - 16 = 8h + h^2 \]

Vi setter inn:

\[ \lim_{h \to 0} \frac{8h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(8 + h)}{h} = \lim_{h \to 0} (8 + h) = 8 \]

Oppgave 5

Oppgave 5a

Totalt er det 8 kuler (2 hvite + 6 svarte). Vi bruker komplementsetningen:

\[ P(\text{minst 1 hvit}) = 1 - P(\text{ingen hvite}) = 1 - P(\text{2 svarte}) \]

Sannsynligheten for å trekke 2 svarte kuler:

\[ P(\text{2 svarte}) = \frac{\binom{6}{2}}{\binom{8}{2}} = \frac{15}{28} \]

Dermed:

\[ P(\text{minst 1 hvit}) = 1 - \frac{15}{28} = \frac{28 - 15}{28} = \frac{13}{28} \]

Oppgave 5b

La \( s \) være antall svarte kuler i krukken. Totalt antall kuler er \( s + 2 \).

Sannsynligheten for å trekke 2 svarte kuler er:

\[ P(\text{2 svarte}) = \frac{\binom{s}{2}}{\binom{s+2}{2}} = \frac{s(s-1)}{(s+2)(s+1)} \]

Vi ønsker at \( P(\text{2 svarte}) \geq 0{,}5 \).

Algoritme:

1. Sett \( s = 2 \) (startverdien -- vi trenger minst 2 svarte kuler for å kunne trekke 2 svarte).
2. Beregn \( P = \dfrac{s(s-1)}{(s+2)(s+1)} \).
3. Dersom \( P \geq 0{,}5 \): Skriv ut \( s \) og stopp.
4. Dersom \( P < 0{,}5 \): Øk \( s \) med 1 og gå til steg 2.

Gjennomføring av algoritmen:

\( s \)	Totalt	\( P(\text{2 svarte}) \)	Oppfylt?
2	4	\( \frac{2 \cdot 1}{4 \cdot 3} = \frac{2}{12} \approx 0{,}167 \)	Nei
3	5	\( \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 4} = \frac{6}{20} = 0{,}3 \)	Nei
4	6	\( \frac{4 \cdot 3}{6 \cdot 5} = \frac{12}{30} = 0{,}4 \)	Nei
5	7	\( \frac{5 \cdot 4}{7 \cdot 6} = \frac{20}{42} \approx 0{,}476 \)	Nei
6	8	\( \frac{6 \cdot 5}{8 \cdot 7} = \frac{30}{56} \approx 0{,}536 \)	Ja

Del 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1

Vi antar at antall turister \( X \) blant de 145 kundene er binomisk fordelt:

\[ X \sim \text{Bin}(145,\; 0{,}70) \]

Vi skal finne \( P(X \geq 100) \).

Med \( n = 145 \) og \( p = 0{,}70 \) har vi:

\[ \mu = np = 145 \cdot 0{,}70 = 101{,}5 \] \[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{145 \cdot 0{,}70 \cdot 0{,}30} = \sqrt{30{,}45} \approx 5{,}518 \]

Siden \( n \) er stor nok, kan vi bruke normalfordelingsapproksimasjon. Vi beregner:

\[ P(X \geq 100) = P\!\left(Z \geq \frac{99{,}5 - 101{,}5}{5{,}518}\right) = P(Z \geq -0{,}362) \]

Her har vi brukt halvkontinuitetskorreksjon (\( 100 - 0{,}5 = 99{,}5 \)).

Fra standardnormalfordelingen:

\[ P(Z \geq -0{,}362) = P(Z \leq 0{,}362) \approx 0{,}641 \]

Alternativt kan vi beregne eksakt med digitale verktøy (binomisk kumulativ sannsynlighet):

\[ P(X \geq 100) = 1 - P(X \leq 99) \approx 0{,}643 \]

Oppgave 2

Oppgave 2a

Vi finner tangenten til \( f(x) = 1 - x^2 \) i punktet \( P\!\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right) \).

Den deriverte er:

\[ f'(x) = -2x \]

Stigningstallet i \( x = \frac{1}{2} \) er:

\[ f'\!\left(\frac{1}{2}\right) = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1 \]

Tangentens likning (punkt-stigningstall-formelen):

\[ y - \frac{3}{4} = -1 \cdot \left(x - \frac{1}{2}\right) \] \[ y = -x + \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = -x + \frac{5}{4} \]

Skjæring med \( x \)-aksen (punkt \( A \)): Sett \( y = 0 \):

\[ 0 = -x + \frac{5}{4} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{4} \]

Altså \( A = \left(\frac{5}{4}, 0\right) \).

Skjæring med \( y \)-aksen (punkt \( B \)): Sett \( x = 0 \):

\[ y = -0 + \frac{5}{4} = \frac{5}{4} \]

Altså \( B = \left(0, \frac{5}{4}\right) \).

Trekanten \( \triangle OAB \) har \( O \) i origo, \( A \) på \( x \)-aksen og \( B \) på \( y \)-aksen. Arealet er:

\[ T = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |OB| = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} = \frac{25}{32} \]

Oppgave 2b

Vi finner tangenten i et generelt punkt \( P(a, 1-a^2) \) der \( a \in \langle 0, 1 \rangle \).

Stigningstallet er \( f'(a) = -2a \). Tangentens likning:

\[ y - (1 - a^2) = -2a(x - a) \] \[ y = -2ax + 2a^2 + 1 - a^2 = -2ax + a^2 + 1 \]

Skjæring med \( x \)-aksen (punkt \( A \)): Sett \( y = 0 \):

\[ 0 = -2ax + a^2 + 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{a^2 + 1}{2a} \]

Skjæring med \( y \)-aksen (punkt \( B \)): Sett \( x = 0 \):

\[ y = a^2 + 1 \]

Arealet av \( \triangle OAB \):

\[ T(a) = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2 + 1}{2a} \cdot (a^2 + 1) = \frac{(a^2 + 1)^2}{4a} \]

Vi finner minimumsverdien ved å derivere. La oss skrive \( T(a) = \frac{(a^2+1)^2}{4a} \).

Vi deriverer med kvotientregelen. La \( u = (a^2+1)^2 \) og \( v = 4a \):

\[ u' = 2(a^2+1) \cdot 2a = 4a(a^2+1) \] \[ v' = 4 \] \[ T'(a) = \frac{4a(a^2+1) \cdot 4a - (a^2+1)^2 \cdot 4}{(4a)^2} \] \[ = \frac{4(a^2+1)\bigl[4a^2 - (a^2+1)\bigr]}{16a^2} \] \[ = \frac{(a^2+1)(3a^2 - 1)}{4a^2} \]

Siden \( a^2 + 1 > 0 \) og \( a^2 > 0 \) for \( a \in \langle 0, 1 \rangle \), er \( T'(a) = 0 \) når:

\[ 3a^2 - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad a^2 = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

Vi sjekker at dette er et minimum: For \( a < \frac{1}{\sqrt{3}} \) er \( T'(a) < 0 \) (avtagende), og for \( a > \frac{1}{\sqrt{3}} \) er \( T'(a) > 0 \) (voksende). Altså har \( T \) et minimum i \( a = \frac{1}{\sqrt{3}} \).

Vi beregner minimumsverdien:

\[ a^2 = \frac{1}{3}, \quad a^2 + 1 = \frac{4}{3} \] \[ T\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\left(\frac{4}{3}\right)^2}{4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{16}{9}}{\frac{4}{\sqrt{3}}} = \frac{16}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{9} \]

Oppgave 3

Oppgave 3a

La \( x \) være antall år etter 1980. Vi har datapunktene:

\( x \)	0	10	20	30	38
Eksport (mrd. kr)	91,7	211,6	529,8	788,1	1000,3

Modell 1 -- Eksponentiell modell:

Vi bruker regresjon (eller punktene for 1980 og 2018) til å tilpasse en eksponentiell funksjon. Med \( x = 0 \) gir \( y = 91{,}7 \), og med \( x = 38 \) gir \( y = 1000{,}3 \):

\[ 91{,}7 \cdot k^{38} = 1000{,}3 \quad \Rightarrow \quad k^{38} = \frac{1000{,}3}{91{,}7} \approx 10{,}91 \] \[ k = 10{,}91^{1/38} \approx 1{,}065 \]

Eksponentiell modell: \( E(x) = 91{,}7 \cdot 1{,}065^x \)

Modell 2 -- Lineær modell:

Vi bruker lineær regresjon (eller to punkter). Med endepunktene \( (0,\; 91{,}7) \) og \( (38,\; 1000{,}3) \):

\[ a = \frac{1000{,}3 - 91{,}7}{38 - 0} = \frac{908{,}6}{38} \approx 23{,}9 \]

Lineær modell: \( L(x) = 23{,}9x + 91{,}7 \)

Vurdering: Hvis vi sjekker modellene mot datapunktene, ser vi at den eksponentielle modellen treffer godt for de første punktene, men overestimerer de siste punktene noe. Den lineære modellen underestimerer de midtre punktene.

Bruker vi digitale verktøy til regresjonsanalyse på alle fem datapunkter, kan vi finne bedre tilpassede modeller. En lineær regresjon gir typisk:

\[ L(x) \approx 24{,}3x + 68{,}8 \]

En eksponentiell regresjon gir typisk:

\[ E(x) \approx 107 \cdot 1{,}063^x \]

Ut fra dataene ser vi at veksten avtok noe etter 2000. Den lineære modellen gir en jevn vekst som passer rimelig bra for denne perioden. For å forutsi framtiden (utover dataperioden) er den lineære modellen trolig mer forsiktig og realistisk, da eksponentiell vekst sjelden vedvarer.

Oppgave 3b

Gjennomsnittlig årlig vekst fra 2015 (\( x = 35 \)) til 2025 (\( x = 45 \)):

Lineær modell \( g(x) = 24{,}3x + 68{,}8 \):

\[ g(35) = 24{,}3 \cdot 35 + 68{,}8 = 919{,}3 \] \[ g(45) = 24{,}3 \cdot 45 + 68{,}8 = 1162{,}3 \] \[ \text{Gjennomsnittlig årlig vekst} = \frac{g(45) - g(35)}{10} = \frac{1162{,}3 - 919{,}3}{10} = 24{,}3 \text{ mrd. kr/år} \]

(Dette er som forventet lik stigningstallet i den lineære modellen.)

Eksponentiell modell \( E(x) = 107 \cdot 1{,}063^x \):

\[ E(35) = 107 \cdot 1{,}063^{35} \approx 107 \cdot 8{,}49 \approx 908{,}5 \] \[ E(45) = 107 \cdot 1{,}063^{45} \approx 107 \cdot 15{,}63 \approx 1672{,}1 \] \[ \text{Gjennomsnittlig årlig vekst} = \frac{E(45) - E(35)}{10} = \frac{1672{,}1 - 908{,}5}{10} \approx 76{,}4 \text{ mrd. kr/år} \]

Oppgave 3c

Verdien av vareimporten i 1980 er \( f(0) = 91 \cdot 1{,}057^0 = 91 \) mrd. kr. Vi skal finne når importen er 10 ganger så stor, altså \( f(x) = 910 \):

\[ 91 \cdot 1{,}057^x = 910 \] \[ 1{,}057^x = 10 \] \[ x = \frac{\lg 10}{\lg 1{,}057} = \frac{1}{\lg 1{,}057} \approx \frac{1}{0{,}02408} \approx 41{,}5 \]

Altså omtrent 41,5 år etter 1980.

Oppgave 3d

Norge har handelsoverskudd når eksport \( > \) import, altså når \( g(x) > f(x) \):

\[ 24{,}3x + 68{,}8 > 91 \cdot 1{,}057^x \]

Vi løser dette numerisk (med digitale verktøy) ved å se når \( g(x) - f(x) = 0 \):

Vi beregner noen verdier:

\( x \)	År	\( g(x) \) (eksport)	\( f(x) \) (import)	Overskudd?
0	1980	68,8	91,0	Nei
5	1985	190,3	119,8	Ja
10	1990	311,8	157,7	Ja
20	2000	554,8	273,4	Ja
30	2010	797,8	474,2	Ja
40	2020	1040,8	822,1	Ja
45	2025	1162,3	1082,3	Ja
48	2028	1235,2	1283,5	Nei

Grafene skjærer hverandre to ganger. Den første gangen er for en lav \( x \)-verdi (rundt \( x \approx 1{,}5 \), dvs. ca. 1981--1982), og den andre gangen er rundt \( x \approx 47 \), dvs. ca. 2027.

Oppgave 4

Oppgave 4a

Vi kan lage et program som enten teller opp eksakt eller simulerer med Monte Carlo-metoden. Her viser vi en eksakt opptelling:

Program (Python):

n = 10
antall_gunstige = 0
antall_mulige = n * n

for i in range(1, n + 1):
    for j in range(1, n + 1):
        if i * j > 60:
            antall_gunstige += 1

sannsynlighet = antall_gunstige / antall_mulige
print(f"P(X > 60) = {antall_gunstige}/{antall_mulige} = {sannsynlighet}")
    

Programmet teller opp alle par \( (i, j) \) der produktet \( i \cdot j > 60 \), og deler på totalt antall mulige utfall \( n^2 = 100 \).

Resultat: Parene \( (i,j) \) med \( i \cdot j > 60 \) for \( n = 10 \):

• \( i = 7 \): \( j \in \{9, 10\} \) -- 2 par
• \( i = 8 \): \( j \in \{8, 9, 10\} \) -- 3 par
• \( i = 9 \): \( j \in \{7, 8, 9, 10\} \) -- 4 par
• \( i = 10 \): \( j \in \{7, 8, 9, 10\} \) -- 4 par

Totalt: \( 2 + 3 + 4 + 4 = 13 \) gunstige utfall.

Oppgave 4b

Vi utvider programmet til å finne den minste \( n \) slik at \( P(X > 60) > 0{,}5 \):

Program (Python):

for n in range(2, 100):
    antall_gunstige = 0
    antall_mulige = n * n
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if i * j > 60:
                antall_gunstige += 1
    sannsynlighet = antall_gunstige / antall_mulige
    if sannsynlighet > 0.5:
        print(f"n = {n}, P(X > 60) = {sannsynlighet:.4f}")
        break
    

Vi kan beregne for noen verdier av \( n \):

\( n \)	Antall gunstige	Totalt	\( P(X > 60) \)
10	13	100	0,130
11	24	121	0,198
12	37	144	0,257
13	54	169	0,320
14	73	196	0,372
15	94	225	0,418
16	119	256	0,465
17	146	289	0,505
18	175	324	0,540
19	206	361	0,571

Oppgave 5

Oppgave 5a

Vi setter inn \( t = 24 \) i \( f(t) = 100 \cdot e^{-0{,}012t} \):

\[ f(24) = 100 \cdot e^{-0{,}012 \cdot 24} = 100 \cdot e^{-0{,}288} \approx 100 \cdot 0{,}7499 \approx 75{,}0 \]

Oppgave 5b

La \( r = e^{-0{,}012 \cdot 24} = e^{-0{,}288} \approx 0{,}7499 \). Dette er andelen virkestoff som er igjen etter 24 timer.

Funksjonen \( g(t) \) er satt sammen av stykker. I hvert 24-timers intervall avtar virkestoffet eksponentielt, men i det øyeblikket Arnt tar en ny tablett (ved \( t = 24, 48, 72, \ldots \)), hopper mengden opp med 100 mg.

Like før den andre tabletten (ved \( t = 24^- \)):

\[ g(24^-) = 100 \cdot e^{-0{,}288} \approx 75{,}0 \]

Like etter den andre tabletten (ved \( t = 24^+ \)):

\[ g(24^+) = 100 \cdot e^{-0{,}288} + 100 \approx 175{,}0 \]

Siden \( g(24^-) \neq g(24^+) \), er \( g \) ikke kontinuerlig. Funksjonen har et sprang (diskontinuitet) for \( t = 24, 48, 72, \ldots \), altså hver gang en ny tablett tas.

Oppgave 5c

La \( r = e^{-0{,}288} \approx 0{,}7499 \). Like før den sjette tabletten har det gått \( 5 \cdot 24 = 120 \) timer.

Like før den sjette tabletten er mengden virkestoff lik summen av restene fra de fem foregående tablettene:

• Tablett 1 (tatt ved \( t = 0 \)): Bidraget etter 120 timer er \( 100 \cdot r^5 \)
• Tablett 2 (tatt ved \( t = 24 \)): Bidraget etter 96 timer er \( 100 \cdot r^4 \)
• Tablett 3 (tatt ved \( t = 48 \)): Bidraget etter 72 timer er \( 100 \cdot r^3 \)
• Tablett 4 (tatt ved \( t = 72 \)): Bidraget etter 48 timer er \( 100 \cdot r^2 \)
• Tablett 5 (tatt ved \( t = 96 \)): Bidraget etter 24 timer er \( 100 \cdot r \)

Total mengde:

\[ g(120^-) = 100(r + r^2 + r^3 + r^4 + r^5) = 100r \cdot \frac{1 - r^5}{1 - r} \]

Med \( r \approx 0{,}7499 \):

\[ r^5 \approx 0{,}7499^5 \approx 0{,}2373 \] \[ g(120^-) = 100 \cdot 0{,}7499 \cdot \frac{1 - 0{,}2373}{1 - 0{,}7499} = 74{,}99 \cdot \frac{0{,}7627}{0{,}2501} \approx 74{,}99 \cdot 3{,}050 \approx 228{,}7 \]

Oppgave 5d

Like etter at Arnt tar en tablett (etter lang tid), har kroppen nådd en likevektstilstand. Den maksimale mengden virkestoff oppstår rett etter at han tar en tablett.

Like etter den \( n \)-te tabletten:

\[ g_n = 100 + 100r + 100r^2 + \cdots + 100r^{n-1} = 100 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \]

Når \( n \to \infty \) (over lang tid), konvergerer dette til en geometrisk rekke:

\[ g_\infty = \frac{100}{1 - r} = \frac{100}{1 - e^{-0{,}288}} \]

Med \( r = e^{-0{,}288} \approx 0{,}7499 \):

\[ g_\infty = \frac{100}{1 - 0{,}7499} = \frac{100}{0{,}2501} \approx 399{,}8 \]

Oppgave 6

Oppgave 6a

Vi deriverer \( f(x) = 2x + 5 + \frac{1}{x-1} = 2x + 5 + (x-1)^{-1} \):

\[ f'(x) = 2 - \frac{1}{(x-1)^2} \]

Vi setter \( f'(x) = k \):

\[ 2 - \frac{1}{(x-1)^2} = k \] \[ \frac{1}{(x-1)^2} = 2 - k \]

For at dette skal ha løsning, må \( \frac{1}{(x-1)^2} > 0 \), som alltid er oppfylt. Dessuten er venstre side alltid positiv, så vi trenger:

\[ 2 - k > 0 \quad \Rightarrow \quad k < 2 \]

Vi sjekker: Når \( k < 2 \) har vi \( (x-1)^2 = \frac{1}{2-k} > 0 \), som gir to løsninger (en på hver side av \( x = 1 \)).

Merk: Vi undersøker også om \( f'(x) \) kan bli vilkårlig lav. Når \( x \to 1 \), går \( \frac{1}{(x-1)^2} \to \infty \), slik at \( f'(x) \to -\infty \). Når \( x \to \pm\infty \), går \( f'(x) \to 2 \). Altså tar \( f'(x) \) alle verdier i \( \langle -\infty, 2 \rangle \).

Oppgave 6b

Fra likningen \( f'(x) = k \) fant vi:

\[ (x-1)^2 = \frac{1}{2-k} \] \[ x - 1 = \pm\frac{1}{\sqrt{2-k}} \] \[ x = 1 \pm \frac{1}{\sqrt{2-k}} \]

De to løsningene er:

\[ x_1 = 1 - \frac{1}{\sqrt{2-k}} \qquad \text{og} \qquad x_2 = 1 + \frac{1}{\sqrt{2-k}} \]

Vi ser at de to løsningene ligger symmetrisk om \( x = 1 \):

\[ \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2-k}}\right) + \left(1 + \frac{1}{\sqrt{2-k}}\right)}{2} = 1 \]

Eksempler:

• \( k = 1 \): \( x = 1 \pm 1 \), altså \( x = 0 \) og \( x = 2 \). Symmetrisk om \( x = 1 \).
• \( k = -2 \): \( x = 1 \pm \frac{1}{2} \), altså \( x = 0{,}5 \) og \( x = 1{,}5 \). Symmetrisk om \( x = 1 \).
• \( k = -\frac{7}{4} \): Gir \( (x-1)^2 = \frac{4}{15} \), altså \( x = 1 \pm \frac{2}{\sqrt{15}} \). Symmetrisk om \( x = 1 \).

Oppgave 6c

Vi deriverer \( g(x) = ax + b + \frac{1}{x+d} \):

\[ g'(x) = a - \frac{1}{(x+d)^2} \]

Vi setter \( g'(x) = 4 \):

\[ a - \frac{1}{(x+d)^2} = 4 \] \[ \frac{1}{(x+d)^2} = a - 4 \]

Siden \( \frac{1}{(x+d)^2} > 0 \) for alle \( x \neq -d \), trenger vi:

\[ a - 4 > 0 \quad \Rightarrow \quad a > 4 \]

Oppgave 6d

Med \( a = 3 \) har vi:

\[ g'(x) = 3 - \frac{1}{(x+d)^2} \]

Vi setter \( g'(x) = k \):

\[ 3 - \frac{1}{(x+d)^2} = k \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{(x+d)^2} = 3 - k \]

Analyse av løsningene for ulike verdier av \( k \):

• \( k < 3 \): Da er \( 3 - k > 0 \), og vi får \( (x+d)^2 = \frac{1}{3-k} \). Dette gir to løsninger: \[ x = -d \pm \frac{1}{\sqrt{3-k}} \] Disse to løsningene er symmetrisk om \( x = -d \).
• \( k = 3 \): Da er \( 3 - k = 0 \), og vi får \( \frac{1}{(x+d)^2} = 0 \), som ikke har noen løsning. Ingen løsning.
• \( k > 3 \): Da er \( 3 - k < 0 \), og \( \frac{1}{(x+d)^2} \) kan ikke være negativ. Ingen løsning.

Verdimengden til \( g'(x) \) er \( \langle -\infty, 3 \rangle \):

• Når \( x \to -d \): \( g'(x) \to -\infty \)
• Når \( x \to \pm\infty \): \( g'(x) \to 3 \) (men når aldri verdien 3)

Oppgave 6e

Vi har \( a = 3 \), slik at \( g(x) = 3x + b + \frac{1}{x+d} \) og \( g'(x) = 3 - \frac{1}{(x+d)^2} \).

Betingelse 1: \( g'(-1) = g'(5) \)

\[ 3 - \frac{1}{(-1+d)^2} = 3 - \frac{1}{(5+d)^2} \] \[ \frac{1}{(d-1)^2} = \frac{1}{(d+5)^2} \] \[ (d-1)^2 = (d+5)^2 \]

Vi utvider:

\[ d^2 - 2d + 1 = d^2 + 10d + 25 \] \[ -2d + 1 = 10d + 25 \] \[ -12d = 24 \quad \Rightarrow \quad d = -2 \]

Vi sjekker: Med \( d = -2 \) har vi \( g'(x) = 3 - \frac{1}{(x-2)^2} \). Løsningene av \( g'(x) = k \) er symmetrisk om \( x = -d = 2 \). Og \( \frac{-1+5}{2} = 2 \), noe som bekrefter at \( -1 \) og \( 5 \) er symmetrisk om \( x = 2 \).

Betingelse 2: \( g(1) = 7 \)

Med \( d = -2 \):

\[ g(1) = 3 \cdot 1 + b + \frac{1}{1 + (-2)} = 3 + b + \frac{1}{-1} = 3 + b - 1 = 2 + b \] \[ 2 + b = 7 \quad \Rightarrow \quad b = 5 \]