Løsningsforslag – Matematikk S1 Vår 2023

Oppgave 1

Vi forenkler teller og nevner hver for seg.

Teller:

Vi bruker potensregelen \((xy)^n = x^n y^n\) og \((x^m)^n = x^{mn}\):

\[\left(2ab^{-1}\right)^3 = 2^3 \cdot a^3 \cdot b^{-3} = 8a^3 b^{-3}\] \[\left(a^2 b^{-2}\right)^{-1} = a^{-2} b^{2}\]

Produktet i telleren blir:

\[8a^3 b^{-3} \cdot a^{-2} b^{2} = 8a^{3+(-2)} \cdot b^{-3+2} = 8a\,b^{-1}\]

Hele brøken:

\[\frac{8a\,b^{-1}}{4a^2 b^{-3}} = \frac{8}{4} \cdot a^{1-2} \cdot b^{-1-(-3)} = 2 \cdot a^{-1} \cdot b^{2}\]

Oppgave 2

Vi bruker produktregelen: \((u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\).

Her er \(u = x\) og \(v = \ln x\), slik at \(u' = 1\) og \(v' = \dfrac{1}{x}\).

\[f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1\]

Oppgave 3

Direkte innsetting gir \(\frac{0}{0}\), så vi må faktorisere.

Vi bruker tredjegrads- og andregradsformlene:

\[x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)\] \[x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\]

Da kan vi forkorte:

\[\frac{x^3 - 8}{x^2 - 4} = \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x^2 + 2x + 4}{x+2}\]

Nå setter vi inn \(x = 2\):

\[\frac{2^2 + 2 \cdot 2 + 4}{2+2} = \frac{4+4+4}{4} = \frac{12}{4} = 3\]

Oppgave 4

Totalt er det \(4 + 3 = 7\) kuler, og vi trekker 3. Antall mulige utfall er:

\[\binom{7}{3} = 35\]

a)

Vi skal ha nøyaktig 2 svarte og 1 hvit kule:

\[P(\text{2 svarte}) = \frac{\binom{3}{2} \cdot \binom{4}{1}}{\binom{7}{3}} = \frac{3 \cdot 4}{35} = \frac{12}{35}\]

b)

Minst to hvite betyr enten nøyaktig 2 hvite eller 3 hvite:

\[P(\text{2 hvite}) = \frac{\binom{4}{2} \cdot \binom{3}{1}}{\binom{7}{3}} = \frac{6 \cdot 3}{35} = \frac{18}{35}\] \[P(\text{3 hvite}) = \frac{\binom{4}{3} \cdot \binom{3}{0}}{\binom{7}{3}} = \frac{4 \cdot 1}{35} = \frac{4}{35}\] \[P(\text{minst 2 hvite}) = \frac{18}{35} + \frac{4}{35} = \frac{22}{35}\]

Oppgave 5

Analyse av programmet:

def K(x):
    return 0.2*x**2 + 140*x + 7000

v = 260
h = 0.0001
x = 0

while (K(x + h) - K(x))/h < v:
    x = x + 1

print(x)
    

Uttrykket \(\dfrac{K(x+h) - K(x)}{h}\) med \(h = 0{,}0001\) er en numerisk tilnærming til den deriverte \(K'(x)\).

Den deriverte av kostnadsfunksjonen er:

\[K'(x) = 0{,}4x + 140\]

Dette er grensekostnaden (marginalkostnaden), altså kostnaden for å produsere én enhet til.

Variabelen \(v = 260\) representerer salgsprisen per enhet. Programmet teller opp \(x\) helt til grensekostnaden \(K'(x)\) ikke lenger er mindre enn salgsprisen 260 kroner.

Vi finner dette analytisk:

\[K'(x) = 260 \quad \Rightarrow \quad 0{,}4x + 140 = 260 \quad \Rightarrow \quad 0{,}4x = 120 \quad \Rightarrow \quad x = 300\]

Oppgave 1

a)

Timelønnen var 272,55 kr i 2008 og 340,10 kr i 2022, altså 14 år.

Vi setter opp likningen for gjennomsnittlig vekstfaktor \(k\):

\[272{,}55 \cdot k^{14} = 340{,}10\] \[k^{14} = \frac{340{,}10}{272{,}55} \approx 1{,}2479\] \[k = 1{,}2479^{1/14} \approx 1{,}0159\]

b)

Vi bruker eksponentiell regresjon (digitalt verktøy) med datapunktene fra tabellen, der \(x\) er antall år etter 2008.

\(x\)	0	2	5	7	11	14
Timelønn	272,55	285,50	307,30	314,00	327,60	340,10

Eksponentiell regresjon gir:

c)

Begge jobber 1700 timer per år i perioden 2008–2022 (15 år, \(t = 0, 1, 2, \ldots, 14\)).

Amalie: Timelønnen øker med 2,3 % per år. Timelønnen i år \(t\) er \(272{,}55 \cdot 1{,}023^t\).

Samlet lønn er:

\[\text{Lønn}_{\text{Amalie}} = 1700 \cdot 272{,}55 \cdot \sum_{t=0}^{14} 1{,}023^t\]

Geometrisk rekke: \(\displaystyle\sum_{t=0}^{14} 1{,}023^t = \frac{1{,}023^{15}-1}{1{,}023-1} = \frac{1{,}023^{15}-1}{0{,}023}\)

\[1{,}023^{15} \approx 1{,}4065\] \[\sum_{t=0}^{14} 1{,}023^t \approx \frac{1{,}4065 - 1}{0{,}023} \approx 17{,}674\] \[\text{Lønn}_{\text{Amalie}} \approx 1700 \cdot 272{,}55 \cdot 17{,}674 \approx 8\,188\,600 \text{ kr}\]

Per: Per har lønnsutvikling tilsvarende modellen fra oppgave b). Timelønnen i år \(t\) er \(g(t) = 277{,}83 \cdot 1{,}0155^t\).

\[\text{Lønn}_{\text{Per}} = 1700 \cdot 277{,}83 \cdot \sum_{t=0}^{14} 1{,}0155^t\] \[\sum_{t=0}^{14} 1{,}0155^t = \frac{1{,}0155^{15}-1}{0{,}0155} \approx \frac{1{,}2598-1}{0{,}0155} \approx 16{,}761\] \[\text{Lønn}_{\text{Per}} \approx 1700 \cdot 277{,}83 \cdot 16{,}761 \approx 7\,905\,100 \text{ kr}\]

d)

Pers timelønn i 2022 var 340,10 kr (fra tabellen). Fagforeningen krever at han i 2025 (3 år senere) skal ha samme timelønn som Amalie.

Amalies timelønn i 2025 (\(t = 17\)):

\[272{,}55 \cdot 1{,}023^{17} \approx 272{,}55 \cdot 1{,}4717 \approx 401{,}17 \text{ kr}\]

Vi lar \(p\) være den årlige vekstfaktoren Per trenger fra 2022 til 2025:

\[340{,}10 \cdot p^3 = 401{,}17\] \[p^3 = \frac{401{,}17}{340{,}10} \approx 1{,}1797\] \[p = 1{,}1797^{1/3} \approx 1{,}0566\]

Oppgave 2

a)

Påstand: Hvis \(x > 0\), så er \((\ln x)^4 = 4 \ln x\).

Vi sjekker med et moteksempel. La \(x = e\):

\[(\ln e)^4 = 1^4 = 1\] \[4 \ln e = 4 \cdot 1 = 4\]

Vi ser at \(1 \neq 4\), så påstanden stemmer ikke generelt.

Kommentar: Påstanden forveksler \((\ln x)^4\) med \(\ln(x^4)\). Det er \(\ln(x^4) = 4 \ln x\) som gjelder (logaritmeregel), men \((\ln x)^4 \neq 4 \ln x\) generelt.

b)

Påstand: Alle fjerdegradsfunksjoner må ha minst ett ekstremalpunkt.

En fjerdegradsfunksjon har formen \(f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\) der \(a \neq 0\).

Den deriverte er:

\[f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d\]

Dette er et tredjegradspolynom. Ethvert tredjegradspolynom med reelle koeffisienter har minst ett reelt nullpunkt (fordi graden er odde og \(f'(x) \to +\infty\) for \(x \to +\infty\) og \(f'(x) \to -\infty\) for \(x \to -\infty\), eller omvendt).

Dermed har \(f'(x) = 0\) minst en løsning, og siden \(f(x) \to +\infty\) for \(x \to \pm\infty\) (når \(a > 0\)), må dette nullpunktet gi et ekstremalpunkt (minimum).

c)

Påstand: Sannsynligheten for at alle 7 tall er mindre enn 18 er like stor som sannsynligheten for at ingen av dem er mindre enn 18.

Tallene som er mindre enn 18 er: 1, 2, 3, ..., 17. Det er 17 tall.

Tallene som ikke er mindre enn 18 er: 18, 19, 20, ..., 34. Det er også 17 tall.

Sannsynligheten for at alle 7 er mindre enn 18:

\[P(\text{alle} < 18) = \frac{\binom{17}{7}}{\binom{34}{7}}\]

Sannsynligheten for at ingen er mindre enn 18 (alle \(\geq 18\)):

\[P(\text{ingen} < 18) = \frac{\binom{17}{7}}{\binom{34}{7}}\]

Siden det er nøyaktig 17 tall i begge grupper, blir de to sannsynlighetene identiske.

Oppgave 3

a)

Monas program:

g = 0
for i in range(1, 7):
    for j in range(1, 7):
        if i+j >= 8:
            g = g + 1

print(g/36)
    

Programmet går gjennom alle mulige utfall når to terninger kastes (\(i\) og \(j\) går fra 1 til 6). Variabelen \(g\) teller antall gunstige utfall der \(i + j \geq 8\), og 36 er det totale antall mulige utfall.

Vi teller opp: Sum \(\geq 8\) oppnås med følgende kombinasjoner:

• Sum 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) — 5 utfall
• Sum 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) — 4 utfall
• Sum 10: (4,6), (5,5), (6,4) — 3 utfall
• Sum 11: (5,6), (6,5) — 2 utfall
• Sum 12: (6,6) — 1 utfall

Totalt: \(5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15\) gunstige utfall.

b)

Vi lager et program som teller antall utfall der summen av tre terninger er 7 eller 11:

g = 0
for i in range(1, 7):
    for j in range(1, 7):
        for k in range(1, 7):
            if i + j + k == 7 or i + j + k == 11:
                g = g + 1

print(g / 216)
    

Totalt antall mulige utfall med tre terninger er \(6^3 = 216\).

Programmet gir \(g = 42\) gunstige utfall.

Oppgave 4

Vi leser av grafen at linjen går gjennom punktene \((0,\; 4500)\) og \((75,\; 0)\).

Stigningstallet er:

\[a = \frac{0 - 4500}{75 - 0} = -60\]

Etterspørselsfunksjonen blir dermed:

\[e(p) = -60p + 4500\]

Inntektsfunksjonen er \(I(p) = p \cdot e(p)\):

\[I(p) = p(-60p + 4500) = -60p^2 + 4500p\]

a)

For \(p = 40\):

\[e(40) = -60 \cdot 40 + 4500 = -2400 + 4500 = 2100\] \[I(40) = 40 \cdot 2100 = 84\,000\]

b)

Vi setter \(I(p) = 75\,000\):

\[-60p^2 + 4500p = 75\,000\] \[60p^2 - 4500p + 75\,000 = 0\]

Vi deler på 60:

\[p^2 - 75p + 1250 = 0\]

Abc-formelen gir:

\[p = \frac{75 \pm \sqrt{75^2 - 4 \cdot 1250}}{2} = \frac{75 \pm \sqrt{5625 - 5000}}{2} = \frac{75 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{75 \pm 25}{2}\] \[p = 50 \quad \text{eller} \quad p = 25\]

c)

Vi deriverer inntektsfunksjonen og setter den lik null:

\[I'(p) = -120p + 4500 = 0\] \[p = \frac{4500}{120} = 37{,}5\]

Siden \(I''(p) = -120 < 0\), er dette et toppunkt.

\[I(37{,}5) = 37{,}5 \cdot (-60 \cdot 37{,}5 + 4500) = 37{,}5 \cdot 2250 = 84\,375\]

Oppgave 5

a)

La \(X\) = antall billetter som blir benyttet. Da er \(X\) binomisk fordelt med \(n = 1300\) og \(p = 0{,}45\):

\[X \sim \text{Bin}(1300,\; 0{,}45)\]

Vi bruker normalapproksimasjon. Forventningsverdi og standardavvik:

\[\mu = np = 1300 \cdot 0{,}45 = 585\] \[\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{1300 \cdot 0{,}45 \cdot 0{,}55} = \sqrt{321{,}75} \approx 17{,}94\]

Vi bruker digitalt verktøy (normalfordeling) til å beregne:

\[P(X \geq 600) = 1 - P(X \leq 599)\]

Med normalapproksimasjon:

\[P(X \geq 600) = P\!\left(Z \geq \frac{600 - 585}{17{,}94}\right) = P(Z \geq 0{,}836) \approx 0{,}20\]

b)

Vi skal finne minste \(n\) slik at \(P(X \geq 600) > 0{,}95\), der \(X \sim \text{Bin}(n, \;0{,}45)\).

Med normalapproksimasjon: \(\mu = 0{,}45n\), \(\sigma = \sqrt{0{,}2475n}\).

Vi krever:

\[P(X \geq 600) > 0{,}95 \quad \Leftrightarrow \quad P(X < 600) < 0{,}05\] \[\frac{600 - 0{,}45n}{\sqrt{0{,}2475n}} < -1{,}645\]

Vi bruker digitalt verktøy og prøver oss fram:

Vi bruker binomialfordelingen \(X \sim \text{Bin}(n, 0{,}45)\) direkte med CAS:

\(n\)	\(\mu\)	\(\sigma\)	\(P(X \geq 600)\)
1399	629,55	18,61	0,9471
1400	630,00	18,61	0,9495
1401	630,45	18,62	0,9519

Oppgave 6

a)

Vi setter \(L = 130\):

\[130 = 120 + 10 \cdot \lg I\] \[10 = 10 \cdot \lg I\] \[\lg I = 1\] \[I = 10^1 = 10\]

b)

La \(I_1\) og \(I_2\) være lydintensitetene før og etter økning, med tilhørende lydstyrker \(L_1\) og \(L_2 = L_1 + 2\).

\[L_2 - L_1 = 10 \cdot \lg I_2 - 10 \cdot \lg I_1 = 10 \cdot \lg \frac{I_2}{I_1}\] \[2 = 10 \cdot \lg \frac{I_2}{I_1}\] \[\lg \frac{I_2}{I_1} = 0{,}2\] \[\frac{I_2}{I_1} = 10^{0{,}2} \approx 1{,}585\]

c)

Først finner vi effekten \(E\) til flyet. Ved \(r = 50\) m er \(L = 140\) dB:

\[140 = 120 + 10 \cdot \lg I \quad \Rightarrow \quad \lg I = 2 \quad \Rightarrow \quad I = 100 \text{ W/m}^2\]

Vi bruker formelen \(I = \dfrac{E}{4\pi r^2}\) med \(r = 50\) og \(I = 100\):

\[100 = \frac{E}{4\pi \cdot 50^2} = \frac{E}{10\,000\pi}\] \[E = 1\,000\,000\pi \text{ W}\]

Nå finner vi \(r\) slik at \(L = 130\) dB, dvs. \(I = 10\) W/m\(^2\) (fra oppgave a):

\[10 = \frac{1\,000\,000\pi}{4\pi r^2} = \frac{250\,000}{r^2}\] \[r^2 = 25\,000\] \[r = \sqrt{25\,000} = 50\sqrt{10} \approx 158{,}1 \text{ m}\]