Løsningsforslag – Matematikk S1 Vår 2025

Oppgave 1 (2 poeng)

Vi deriverer ledd for ledd.

Første ledd: \( e^{-2x} \) er en sammensatt funksjon. Den ytre funksjonen er \( e^u \) og den indre er \( u = -2x \). Vi bruker kjerneregelen:

Andre ledd: Vi bruker potensregelen:

Tredje ledd: \( 2\pi \) er en konstant, så den deriverte er 0.

Oppgave 2 (5 poeng)

a)

Vi setter \( g(x) = 0 \):

Siden \( e^x > 0 \) for alle \( x \), og \( \frac{1}{2} \neq 0 \), må vi ha:

b)

Vi bruker produktregelen: \( g(x) = \dfrac{1}{2}e^x \cdot (2x-1)^2 \).

La \( u = \dfrac{1}{2}e^x \) og \( v = (2x-1)^2 \). Da er:

Produktregelen gir \( g'(x) = u'v + uv' \):

Vi faktoriserer ut \( \dfrac{1}{2}e^x(2x-1) \):

c)

Topp- og bunnpunkter finner vi der \( g'(x) = 0 \):

Siden \( e^x > 0 \) for alle \( x \), får vi:

Vi lager en fortegnslinje for \( g'(x) \). Faktorene \( (2x-1) \) og \( (2x+3) \) skifter fortegn ved \( x = -\frac{3}{2} \) og \( x = \frac{1}{2} \):

Intervall	\( x < -\frac{3}{2} \)	\( x = -\frac{3}{2} \)	\( -\frac{3}{2} < x < \frac{1}{2} \)	\( x = \frac{1}{2} \)	\( x > \frac{1}{2} \)
\( g'(x) \)	\( + \)	\( 0 \)	\( - \)	\( 0 \)	\( + \)
\( g(x) \)	\( \nearrow \)	topp	\( \searrow \)	bunn	\( \nearrow \)

Vi beregner funksjonsverdiene:

Oppgave 3 (4 poeng)

a)

Vi løser likningen:

Vi skriver 81 som en potens av 3:

Siden grunntallet er det samme, må eksponentene være like:

b)

Vi bruker logaritmeregler til å forenkle venstresiden:

Vi forenkler hvert ledd ved hjelp av potensregelen for logaritmer (\( \lg x^n = n \lg x \)):

Vi løser for \( x \):

Oppgave 4 (4 poeng)

a)

Vi faktoriserer telleren. Vi merker at \( x^2 - 3 \) ikke har \( (x-3) \) som faktor direkte, men la oss undersøke uttrykket nærmere.

Merk: \( x^2 - 3 = (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) \), men dette hjelper ikke. La oss i stedet sette inn \( x = 3 \) direkte:

Nevneren går mot 0, men telleren går mot 18. Dermed eksisterer ikke grenseverdien som et endelig tall. La oss undersøke grenseverdien fra begge sider:

• Når \( x \to 3^+ \): nevneren er positiv og liten, telleren er nær 18, så brøken \( \to +\infty \).
• Når \( x \to 3^- \): nevneren er negativ og nær 0, telleren er nær 18, så brøken \( \to -\infty \).

b)

Direkte innsetting gir \( \dfrac{\sqrt{4}-2}{4-4} = \dfrac{0}{0} \), som er en ubestemt form. Vi rasjonaliserer telleren ved å gange med den konjugerte:

For \( x \neq 4 \) kan vi forkorte:

Nå setter vi inn \( x = 4 \):

Oppgave 5 (5 poeng)

Vi har \( p = 0{,}8 \) (treff) og \( q = 1 - 0{,}8 = 0{,}2 \) (bom). Antall treff \( X \) på tre skudd er binomisk fordelt med \( n = 3 \) og \( p = 0{,}8 \).

a)

Sannsynligheten for at Arne treffer på begge de to første skuddene:

b)

Vi skal finne \( P(X = 2) \) der \( X \sim \text{bin}(3,\; 0{,}8) \):

c)

Vi skal finne \( P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) \):

Oppgave 6 (2 poeng)

En funksjon er kontinuerlig i et punkt \( x = a \) dersom:

1. \( f(a) \) er definert
2. \( \displaystyle\lim_{x \to a} f(x) \) eksisterer
3. \( \displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a) \)

a)

Vi undersøker \( f \) i \( x = 0 \).

Funksjonsverdi: Siden \( x = 0 \geq 0 \), bruker vi \( f(x) = 2e^x \):

Grenseverdi fra venstre:

Grenseverdi fra høyre:

Grenseverdiene fra begge sider er like, og stemmer overens med funksjonsverdien.

b)

Vi undersøker \( g \) i \( x = 0 \).

Funksjonsverdi:

Grenseverdi fra venstre:

Grenseverdi fra høyre:

Grenseverdien fra begge sider er 2, men funksjonsverdien er \( g(0) = 1 \neq 2 \).

Oppgave 1 (3 poeng)

a)

Siden sifrene 7, 8, 9 og 0 ikke er med, er de mulige sifrene: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Det er altså 6 mulige sifre for hver av de tre posisjonene.

Totalt antall mulige koder:

Kun én av disse kodene er riktig. Sannsynligheten for å velge riktig kode på første forsøk er:

b)

Vi kan simulere dette i Python (eller et annet programmeringsspråk). Nedenfor er et eksempel:

import random

antall_simuleringer = 100000
antall_treff = 0

# Velg en tilfeldig "riktig" kode
riktig_kode = [random.randint(1, 6) for _ in range(3)]

for i in range(antall_simuleringer):
    forsok = [random.randint(1, 6) for _ in range(3)]
    if forsok == riktig_kode:
        antall_treff += 1

sannsynlighet = antall_treff / antall_simuleringer
print(f"Simulert sannsynlighet: {sannsynlighet:.4f}")
    

Ved en typisk kjøring med 100 000 simuleringer får vi en verdi nær \( \dfrac{1}{216} \approx 0{,}0046 \).

Oppgave 2 (3 poeng)

La det ukjente tredjegradspolynomet være \( p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \).

Vi har fire betingelser:

Betingelse 1: Kontinuitet i \( x = -2 \)

Venstresiden gir \( f(-2) = -9(-2) - 15 = 18 - 15 = 3 \).

Midtuttrykket gir \( p(-2) = -8a + 4b - 2c + d = 3 \).

Betingelse 2: Kontinuitet i \( x = 1 \)

Høyresiden gir \( f(1) = \dfrac{1}{2} - 1 - \dfrac{7}{2} = -4 \).

Midtuttrykket gir \( p(1) = a + b + c + d = -4 \).

Betingelse 3: \( f'(-2) = -9 \)

Vi deriverer midtuttrykket: \( p'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \).

\( p'(-2) = 3a \cdot 4 + 2b \cdot (-2) + c = 12a - 4b + c = -9 \).

Betingelse 4: \( f'(1) = 0 \)

\( p'(1) = 3a + 2b + c = 0 \).

Vi har likningssystemet:

Fra (III) og (IV):

Fra (IV):

Fra (I) og (II): Vi trekker (II) fra (I):

Setter inn (V) og (VI) i (VII):

Ganger gjennom med 2:

Vi verifiserer betingelsene. Merk at betingelsen \( f'(-2) = -9 \) antyder at den deriverte i \( x = -2 \) samsvarer med den deriverte av venstresiden, altså at \( f \) er deriverbar i \( x = -2 \). Tilsvarende antyder \( f'(1) = 0 \) at den deriverte av høyresiden i \( x = 1 \) er lik \( p'(1) \).

Vi sjekker den deriverte av høyresiden i \( x = 1 \):

Vi sjekker den deriverte av venstresiden:

Betingelsene er altså at polynomet er deriverbart (glatt) i overgangspunktene, noe som gir oss fire betingelser:

Vi bruker en annen strategi. Siden \( p'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \) og vi vet at \( p'(1) = 0 \) og \( p'(-2) = -9 \), og i tillegg at \( p(-2) = 3 \) og \( p(1) = -4 \).

Vi setter inn (V) og (VI) i (II):

Ganger med 2:

Setter inn (V), (VI) og (VIII) i (I):

Ganger med 2:

Dermed:

Kontroll av (II): \( a + b + c + d = -\frac{13}{27} + \frac{7}{9} + (-\frac{1}{9}) + (-\frac{113}{27}) \)

Oppgave 3 (4 poeng)

a)

Rekkefølgen spiller ingen rolle, så vi bruker kombinasjoner. Vi velger 4 av 10:

b)

Vi har 7 jenter og 3 gutter. Vi skal finne \( P(X \geq 2) \), der \( X \) er antall gutter i gruppen.

Det er enklest å bruke komplementhendelsen: \( P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \).

\( P(X = 0) \): Ingen gutter, bare jenter:

\( P(X = 1) \): Nøyaktig 1 gutt og 3 jenter:

c)

Vi skal finne sannsynligheten for at nøyaktig en av Emma og Marie er med i arbeidsgruppen.

Det er to gunstige tilfeller: "Emma med, Marie ikke med" eller "Marie med, Emma ikke med".

Dersom nøyaktig en av de to er med, har vi valgt 1 av de 2 (Emma/Marie), og de resterende 3 plassene fylles blant de andre 8 elevene (bortsett fra den andre av Emma/Marie, altså blant 8 resterende personer).

Oppgave 4 (4 poeng)

a)

Vi kan anta at populasjonen av velgere er veldig stor, slik at trekning av 10 personer tilnærmet kan modelleres med en binomisk fordeling. La \( X \) = antall som stemte FrP blant de 10 utvalgte. Da har vi \( X \sim \text{bin}(10,\; 0{,}113) \).

Vi beregner:

Med digitale verktøy (CAS eller regneark) beregner vi:

b)

Her er populasjonen liten (243 personer), og vi trekker 10 personer uten tilbakelegging. Fordi utvalget er en vesentlig del av populasjonen (\( \frac{10}{243} \approx 4\,\% \)), og populasjonen er spesifisert som et eksakt tall, bør vi bruke hypergeometrisk fordeling.

Vi har:

• Populasjon: \( N = 243 \)
• Antall som stemte AP: \( M = 100 \)
• Antall som ikke stemte AP: \( N - M = 143 \)
• Utvalg: \( n = 10 \)

La \( Y \) = antall som stemte AP. Da er \( Y \) hypergeometrisk fordelt:

Vi skal finne \( P(Y \geq 4) = 1 - P(Y \leq 3) \).

Med digitale verktøy (CAS eller regneark) beregner vi:

Oppgave 5 (6 poeng)

a)

Inntekten er gitt ved \( I(x) = p(x) \cdot x \):

Vi deriverer for å finne maksimum:

Vi setter \( I'(x) = 0 \):

Ganger med \( -\frac{1000}{3} \):

Bruker vi abc-formelen (eller CAS), med \( a = -0{,}003 \), \( b = 0{,}4 \), \( c = 100 \):

Siden \( I''(x) = -0{,}006x + 0{,}4 \) og \( I''(261) = -0{,}006 \cdot 261 + 0{,}4 = -1{,}166 < 0 \), er dette et toppunkt.

Vi beregner inntekten:

Med mer nøyaktig beregning via CAS: \( x \approx 261{,}04 \). Vi prøver heltallsverdier:

\( 261^2 = 68\,121 \), \( 261^3 = 17\,779\,581 \)

b)

Overskuddet er gitt ved \( O(x) = I(x) - K(x) \):

Vi deriverer:

Vi setter \( O'(x) = 0 \):

Setter \( O'(x) = 0 \) med abc-formelen (\( a = -0{,}003,\, b = 0{,}2,\, c = 100 \)):

(Den andre løsningen gir negativ \( x \), som ikke er relevant.)

Vi beregner overskuddet ved \( x \approx 219 \):

\( 219^2 = 47\,961 \), \( 219^3 = 10\,503\,459 \)

Sjekker også \( x = 219 \):

c)

Under kampanjen donerer bedriften 30 kr per T-skjorte. De nye totale kostnadene blir:

Det nye overskuddet er:

Bedriften går ikke med underskudd når \( O_{\text{ny}}(x) \geq 0 \). Vi skal finne det største \( x \) slik at \( O_{\text{ny}}(x) \geq 0 \), altså det største nullpunktet til:

Ganger med \( -1000 \):

Vi løser denne med CAS/digitale verktøy. Vi prøver noen verdier:

• \( O_{\text{ny}}(200) = -0{,}001 \cdot 8\,000\,000 + 0{,}1 \cdot 40\,000 + 14\,000 - 8\,000 = -8\,000 + 4\,000 + 14\,000 - 8\,000 = 2\,000 > 0 \)
• \( O_{\text{ny}}(250) = -0{,}001 \cdot 15\,625\,000 + 0{,}1 \cdot 62\,500 + 17\,500 - 8\,000 = -15\,625 + 6\,250 + 17\,500 - 8\,000 = 125 > 0 \)
• \( O_{\text{ny}}(255) = -0{,}001 \cdot 16\,581\,375 + 0{,}1 \cdot 65\,025 + 17\,850 - 8\,000 = -16\,581{,}4 + 6\,502{,}5 + 17\,850 - 8\,000 = -228{,}9 < 0 \)

Nullpunktet ligger mellom 250 og 255. Vi prøver videre:

• \( O_{\text{ny}}(252) = -0{,}001 \cdot 16\,003\,008 + 0{,}1 \cdot 63\,504 + 17\,640 - 8\,000 \) \( = -16\,003{,}0 + 6\,350{,}4 + 17\,640 - 8\,000 = -12{,}6 < 0 \)
• \( O_{\text{ny}}(251) = -0{,}001 \cdot 15\,813\,251 + 0{,}1 \cdot 63\,001 + 17\,570 - 8\,000 \) \( = -15\,813{,}3 + 6\,300{,}1 + 17\,570 - 8\,000 = 56{,}8 > 0 \)

Altså er \( O_{\text{ny}}(251) > 0 \) og \( O_{\text{ny}}(252) < 0 \).

Oppgave 6 (6 poeng)

a)

Grafen viser en vekst som ser ut til å øke raskere og raskere over tid. Dette tyder på eksponentiell vekst. Vi velger derfor en eksponentiell modell på formen:

der \( t \) er antall år etter 1998, og \( O(t) \) er verdien i milliarder kroner.

Begrunnelse: Verdien av oljefondet vokser tilnærmet med en fast prosentandel per år (avkastning pluss tilførsler), noe som tilsier eksponentiell vekst. Fra grafen kan vi avlese omtrentlige verdier, for eksempel:

• I 1998 (\( t = 0 \)): ca. 172 milliarder
• I 2024 (\( t = 26 \)): ca. 19 000 milliarder

Med \( O(0) = a = 172 \) og \( O(26) = 172 \cdot b^{26} = 19\,000 \):

b)

Vi bruker modellen \( V(t) = 330 \cdot 1{,}1787^t \).

Beregning av \( V(20) \):

Vi beregner \( 1{,}1787^{20} \). Vi kan bruke at \( \ln(1{,}1787) \approx 0{,}16425 \), slik at \( 20 \cdot \ln(1{,}1787) \approx 3{,}285 \), og \( e^{3{,}285} \approx 26{,}69 \):

Beregning av \( V'(20) \):

Den deriverte av \( V(t) = 330 \cdot 1{,}1787^t \) er:

Vi har \( \ln(1{,}1787) \approx 0{,}1644 \), slik at:

Praktisk tolkning:

• \( V(20) \approx 8\,843 \): I år 2018 (\( t = 20 \)) var verdien av oljefondet ifølge modellen omtrent 8 843 milliarder kroner.
• \( V'(20) \approx 1\,454 \): I år 2018 økte verdien av oljefondet med omtrent 1 454 milliarder kroner per år (den momentane vekstfarten).

c)

Den gjennomsnittlige vekstfarten i et intervall \([a, b]\) er gitt ved:

Intervallet \([0, 10]\):

Med digitale verktøy finner vi \( 1{,}1787^{10} \approx 5{,}176 \):

Intervallet \([16, 26]\):

Sammenligning: