Løsningsforslag – Matematikk R1 Vår 2022

Oppgave 1

a)

Vi deriverer ledd for ledd. Vi bruker at den deriverte av \( x^3 \) er \( 3x^2 \) og at den deriverte av \( \ln x \) er \( \frac{1}{x} \).

b)

Her har vi et produkt av to funksjoner, så vi bruker produktregelen: \( (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \).

Vi setter \( u = x \) og \( v = e^{2x} \), som gir \( u' = 1 \) og \( v' = 2e^{2x} \) (kjerneregelen).

Vi faktoriserer:

Oppgave 2

Vi gjør substitusjon \( u = e^x \). Siden \( e^{2x} = (e^x)^2 = u^2 \), blir likningen:

Vi faktoriserer:

Dette gir \( u = 2 \) eller \( u = -1 \).

Vi substituerer tilbake:

• \( e^x = 2 \implies x = \ln 2 \)
• \( e^x = -1 \) har ingen løsning, siden \( e^x > 0 \) for alle \( x \).

Oppgave 3

Hvis vi setter inn \( x = 3 \) direkte, får vi \( \frac{0}{0} \), som er en ubestemt form. Vi må derfor forenkle uttrykket.

Vi faktoriserer nevneren. Vi leter etter to tall som multiplisert gir \( -12 \) og addert gir \( 1 \). Det er \( 4 \) og \( -3 \):

Nå kan vi forkorte:

Grenseverdien blir:

Oppgave 4

a)

Vi finner vektorene \( \vec{AB} \) og \( \vec{AC} \):

For at \( \angle BAC = 90° \) må \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 \):

b)

For at de tre punktene skal ligge på en rett linje, må vektorene \( \vec{AB} \) og \( \vec{AC} \) være parallelle. To vektorer er parallelle dersom kryssproduktet (determinanten) er null.

Oppgave 5

a)

Programmet definerer funksjonen \( f(x) = \frac{x}{1 + x^2} \).

Deretter starter programmet med \( x = 0 \) og en steglengde \( h = 0{,}001 \). While-løkken øker \( x \) med \( h \) så lenge funksjonsverdien er stigende, det vil si så lenge \( f(x) \leq f(x + h) \).

Løkken stopper når \( f(x) > f(x + h) \), altså når funksjonen begynner å avta. Deretter skrives verdien av \( x \) ut.

b)

Vi finner toppunktet ved å derivere \( f(x) = \frac{x}{1 + x^2} \) og sette den deriverte lik null.

Vi bruker kvotientregelen: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \), med \( u = x \) og \( v = 1 + x^2 \):

Vi setter \( f'(x) = 0 \):

Nevneren er alltid positiv, så vi trenger bare å løse telleren lik null:

Siden programmet starter i \( x = 0 \) og beveger seg mot høyre, vil programmet finne \( x = 1 \).

Vi kan verifisere at dette er et toppunkt: For \( x < 1 \) er \( f'(x) > 0 \) (stigende), og for \( x > 1 \) er \( f'(x) < 0 \) (synkende).

Oppgave 1

a)

For at \( f \) skal være kontinuerlig i \( x = 2 \), må grenseverdien fra venstre og fra høyre være like, og lik funksjonsverdien i \( x = 2 \).

Grenseverdi fra venstre (\( x < 2 \)):

Funksjonsverdi fra høyre (\( x \geq 2 \)):

For kontinuitet krever vi:

Med \( t = -3 \) får vi \( f(x) = x - (-3) = x + 3 \) for \( x \geq 2 \), og \( f(2) = 5 \), som stemmer med grenseverdien fra venstre.

b)

For at \( f \) skal være deriverbar i \( x = 2 \), må den deriverte fra venstre og fra høyre være like.

Derivert fra venstre (\( f(x) = x^2 + 1 \)):

Derivert fra høyre (\( f(x) = x + 3 \)):

Siden \( f'(2^-) = 4 \neq 1 = f'(2^+) \), er den deriverte fra venstre og fra høyre ulike.

Oppgave 2

a)

Vi bruker at \( |\vec{u}|^2 = \vec{u} \cdot \vec{u} \).

Lengden av \( \vec{u} \):

Lengden av \( \vec{v} \):

b)

Vi bruker formelen \( \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} \).

Først beregner vi skalarproduktet:

Nå finner vi vinkelen:

Oppgave 3

For at \( f \) skal ha en omvendt funksjon (invers), må \( f \) være strengt monoton (enten strengt stigende eller strengt synkende) på intervallet \( I \).

Vi deriverer:

Vi finner nullpunktene til den deriverte:

Vi undersøker fortegnet til \( f'(x) \):

• For \( x < -\sqrt{2} \): \( f'(x) > 0 \) (stigende)
• For \( -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \): \( f'(x) < 0 \) (synkende)
• For \( x > \sqrt{2} \): \( f'(x) > 0 \) (stigende)

Siden \( 1 \in I \) og \( 1 \) ligger i intervallet \( (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \), der \( f \) er strengt synkende, er det største intervallet der \( f \) er strengt monoton og som inneholder \( 1 \):

Oppgave 4

Vi har \( T_0 = 22 \). Vi setter opp to likninger basert på de oppgitte verdiene.

Ved \( t = 0 \), \( T = 82 \):

Ved \( t = 2 \), \( T = 66 \):

Finn \( t \) når \( T = 40 \):

Vi beregner numerisk:

Oppgave 5

a)

Algoritme:

1. Beregn lengdene av de tre sidene i trekanten ved hjelp av avstandsformelen:
   • \( AB = \sqrt{(c-a)^2 + (d-b)^2} \)
   • \( BC = \sqrt{(e-c)^2 + (f-d)^2} \)
   • \( AC = \sqrt{(e-a)^2 + (f-b)^2} \)
2. Beregn kvadratene av sidelengdene: \( AB^2 \), \( BC^2 \) og \( AC^2 \).
3. Finn den lengste siden (den med størst kvadrat).
4. Sjekk om Pytagoras' setning er oppfylt: Summen av kvadratene av de to korteste sidene skal være lik kvadratet av den lengste siden.
5. Hvis likheten holder, er trekanten rettvinklet. Ellers er den ikke rettvinklet.

b)

a = float(input("a: "))
b = float(input("b: "))
c = float(input("c: "))
d = float(input("d: "))
e = float(input("e: "))
f = float(input("f: "))

AB2 = (c - a)**2 + (d - b)**2
BC2 = (e - c)**2 + (f - d)**2
AC2 = (e - a)**2 + (f - b)**2

sider = sorted([AB2, BC2, AC2])

if abs(sider[0] + sider[1] - sider[2]) < 1e-9:
    print("Punktene danner en rettvinklet trekant.")
else:
    print("Punktene danner ikke en rettvinklet trekant.")

Oppgave 6

Trekanten \( ABP \) har grunnlinje \( AB \) langs \( x \)-aksen og høyde lik \( |g(s)| \).

Grunnlinjen er:

Høyden er \( |g(s)| \). Vi må undersøke fortegnet til \( g(s) \) på \( \langle 1, 5 \rangle \).

Vi faktoriserer \( g(x) \). Vi sjekker at \( g(1) = 1 - 3 - 13 + 15 = 0 \), så \( (x - 1) \) er en faktor:

For \( s \in \langle 1, 5 \rangle \): \( (s - 1) > 0 \), \( (s - 5) < 0 \), \( (s + 3) > 0 \), altså \( g(s) < 0 \).

Arealet av trekanten er:

Siden \( g(s) < 0 \) på intervallet, er \( |g(s)| = -g(s) \):

Vi kan forenkle. La \( T(s) = -(s-1)^2(s-5)(s+3) \), slik at \( A(s) = \frac{1}{2}T(s) \).

Vi utvider produktet \( (s-5)(s+3) = s^2 - 2s - 15 \), og dermed:

Vi deriverer \( A(s) \) og setter \( A'(s) = 0 \). Det er enklere å derivere \( T(s) \) med produktregelen.

La \( u = (s-1)^2 \) og \( w = (s-5)(s+3) = s^2 - 2s - 15 \), slik at \( T(s) = -u \cdot w \).

Vi har \( u' = 2(s-1) \) og \( w' = 2s - 2 = 2(s-1) \).

Vi setter \( T'(s) = 0 \). Siden \( s \in \langle 1, 5 \rangle \) og \( s \neq 1 \), trenger vi:

Vi bruker abc-formelen:

Vi har to løsninger: \( s = 1 + 2\sqrt{2} \approx 3{,}83 \) og \( s = 1 - 2\sqrt{2} \approx -1{,}83 \).

Bare \( s = 1 + 2\sqrt{2} \) ligger i intervallet \( \langle 1, 5 \rangle \).

Beregning av arealet:

Vi beregner \( g(1 + 2\sqrt{2}) \):

Med \( s = 1 + 2\sqrt{2} \):

Vi beregner \( (2\sqrt{2} - 4)(4 + 2\sqrt{2}) \). Vi bruker konjugatsetningen (med \( a = 2\sqrt{2}, b = 4 \)):

Altså: \( g(s) = 2\sqrt{2} \cdot (-8) = -16\sqrt{2} \).

Arealet:

Oppgave 7

a)

Banefarten (farten) er lengden av hastighetsvektoren. Hastighetsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren:

Banefarten er:

b)

Piraten er i \( (2, 4) \) ved \( t = 0 \). For at båtene skal møtes, må \( \vec{r}_1(t) = \vec{r}_2(t) \) for en verdi \( t \geq 0 \):

Fra første likning:

Sjekk med andre likning:

Siden \( 24 \neq -12 \), gir de to likningene ulike verdier for \( t = 1 \).

c)

Vi må først finne ut når piraten er i punktet \( (8, 9) \):

Vi sjekker \( y \)-koordinaten: \( 4 + 20 \cdot \frac{1}{4} = 4 + 5 = 9 \). Stemmer.

Politibåten må altså reise fra \( (0, 10) \) til \( (8, 9) \) på \( t = \frac{1}{4} \) time.

Avstanden mellom \( (0, 10) \) og \( (8, 9) \) er:

Banefarten er:

Oppgave 8

a)

Vi setter \( f(x) = g(x) \):

Dette gir \( x = 0 \) (dobbeltrot) og \( x = 3 \) (enkelrot).

Tangering i \( x = 0 \): Dobbeltrot betyr at grafene tangerer hverandre. Vi verifiserer at stigningstallene er like:

Stigningstallene er like i \( x = 0 \), og begge funksjoner gir \( y = 3 \) i dette punktet. Altså tangerer grafene hverandre i \( (0, 3) \).

Skjæring i \( x = 3 \): Enkelrot betyr at grafene krysser hverandre. Vi sjekker stigningstallene:

Stigningstallene er ulike (\( 20 \neq 2 \)), så grafene skjærer hverandre (uten å tangere) i \( (3, 9) \).

b)

Vi setter \( F(x) = G(x) \):

Dette gir \( x = 0 \) (dobbeltrot) og \( x = -\frac{b}{a} \) (forutsatt at \( a \neq 0 \)).

Dobbeltrot i \( x = 0 \) betyr at grafene tangerer hverandre i dette punktet. Vi verifiserer:

Stigningstallene er like i \( x = 0 \), og \( F(0) = d = G(0) \).

c)

Vendepunktet til \( F \):

Vi deriverer to ganger:

Vendepunkt der \( F''(x) = 0 \):

Skjæringspunktet (ikke tangeringspunktet):

Fra oppgave b) fant vi at grafene skjærer hverandre i \( x = -\frac{b}{a} \).

Sammenhengen:

Vi kan også verifisere med det konkrete eksempelet fra oppgave a): \( a = 2, b = -6 \).

• Vendepunkt: \( x = -\frac{-6}{3 \cdot 2} = 1 \)
• Skjæringspunkt: \( x = -\frac{-6}{2} = 3 \)
• Og \( 1 = \frac{1}{3} \cdot 3 \). Stemmer!