Løsningsforslag – Matematikk S1 Høst 2025

Eksamen REA3060

Oppgave 1 (5 poeng)

a)

Vi skriver om \( \sqrt{x} = x^{1/2} \) og deriverer ledd for ledd:

\[ f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + \frac{1}{2}x^{-1/2} + 0 \]

b)

Vi bruker kvotientregelen. Med \( u = 2x - 3 \) og \( v = e^x \):

\[ g'(x) = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} = \frac{2 \cdot e^x - (2x-3) \cdot e^x}{(e^x)^2} \]

Vi faktoriserer \( e^x \) i telleren:

\[ g'(x) = \frac{e^x\big(2 - (2x-3)\big)}{e^{2x}} = \frac{5 - 2x}{e^x} \]

Nå setter vi inn:

\[ g'(2) = \frac{5 - 4}{e^2} = \frac{1}{e^2} \] \[ g'(3) = \frac{5 - 6}{e^3} = -\frac{1}{e^3} \]

c)

Fra oppgave b har vi:

• \( g'(2) = \dfrac{1}{e^2} > 0 \), som betyr at \( g \) er voksende i \( x = 2 \).
• \( g'(3) = -\dfrac{1}{e^3} < 0 \), som betyr at \( g \) er avtagende i \( x = 3 \).

Siden \( g \) er kontinuerlig og deriverbar, og den deriverte skifter fortegn fra positiv til negativ på intervallet \( [2, 3] \), må \( g \) ha et toppunkt et sted på dette intervallet.

Oppgave 2 (3 poeng)

a)

Vi setter \( u = \lg x \) og får andregradslikningen:

\[ u^2 - 2u = 8 \] \[ u^2 - 2u - 8 = 0 \]

Vi faktoriserer:

\[ (u - 4)(u + 2) = 0 \]

Dette gir \( u = 4 \) eller \( u = -2 \).

Vi setter tilbake \( u = \lg x \):

• \( \lg x = 4 \implies x = 10^4 = 10\,000 \)
• \( \lg x = -2 \implies x = 10^{-2} = 0{,}01 \)

b)

Definisjonen av logaritme gir:

\[ a^{-3} = \frac{1}{64} \]

Dette betyr:

\[ \frac{1}{a^3} = \frac{1}{64} \] \[ a^3 = 64 \] \[ a = \sqrt[3]{64} = 4 \]

Oppgave 3 (3 poeng)

a)

Vi undersøker teller og nevner ved \( x = -2 \):

Nevner: \( (-2)^2 - 2(-2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0 \)

Teller: \( (-2)^2 - 4(-2) + 2 = 4 + 8 + 2 = 14 \)

Telleren er 14 (ulik null) mens nevneren er 0. Vi har altså formen \( \dfrac{14}{0} \).

b)

Del 1)

Nevneren faktoriseres: \( x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) \), og er 0 for \( x = -2 \).

For at grenseverdien skal eksistere, må også telleren bli 0 for \( x = -2 \), slik at vi kan forkorte fellesfaktoren \( (x + 2) \).

Vi krever at telleren er 0 for \( x = -2 \):

\[ (-2)^2 + a(-2) + 2 = 0 \] \[ 4 - 2a + 2 = 0 \] \[ 6 - 2a = 0 \]

Del 2)

Med \( a = 3 \) faktoriserer vi telleren: \( x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) \).

Brøken blir:

\[ \frac{(x+1)(x+2)}{(x-4)(x+2)} = \frac{x+1}{x-4} \quad \text{for } x \neq -2 \]

Grenseverdien blir:

\[ \lim_{x \to -2} \frac{x+1}{x-4} = \frac{-2+1}{-2-4} = \frac{-1}{-6} = \frac{1}{6} \]

Oppgave 4 (3 poeng)

a)

Vi bruker multiplikasjonsprinsippet:

• Posisjon 1 (bokstav): 6 muligheter (A, B, C, D, E, F)
• Posisjon 2 (siffer): 9 muligheter (1–9)
• Posisjon 3 (ulikt siffer fra posisjon 2): 8 muligheter

\[ \text{Antall passord} = 6 \cdot 9 \cdot 8 = 432 \]

b)

Vi bruker komplementær telling. Vi har totalt 7 tegn å velge mellom (4 siffer og 3 bokstaver), og hvert tegn kan gjentas.

Totalt antall passord uten begrensninger: \( 7^3 = 343 \)

Passord med bare siffer (ingen bokstaver): \( 4^3 = 64 \)

Passord med bare bokstaver (ingen siffer): \( 3^3 = 27 \)

Passord med minst en bokstav og minst ett siffer:

\[ 343 - 64 - 27 = 252 \]

Oppgave 5 (2 poeng)

Funksjonen er definert for \( x > 0 \). Vi deriverer med produktregelen:

\[ f'(x) = 8x \cdot \ln x + 4x^2 \cdot \frac{1}{x} = 8x \ln x + 4x = 4x(2\ln x + 1) \]

Vi setter \( f'(x) = 0 \):

\[ 4x(2\ln x + 1) = 0 \]

Siden \( x > 0 \), er \( 4x \neq 0 \). Vi løser:

\[ 2\ln x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \ln x = -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}} \]

Vi sjekker med den andrederiverte:

\[ f''(x) = 8\ln x + 8 + 4 = 8\ln x + 12 \] \[ f''\!\left(e^{-1/2}\right) = 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 12 = -4 + 12 = 8 > 0 \]

Siden \( f'' > 0 \), har vi et bunnpunkt.

Funksjonsverdien:

\[ f\!\left(e^{-1/2}\right) = 4\left(e^{-1/2}\right)^2 \cdot \ln\left(e^{-1/2}\right) = 4 \cdot e^{-1} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{2}{e} \]

Oppgave 6 (5 poeng)

a)

Programmet velger tilfeldig 3 ganger fra listen og teller antall «treff». Antall treff kan være 0, 1, 2 eller 3.

Programmet skriver ut \( \dfrac{\text{antall\_treff}}{3} \), som gir:

b)

Programmet skriver ut 1,0 når alle 3 forsøk er «treff».

Listen har 5 elementer, hvorav 2 er «treff». Sannsynligheten for treff i hvert forsøk er \( \dfrac{2}{5} \).

Hvert forsøk er uavhengig (vi velger tilfeldig fra hele listen hver gang), så:

\[ P(\text{utskrift} = 1{,}0) = \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{8}{125} \]

c)

Sannsynligheten for å bomme på ett spark er \( 1 - 0{,}30 = 0{,}70 \).

Sannsynligheten for å bomme på alle \( n \) spark er \( 0{,}70^n \).

Sannsynligheten for minst ett mål:

\[ P(\text{minst ett mål}) = 1 - 0{,}70^n \geq 0{,}50 \] \[ 0{,}70^n \leq 0{,}50 \] \[ n \cdot \ln(0{,}70) \leq \ln(0{,}50) \]

Siden \( \ln(0{,}70) < 0 \), snur ulikheten når vi deler:

\[ n \geq \frac{\ln(0{,}50)}{\ln(0{,}70)} = \frac{-0{,}693}{-0{,}357} \approx 1{,}94 \]

Sjekk:

• \( n = 1 \): \( 1 - 0{,}70^1 = 0{,}30 < 0{,}50 \) (ikke nok)
• \( n = 2 \): \( 1 - 0{,}70^2 = 1 - 0{,}49 = 0{,}51 \geq 0{,}50 \) (nok!)

Oppgave 1 (6 poeng)

a)

Vi lar \( t \) representere antall år etter 1910 og legger dataene inn i et digitalt verktøy for eksponentiell regresjon.

\( t \)	0	3	9	11	15	17	21	25
\( F \)	800	963	1253	1511	1720	1879	2387	2774

Eksponentiell regresjon gir:

Gyldighetsområde: Modellen er basert på data fra 1910–1935, altså \( 0 \leq t \leq 25 \). For verdier langt utenfor dette intervallet er modellen usikker. Eksponentiell vekst uten begrensninger er ikke realistisk i det lange løp, da faktorer som begrenset areal, ressurser og migrasjon vil påvirke. Modellen er rimelig for \( t \)-verdier nær det observerte intervallet.

b)

Den momentane vekstraten er den deriverte av \( F \):

\[ F'(t) = a \cdot \ln(b) \cdot b^t \approx 821 \cdot \ln(1{,}051) \cdot 1{,}051^t \approx 40{,}8 \cdot 1{,}051^t \]

Vi løser \( F'(t) > 80 \):

\[ 40{,}8 \cdot 1{,}051^t > 80 \] \[ 1{,}051^t > \frac{80}{40{,}8} \approx 1{,}961 \] \[ t > \frac{\ln(1{,}961)}{\ln(1{,}051)} \approx \frac{0{,}674}{0{,}0497} \approx 13{,}5 \]

c)

Den gjennomsnittlige årlige veksten fra \( t = 0 \) til \( t \) er:

\[ \frac{F(t) - F(0)}{t} = \frac{a \cdot b^t - a}{t} = \frac{a(b^t - 1)}{t} > 80 \]

Vi løser \( \dfrac{821(1{,}051^t - 1)}{t} > 80 \) numerisk (med digitalt verktøy) og finner:

\[ t \approx 24{,}6 \]

Sjekk:

• \( t = 24 \): \( \dfrac{821(1{,}051^{24}-1)}{24} \approx \dfrac{821 \cdot 2{,}37}{24} \approx \dfrac{1946}{24} \approx 78{,}5 < 80 \)
• \( t = 25 \): \( \dfrac{821(1{,}051^{25}-1)}{25} \approx \dfrac{821 \cdot 2{,}49}{25} \approx \dfrac{2044}{25} \approx 81{,}8 > 80 \)

Oppgave 2 (4 poeng)

a)

For at \( f \) skal være kontinuerlig i \( x = -2 \), må venstregrensen og høyregrensen være like.

Venstregrense (bruker \( 2x - 2 \)):

\[ \lim_{x \to -2^-} (2x - 2) = 2(-2) - 2 = -6 \]

Høyregrense (bruker \( 2x^3 + 2x^2 - 4x \)):

\[ \lim_{x \to -2^+} (2x^3 + 2x^2 - 4x) = 2(-8) + 2(4) - 4(-2) = -16 + 8 + 8 = 0 \]

Siden \( -6 \neq 0 \), er grensene ulike.

b)

For at \( f \) skal være kontinuerlig i \( x = k \), må:

\[ \lim_{x \to k^-} (2x^3 + 2x^2 - 4x) = 4 \]

Vi setter inn \( x = k \):

\[ 2k^3 + 2k^2 - 4k = 4 \] \[ 2k^3 + 2k^2 - 4k - 4 = 0 \] \[ k^3 + k^2 - 2k - 2 = 0 \]

Vi faktoriserer ved gruppering:

\[ k^2(k + 1) - 2(k + 1) = 0 \] \[ (k + 1)(k^2 - 2) = 0 \]

Løsningene er \( k = -1 \), \( k = \sqrt{2} \) og \( k = -\sqrt{2} \).

Alle tre verdiene ligger i intervallet \( \langle -2, \to \rangle \), så alle er gyldige.

Oppgave 3 (6 poeng)

I alle posene er det 3 grønne, 8 gule og 7 røde drops, totalt 18.

a)

Vi trekker 2 drops uten tilbakelegging fra 18 drops:

\[ P(\text{2 gule}) = \frac{\binom{8}{2}}{\binom{18}{2}} = \frac{28}{153} \]

b)

Hun skal ha 1 grønn, 1 gul og 1 rød:

\[ P(\text{en av hver}) = \frac{\binom{3}{1} \cdot \binom{8}{1} \cdot \binom{7}{1}}{\binom{18}{3}} = \frac{3 \cdot 8 \cdot 7}{816} = \frac{168}{816} = \frac{7}{34} \]

c)

Sannsynlighetene for hver farge fra en pose med 18 drops:

• \( P(\text{grønn}) = \frac{3}{18} = \frac{1}{6} \)
• \( P(\text{gul}) = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \)
• \( P(\text{rød}) = \frac{7}{18} \)

Sannsynligheten for at alle tre får samme farge:

\[ P(\text{alle grønne}) + P(\text{alle gule}) + P(\text{alle røde}) \] \[ = \left(\frac{1}{6}\right)^3 + \left(\frac{4}{9}\right)^3 + \left(\frac{7}{18}\right)^3 \] \[ = \frac{1}{216} + \frac{64}{729} + \frac{343}{5832} \]

Vi finner fellesnevner 5832:

\[ = \frac{27}{5832} + \frac{512}{5832} + \frac{343}{5832} = \frac{882}{5832} = \frac{49}{324} \]

Oppgave 4 (4 poeng)

a)

Inntekten er \( I(x) = 100x \).

Overskuddet er:

\[ O(x) = I(x) - K(x) = 100x - (0{,}02x^2 + 60x + 12\,000) \] \[ O(x) = -0{,}02x^2 + 40x - 12\,000 \]

Vi deriverer og setter lik null:

\[ O'(x) = -0{,}04x + 40 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1000 \]

Siden \( O''(x) = -0{,}04 < 0 \), har vi et maksimum.

\[ O(1000) = -0{,}02 \cdot 1000^2 + 40 \cdot 1000 - 12\,000 \] \[ = -20\,000 + 40\,000 - 12\,000 = 8\,000 \]

b)

Med nye faste kostnader er kostnadsfunksjonen:

\[ K(x) = 0{,}02x^2 + 60x + 8\,000 \]

Ved \( x = 1000 \):

\[ K(1000) = 0{,}02 \cdot 1\,000\,000 + 60 \cdot 1000 + 8\,000 = 20\,000 + 60\,000 + 8\,000 = 88\,000 \]

Inntekten er \( I = p \cdot 1000 \), der \( p \) er prisen per enhet.

For å unngå underskudd: \( I \geq K \):

\[ 1000p \geq 88\,000 \] \[ p \geq 88 \]

Oppgave 5 (4 poeng)

a)

Vi beregner luktintensiteten for de målte ytterverdiene:

For \( C = 500 \):

\[ I = 1{,}4 \cdot \lg(500) - 0{,}3 = 1{,}4 \cdot 2{,}699 - 0{,}3 \approx 3{,}48 \]

For \( C = 1400 \):

\[ I = 1{,}4 \cdot \lg(1400) - 0{,}3 = 1{,}4 \cdot 3{,}146 - 0{,}3 \approx 4{,}10 \]

Ifølge tabellen:

• \( I \approx 3{,}48 \) tilsvarer «plagsom lukt, bør begrenses» (\( I \) mellom 3 og 4)
• \( I \approx 4{,}10 \) tilsvarer «plagsomt, tiltak kreves» (\( I > 4 \))

b)

Ifølge tabellen er luktintensiteten akseptabel når \( I \leq 2 \).

Vi løser \( I = 2 \):

\[ 1{,}4 \cdot \lg(C) - 0{,}3 = 2 \] \[ 1{,}4 \cdot \lg(C) = 2{,}3 \] \[ \lg(C) = \frac{2{,}3}{1{,}4} = \frac{23}{14} \approx 1{,}643 \] \[ C = 10^{23/14} \approx 43{,}9 \]

Oppgave 6 (4 poeng)

a)

Vi leser av programmet:

from random import randint

runder = 0
terninger = 100
while terninger > 0:
    for i in range(terninger):
        if randint(1,6) == 6:
            terninger = terninger + 3
        else:
            terninger = terninger - 1
    runder = runder + 1

print(runder)

Reglene for spillet:

b)

Vi analyserer hva som skjer i en runde. Dersom Ola har \( n \) terninger ved starten av en runde, og \( s \) av dem viser 6, blir antall terninger etter runden:

\[ n_{\text{ny}} = n + 3s - (n - s) = 4s \]

Her er \( s \) antall 6-ere, som er binomisk fordelt: \( s \sim \text{Bin}\!\left(n, \frac{1}{6}\right) \).

Forventet antall terninger etter en runde:

\[ E[n_{\text{ny}}] = 4 \cdot E[s] = 4 \cdot \frac{n}{6} = \frac{2n}{3} \]

Forventet antall terninger reduseres med faktoren \( \frac{2}{3} \) per runde. Etter \( k \) runder (i gjennomsnitt):

\[ E[n_k] \approx 100 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^k \]

Vi kan bruke simulering for å finne et mer presist svar. Her er et simuleringsprogram:

from random import randint

antall_spill = 100000
sum_runder = 0

for _ in range(antall_spill):
    terninger = 100
    runder = 0
    while terninger > 0:
        sixes = sum(1 for _ in range(terninger)
                    if randint(1,6) == 6)
        terninger = 4 * sixes
        runder += 1
    sum_runder += runder

print(sum_runder / antall_spill)

Simulering med 100 000 gjennomkjøringer gir: