VG2
Løsningsforslag Matematikk R1Vår 2024
PDF Løsningsforslag
Bidrag fra OpenMath
Løsningsforslag – Matematikk R1 Vår 2024
Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no.
Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.
Del 1 – Uten hjelpemidler
Del 1 – Oppgave 1 (2 poeng)
Deriver funksjonen \( f(x) = 4x^2 \cdot \ln(3x) \).
Vi bruker produktregelen: \( (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \).
Vi setter:
\[ u = 4x^2 \quad \Rightarrow \quad u' = 8x \]
\[ v = \ln(3x) \quad \Rightarrow \quad v' = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x} \]
Derivasjonen av \( v = \ln(3x) \) følger av kjerneregelen. Alternativt kan vi skrive \( \ln(3x) = \ln 3 + \ln x \), slik at \( v' = \frac{1}{x} \).
Da får vi:
\[
f'(x) = 8x \cdot \ln(3x) + 4x^2 \cdot \frac{1}{x} = 8x\ln(3x) + 4x
\]
\[ f'(x) = 8x\ln(3x) + 4x \]
Vanlig feil: Mange glemmer å bruke produktregelen og deriverer i stedet hvert ledd for seg, dvs. skriver \( (u \cdot v)' = u' \cdot v' \). Husk at produktregelen krever \( (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \). Denne feilen fører ofte til at svaret mangler ett av de to leddene, og det endelige uttrykket blir feil.
Del 1 – Oppgave 2 (2 poeng)
Løs likningen \( (\ln x)^2 - \ln x = 6 \).
Vi innfører substitusjonen \( u = \ln x \). Da blir likningen:
\[ u^2 - u = 6 \]
\[ u^2 - u - 6 = 0 \]
Vi bruker abc-formelen (eller faktoriserer):
\[ (u - 3)(u + 2) = 0 \]
Dette gir \( u = 3 \) eller \( u = -2 \).
Vi substituerer tilbake:
For \( u = 3 \):
\[ \ln x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = e^3 \]
For \( u = -2 \):
\[ \ln x = -2 \quad \Rightarrow \quad x = e^{-2} = \frac{1}{e^2} \]
\[ x = e^3 \quad \text{eller} \quad x = e^{-2} \]
Vanlig feil: Ved substitusjon (f.eks. \( u = e^x \) eller \( u = \lg x \)) glemmer mange å sjekke hvilke verdier den nye variabelen kan ta. Siden \( e^x > 0 \) alltid, må man forkaste negative løsninger for \( u \) ved tilbakesubstitusjon. Tilsvarende kan \( 10^x \) aldri bli negativt.
Del 1 – Oppgave 3 (2 poeng)
Funksjonen \( f \) er gitt ved \( f(x) = e^{-x+1} \), \( D_f = \mathbb{R} \). Bestem grenseverdiene
\( \displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) \) og \( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) \) dersom de eksisterer.
Vi kan skrive \( f(x) = e^{-x+1} = e^{-(x-1)} \).
Når \( x \to \infty \):
Da går eksponenten \( -x + 1 \to -\infty \), og vi vet at \( e^u \to 0 \) når \( u \to -\infty \).
\[ \lim_{x \to \infty} e^{-x+1} = 0 \]
Når \( x \to -\infty \):
Da går eksponenten \( -x + 1 \to \infty \), og \( e^u \to \infty \) når \( u \to \infty \).
\[ \lim_{x \to -\infty} e^{-x+1} = \infty \]
Grenseverdien eksisterer altså ikke (den er uendelig).
\[ \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 \qquad \text{og} \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty \text{ (eksisterer ikke som endelig verdi)} \]
Vanlig feil: Når telleren nærmer seg en verdi ulik null mens nevneren nærmer seg null, divergerer brøken mot \( \pm\infty \). Mange forveksler dette med formen \( \frac{0}{0} \), der man kan forkorte. Her kan man ikke forkorte, og grenseverdien eksisterer ikke som et endelig tall.
Del 1 – Oppgave 4a (2 poeng)
Vi har gitt tre punkter \( A(3, 4) \), \( B(-1, -2) \) og \( C(3+t, \, 2t) \) der \( t \in \mathbb{R} \).
a) Bestem \( t \) slik at punktene \( A \), \( B \) og \( C \) ligger på en rett linje.
a) Bestem \( t \) slik at punktene \( A \), \( B \) og \( C \) ligger på en rett linje.
Vi finner vektorene \( \vec{AB} \) og \( \vec{AC} \):
\[ \vec{AB} = B - A = (-1 - 3, \, -2 - 4) = (-4, \, -6) \]
\[ \vec{AC} = C - A = (3 + t - 3, \, 2t - 4) = (t, \, 2t - 4) \]
For at \( A \), \( B \) og \( C \) skal ligge på en rett linje, må \( \vec{AB} \) og \( \vec{AC} \) være parallelle. Det betyr at kryssproduktet (determinanten) må være null:
\[
\vec{AB} \times \vec{AC} = (-4)(2t - 4) - (-6)(t) = 0
\]
\[
-8t + 16 + 6t = 0
\]
\[
-2t + 16 = 0
\]
\[
t = 8
\]
\( t = 8 \), slik at \( C = (11, 16) \).
Del 1 – Oppgave 4b (2 poeng)
b) Bestem \( t \) slik at punktene \( A \), \( B \) og \( C \) danner en trekant slik at \( \angle C = 90° \).
For at \( \angle C = 90° \), må vektorene \( \vec{CA} \) og \( \vec{CB} \) stå vinkelrett på hverandre, dvs. skalarproduktet må være null.
\[ \vec{CA} = A - C = (3 - (3+t), \, 4 - 2t) = (-t, \, 4 - 2t) \]
\[ \vec{CB} = B - C = (-1 - (3+t), \, -2 - 2t) = (-4 - t, \, -2 - 2t) \]
Vi setter skalarproduktet lik null:
\[
\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-t)(-4 - t) + (4 - 2t)(-2 - 2t) = 0
\]
\[
(4t + t^2) + (-8 - 8t + 4t + 4t^2) = 0
\]
\[
4t + t^2 - 8 - 4t + 4t^2 = 0
\]
\[
5t^2 - 8 = 0
\]
\[
t^2 = \frac{8}{5}
\]
\[
t = \pm\sqrt{\frac{8}{5}} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \pm\frac{2\sqrt{10}}{5}
\]
Vi må sjekke at disse verdiene ikke gir at punktene ligger på linje (vi fant at det skjer for \( t = 8 \), så det er greit).
\[ t = \frac{2\sqrt{10}}{5} \quad \text{eller} \quad t = -\frac{2\sqrt{10}}{5} \]
Vanlig feil: Mange forveksler betingelsen for parallelle vektorer med betingelsen for vinkelrette vektorer. Skalarproduktet \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \) betyr at vektorene er vinkelrette, ikke parallelle. Parallellitet krever at den ene vektoren er et skalarmultiplum av den andre, dvs. at kryssproduktet (determinanten i 2D) er null.
Del 1 – Oppgave 5 (2 poeng)
En funksjon \( f \) er definert ved
\[
f(x) = \begin{cases} x, & 0 \le x \le 2 \\ 5 - x, & 2 < x \le 5 \end{cases}
\]
Gi funksjonen \( f \) en ny definisjonsmengde slik at:
- \( f \) skal være kontinuerlig.
- Den nye definisjonsmengden skal være så stor som mulig.
- Verdimengden til \( f \) skal være uendret.
Verdimengden til den opprinnelige funksjonen:
- På \([0, 2]\): \( f(x) = x \) gir verdier i \([0, 2]\).
- På \((2, 5]\): \( f(x) = 5 - x \) gir verdier i \([0, 3)\).
Samlet verdimengde: \( V_f = [0, 2] \cup [0, 3) = [0, 3) \).
Undersøkelse av kontinuitet:
Vi sjekker om funksjonen er kontinuerlig i \( x = 2 \):
\[
\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2, \quad f(2) = 2, \quad \lim_{x \to 2^+} f(x) = 5 - 2 = 3
\]
Siden \( f(2) = 2 \ne 3 = \lim_{x \to 2^+} f(x) \), er funksjonen ikke kontinuerlig i \( x = 2 \). Uansett hvordan vi definerer \( f(2) \), vil det bli et hopp mellom verdiene 2 og 3 i dette punktet. Funksjonen kan altså ikke gjøres kontinuerlig på hele \([0, 5]\).
Ny definisjonsmengde:
Vi fjerner punktet \( x = 2 \) fra definisjonsmengden. Da er \( f \) kontinuerlig på hvert av de to åpne/halvåpne intervallene, og det er ingen diskontinuitet (fordi \( x = 2 \) ikke er med).
Vi sjekker at verdimengden er uendret med \( D_f = [0, 2) \cup (2, 5] \):
- \( x \in [0, 2) \): \( f(x) = x \) gir verdier i \([0, 2)\).
- \( x \in (2, 5] \): \( f(x) = 5-x \) gir verdier i \([0, 3)\).
Samlet verdimengde: \([0, 2) \cup [0, 3) = [0, 3)\). Verdien \( f = 2 \) oppnås fortsatt, for eksempel ved \( f(3) = 5-3 = 2 \). Verdimengden er uendret.
Kan vi legge til flere punkter? Nei, det eneste punktet vi har fjernet er \( x = 2 \), og å inkludere \( x = 2 \) gir diskontinuitet uansett. Dermed er \([0, 2) \cup (2, 5]\) den største mulige definisjonsmengden.
Den nye definisjonsmengden er \( D_f = [0, 2) \cup (2, 5] \).
Med denne definisjonsmengden er \(f\) kontinuerlig, verdimengden er fortsatt \([0, 3)\), og definisjonsmengden er så stor som mulig.
Med denne definisjonsmengden er \(f\) kontinuerlig, verdimengden er fortsatt \([0, 3)\), og definisjonsmengden er så stor som mulig.
Del 2 – Med hjelpemidler
Del 2 – Oppgave 1 (6 poeng)
En influensaepidemi bryter ut på en videregående skole med 1000 elever. Antallet smittede elever \( S(t) \) etter \( t \) dager er gitt ved
\[
S(t) = \frac{300}{1 + 28 \cdot e^{-0{,}3t}}
\]
Del 2 – Oppgave 1a
Hvor lang tid tar det før 100 elever er smittet?
Vi setter \( S(t) = 100 \):
\[
\frac{300}{1 + 28 \cdot e^{-0{,}3t}} = 100
\]
Vi løser for \( t \):
\[
300 = 100 \cdot (1 + 28 \cdot e^{-0{,}3t})
\]
\[
3 = 1 + 28 \cdot e^{-0{,}3t}
\]
\[
2 = 28 \cdot e^{-0{,}3t}
\]
\[
e^{-0{,}3t} = \frac{2}{28} = \frac{1}{14}
\]
\[
-0{,}3t = \ln\left(\frac{1}{14}\right) = -\ln 14
\]
\[
t = \frac{\ln 14}{0{,}3} \approx \frac{2{,}639}{0{,}3} \approx 8{,}80
\]
Det tar omtrent \( 8{,}8 \) dager, altså ca. 9 dager, før 100 elever er smittet.
Del 2 – Oppgave 1b
På hvilket tidspunkt blir flest elever smittet, og hvor raskt sprer smitten seg da?
Antallet elever som blir smittet per dag er gitt ved \( S'(t) \). Vi ønsker å finne når \( S'(t) \) er størst, altså når \( S''(t) = 0 \) (vendepunkt i \( S \)).
Vi deriverer \( S(t) = 300 \cdot (1 + 28e^{-0{,}3t})^{-1} \):
\[
S'(t) = 300 \cdot \frac{28 \cdot 0{,}3 \cdot e^{-0{,}3t}}{(1 + 28e^{-0{,}3t})^2} = \frac{2520 \, e^{-0{,}3t}}{(1 + 28e^{-0{,}3t})^2}
\]
For en logistisk funksjon av formen \(\frac{L}{1 + ae^{-kt}}\) har vi vendepunkt (der veksten er raskest) når \( S(t) = \frac{L}{2} \), altså \( S(t) = \frac{300}{2} = 150 \).
Vi setter \( S(t) = 150 \):
\[
\frac{300}{1 + 28e^{-0{,}3t}} = 150
\]
\[
1 + 28e^{-0{,}3t} = 2
\]
\[
28e^{-0{,}3t} = 1
\]
\[
e^{-0{,}3t} = \frac{1}{28}
\]
\[
t = \frac{\ln 28}{0{,}3} \approx \frac{3{,}332}{0{,}3} \approx 11{,}1
\]
Vi regner ut \( S'(11{,}1) \):
\[
S'(11{,}1) = \frac{2520 \cdot e^{-0{,}3 \cdot 11{,}1}}{(1 + 28 \cdot e^{-0{,}3 \cdot 11{,}1})^2}
\]
Vi vet at \( e^{-0{,}3 \cdot 11{,}1} = \frac{1}{28} \), så:
\[
S'(11{,}1) = \frac{2520 \cdot \frac{1}{28}}{\left(1 + 28 \cdot \frac{1}{28}\right)^2} = \frac{90}{(1+1)^2} = \frac{90}{4} = 22{,}5
\]
Smitten sprer seg raskest etter omtrent \( t \approx 11{,}1 \) dager. Da blir omtrent \( 22{,}5 \) elever smittet per dag.
💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
- Definer modellen:
S(t) := 300 / (1 + 28 · e^(-0.3t)) - Beregn maks smitterate:
Numerisk(S'(11.1))→ gir \(\approx 22{,}5\) - Kontroller 100 smittede:
Numerisk(S(8.8))→ gir \(\approx 100\)
Del 2 – Oppgave 1c
Undersøk om \( S \) har asymptoter, og forklar hvilken praktisk tolkning asymptotene eventuelt har.
Horisontal asymptote når \( t \to \infty \):
\[
\lim_{t \to \infty} S(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{300}{1 + 28e^{-0{,}3t}} = \frac{300}{1 + 0} = 300
\]
Horisontal asymptote: \( y = 300 \).
Horisontal asymptote når \( t \to -\infty \):
\[
\lim_{t \to -\infty} S(t) = \lim_{t \to -\infty} \frac{300}{1 + 28e^{-0{,}3t}} = \frac{300}{\infty} = 0
\]
Horisontal asymptote: \( y = 0 \) (har kun praktisk relevans for \( t \ge 0 \)).
Det er ingen vertikale asymptoter, da nevneren aldri er null (eksponentialfunksjonen er alltid positiv).
Praktisk tolkning:
Asymptoten \( y = 300 \) betyr at antallet smittede nærmer seg 300 elever over tid, men aldri overstiger dette. Det betyr at epidemien vil smitte maksimalt 300 av de 1000 elevene ved skolen.
Asymptoten \( y = 0 \) bekrefter at det ved starten av epidemien var svært få smittede.
Asymptoten \( y = 300 \) betyr at antallet smittede nærmer seg 300 elever over tid, men aldri overstiger dette. Det betyr at epidemien vil smitte maksimalt 300 av de 1000 elevene ved skolen.
Asymptoten \( y = 0 \) bekrefter at det ved starten av epidemien var svært få smittede.
Del 2 – Oppgave 2 (6 poeng)
Del 2 – Oppgave 2a
Påstand: Når \( x > 0 \), er \( e^{k \cdot \ln(x)} = x^k \).
Vi bruker at \( \ln(x) \) er den naturlige logaritmen, og at \( e^{\ln(a)} = a \) for \( a > 0 \).
Vi har logaritmeregelen: \( k \cdot \ln(x) = \ln(x^k) \). Dermed:
\[
e^{k \cdot \ln(x)} = e^{\ln(x^k)} = x^k
\]
Dette gjelder for alle \( x > 0 \) og alle reelle \( k \).
Påstanden er sann.
Vi brukte at \( k\ln x = \ln(x^k) \) og at \( e^{\ln(a)} = a \).
Vi brukte at \( k\ln x = \ln(x^k) \) og at \( e^{\ln(a)} = a \).
Del 2 – Oppgave 2b
En funksjon \( f \) er gitt ved
\[
f(x) = \begin{cases} x^3 - 2, & x < 2 \\ 3x^2 - 4, & x \ge 2 \end{cases}
\]
Påstand: Funksjonen er deriverbar i \( x = 2 \).
For at \( f \) skal være deriverbar i \( x = 2 \), må den først være kontinuerlig i \( x = 2 \), og deretter må den deriverte fra venstre og høyre side være lik.
Sjekk av kontinuitet i \( x = 2 \):
\[
\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2^3 - 2 = 8 - 2 = 6
\]
\[
f(2) = 3 \cdot 2^2 - 4 = 12 - 4 = 8
\]
Siden \( \lim_{x \to 2^-} f(x) = 6 \ne 8 = f(2) \), er funksjonen ikke kontinuerlig i \( x = 2 \).
En funksjon som ikke er kontinuerlig i et punkt, kan heller ikke være deriverbar der.
Påstanden er usann.
Funksjonen er ikke engang kontinuerlig i \( x = 2 \), siden \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = 6 \ne 8 = f(2)\), og kan derfor ikke være deriverbar der.
Funksjonen er ikke engang kontinuerlig i \( x = 2 \), siden \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = 6 \ne 8 = f(2)\), og kan derfor ikke være deriverbar der.
Vanlig feil: Mange tror at enhver funksjon har en omvendt funksjon. En funksjon har bare en invers dersom den er injektiv (en-til-en), noe som for kontinuerlige funksjoner på et intervall betyr at den må være strengt monoton. Grafisk kan du sjekke dette med den horisontale linjetesten: enhver horisontal linje skal krysse grafen i høyst ett punkt.
Del 2 – Oppgave 2c
Påstand: En funksjon som er både minkende og voksende i definisjonsmengden sin, kan ha en omvendt funksjon.
En funksjon har en omvendt funksjon (invers funksjon) dersom den er injektiv (en-til-en), altså at ulike \( x \)-verdier gir ulike \( y \)-verdier.
En funksjon som er strengt monoton (enten strengt voksende på hele definisjonsmengden eller strengt minkende på hele definisjonsmengden) er alltid injektiv og har dermed en invers.
En funksjon som er både minkende og voksende i definisjonsmengden sin, er ikke monoton. Det betyr at det finnes verdier der funksjonen først avtar og så øker (eller omvendt), noe som typisk gir at en \( y \)-verdi oppnås for flere ulike \( x \)-verdier.
Men -- dette er ikke nødvendigvis tilfelle for alle slike funksjoner. Tenk for eksempel på en funksjon som er definert på en unionsmengende \( D = [0,1] \cup [3, 4] \), som er voksende på \([0,1]\) med verdier i \([0,1]\) og minkende på \([3,4]\) med verdier i \([2, 3]\). Denne funksjonen er injektiv og har derfor en invers funksjon, selv om den er «både minkende og voksende i definisjonsmengden sin».
Påstanden er sann.
En funksjon kan være minkende på ett intervall og voksende på et annet, men likevel være injektiv (en-til-en) dersom verdimengdene ikke overlapper. Et moteksempel til at det skulle være usant: \(f(x) = x\) for \(x \in [0,1]\) og \(f(x) = 7 - x\) for \(x \in [3, 4]\). Her er \(f\) voksende på \([0,1]\) og minkende på \([3, 4]\), men \(f\) er injektiv og har en omvendt funksjon.
En funksjon kan være minkende på ett intervall og voksende på et annet, men likevel være injektiv (en-til-en) dersom verdimengdene ikke overlapper. Et moteksempel til at det skulle være usant: \(f(x) = x\) for \(x \in [0,1]\) og \(f(x) = 7 - x\) for \(x \in [3, 4]\). Her er \(f\) voksende på \([0,1]\) og minkende på \([3, 4]\), men \(f\) er injektiv og har en omvendt funksjon.
Del 2 – Oppgave 3 (6 poeng)
To biler, \( A \) og \( B \), kjører på hver sin vei. Posisjonene er gitt ved
\[
\vec{r}_A(t) = \left[\frac{1}{2}(t-4), \, t\right] \quad \text{og} \quad \vec{r}_B(t) = \left[\frac{1}{2}t, \, \frac{3}{2}\left(t - \frac{1}{5}\right)\right]
\]
der \( t \) er tid i minutter og avstandene er i kilometer.
Del 2 – Oppgave 3a
Bestem avstanden i luftlinje mellom bilene etter 1 minutt.
Vi setter \( t = 1 \):
\[
\vec{r}_A(1) = \left[\frac{1}{2}(1-4), \, 1\right] = \left[-\frac{3}{2}, \, 1\right]
\]
\[
\vec{r}_B(1) = \left[\frac{1}{2} \cdot 1, \, \frac{3}{2}\left(1 - \frac{1}{5}\right)\right] = \left[\frac{1}{2}, \, \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{5}\right] = \left[\frac{1}{2}, \, \frac{6}{5}\right]
\]
Avstanden mellom bilene:
\[
d = \sqrt{\left(\frac{1}{2} - \left(-\frac{3}{2}\right)\right)^2 + \left(\frac{6}{5} - 1\right)^2} = \sqrt{(2)^2 + \left(\frac{1}{5}\right)^2} = \sqrt{4 + \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{101}{25}} = \frac{\sqrt{101}}{5}
\]
Avstanden mellom bilene etter 1 minutt er \(\displaystyle \frac{\sqrt{101}}{5} \approx 2{,}01 \) km.
Del 2 – Oppgave 3b
En av veiene er en motorvei. Den andre veien er en vei med lavere fartsgrense. Gjør beregninger og argumenter for hvilken av bilene som er på motorveien.
Farten til en bil er gitt ved lengden av hastighetsvektoren \( \vec{v} = \vec{r}\,'(t) \).
Bil A:
\[
\vec{r}_A'(t) = \left[\frac{1}{2}, \, 1\right]
\]
\[
|\vec{r}_A'(t)| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}118 \text{ km/min}
\]
Omregnet til km/t: \( \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 60 = 30\sqrt{5} \approx 67{,}1 \) km/t.
Bil B:
\[
\vec{r}_B'(t) = \left[\frac{1}{2}, \, \frac{3}{2}\right]
\]
\[
|\vec{r}_B'(t)| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{10}{4}} = \frac{\sqrt{10}}{2} \approx 1{,}581 \text{ km/min}
\]
Omregnet til km/t: \( \frac{\sqrt{10}}{2} \cdot 60 = 30\sqrt{10} \approx 94{,}9 \) km/t.
Bil A kjører med ca. 67 km/t og bil B kjører med ca. 95 km/t. Bil B kjører altså mye raskere, og er dermed bilen som kjører på motorveien.
Del 2 – Oppgave 3c
Veiene krysser hverandre i et veikryss. Gjør beregninger og argumenter for hvilken av bilene som kommer til veikrysset først.
Veikrysset er der de to banene møtes, altså der \(\vec{r}_A(t_A) = \vec{r}_B(t_B)\) for noen tidspunkter \( t_A \) og \( t_B \) (ikke nødvendigvis like).
Vi setter komponentene lik hverandre:
\[
\frac{1}{2}(t_A - 4) = \frac{1}{2}t_B \quad \Rightarrow \quad t_A - 4 = t_B \quad \Rightarrow \quad t_B = t_A - 4
\]
\[
t_A = \frac{3}{2}\left(t_B - \frac{1}{5}\right)
\]
Vi setter inn \( t_B = t_A - 4 \) i den andre likningen:
\[
t_A = \frac{3}{2}\left(t_A - 4 - \frac{1}{5}\right) = \frac{3}{2}\left(t_A - \frac{21}{5}\right)
\]
\[
t_A = \frac{3}{2}t_A - \frac{3}{2} \cdot \frac{21}{5}
\]
\[
t_A = \frac{3}{2}t_A - \frac{63}{10}
\]
\[
t_A - \frac{3}{2}t_A = -\frac{63}{10}
\]
\[
-\frac{1}{2}t_A = -\frac{63}{10}
\]
\[
t_A = \frac{63}{5} = 12{,}6
\]
Og \( t_B = 12{,}6 - 4 = 8{,}6 \).
Vi sjekker: \(\vec{r}_A(12{,}6) = \left[\frac{1}{2}(12{,}6 - 4), \, 12{,}6\right] = [4{,}3, \, 12{,}6]\).
\(\vec{r}_B(8{,}6) = \left[\frac{1}{2} \cdot 8{,}6, \, \frac{3}{2}(8{,}6 - 0{,}2)\right] = [4{,}3, \, 12{,}6]\). Stemmer!
Bil B kommer til veikrysset etter \( t_B = 8{,}6 \) minutter, mens bil A kommer etter \( t_A = 12{,}6 \) minutter. Bil B kommer til veikrysset først.
Del 2 – Oppgave 4 (4 poeng)
Momentmagnitudeskalaen: \( M = \frac{2}{3}\lg(E) - 3{,}2 \), der energien \( E \) måles i joule.
Del 2 – Oppgave 4a
Bestem et uttrykk for energien \( E \) uttrykt ved momentmagnituden \( M \). Bruk uttrykket til å regne ut energien for \( M = 4{,}7 \).
Vi løser for \( E \):
\[
M = \frac{2}{3}\lg(E) - 3{,}2
\]
\[
M + 3{,}2 = \frac{2}{3}\lg(E)
\]
\[
\lg(E) = \frac{3}{2}(M + 3{,}2) = \frac{3}{2}M + 4{,}8
\]
\[
E = 10^{\frac{3}{2}M + 4{,}8}
\]
For \( M = 4{,}7 \):
\[
E = 10^{\frac{3}{2} \cdot 4{,}7 + 4{,}8} = 10^{7{,}05 + 4{,}8} = 10^{11{,}85}
\]
\[
E \approx 7{,}08 \cdot 10^{11} \text{ J}
\]
\[ E = 10^{\frac{3}{2}M + 4{,}8} \]
For \( M = 4{,}7 \): \( E \approx 7{,}08 \cdot 10^{11} \) J.
Del 2 – Oppgave 4b
Hvor mange ganger så stor er energien som løses ut i et jordskjelv, dersom \( M \) øker med 1?
La \( E_1 \) være energien ved momentmagnitude \( M \) og \( E_2 \) ved \( M + 1 \):
\[
E_1 = 10^{\frac{3}{2}M + 4{,}8}
\]
\[
E_2 = 10^{\frac{3}{2}(M+1) + 4{,}8} = 10^{\frac{3}{2}M + \frac{3}{2} + 4{,}8}
\]
Forholdet:
\[
\frac{E_2}{E_1} = \frac{10^{\frac{3}{2}M + \frac{3}{2} + 4{,}8}}{10^{\frac{3}{2}M + 4{,}8}} = 10^{\frac{3}{2}} = \sqrt{10^3} = \sqrt{1000} \approx 31{,}6
\]
Når \( M \) øker med 1, blir energien \( 10^{3/2} = \sqrt{1000} \approx 31{,}6 \) ganger så stor.
Del 2 – Oppgave 5 (4 poeng)
Tabellen viser drivstofftype for personbiler i Moss 2010--2022. Lag modeller for utviklingen i bensin og elektrisk (El.), og vurder veksten framover.
Del 2 – Oppgave 5a
Bruk opplysningene i tabellen til å lage modeller for utviklingen i drivstofftypene bensin og elektrisk (El.) \( t \) år etter 2010. Argumenter for valg av modeller.
Vi leser av data fra tabellen (la \( t \) = antall år etter 2010):
Bensin:
| \(t\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Antall | 14185 | 13592 | 13246 | 12944 | 12578 | 12367 | 11472 | 11079 | 10516 | 10323 | 9706 | 9210 | 8705 |
Dataene for bensin viser en jevn nedgang som ser tilnærmet lineær ut. Vi kan bruke lineær regresjon. Med start- og sluttverdi:
\[
\text{Gjennomsnittlig endring per år} \approx \frac{8705 - 14185}{12} \approx -457
\]
En lineær modell:
\[
B(t) \approx 14185 - 457t
\]
Bruker vi regresjon (digitalt verktøy), får vi en lignende modell. En lineær modell passer godt fordi nedgangen er relativt jevn.
Elektrisk:
| \(t\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Antall | 2 | 14 | 35 | 111 | 307 | 557 | 754 | 1071 | 1467 | 2057 | 2810 | 4031 | 5363 |
Dataene for elektrisk viser en kraftig eksponentiell vekst. Vi prøver en eksponentiell modell \( E(t) = a \cdot b^t \).
Med \( E(0) = 2 \) og \( E(12) = 5363 \):
\[
2 \cdot b^{12} = 5363 \quad \Rightarrow \quad b^{12} = 2681{,}5 \quad \Rightarrow \quad b = 2681{,}5^{1/12} \approx 1{,}82
\]
Altså \( E(t) \approx 2 \cdot 1{,}82^t \). Men de første verdiene er svært små og ustabile. Hvis vi bruker regresjon med digitalt verktøy fra for eksempel \( t = 2 \) og utover, kan vi få en mer robust modell.
En eksponentiell modell passer fordi veksten øker i takt med antallet (typisk for ny teknologi i en vekstfase).
Bensin: Lineær modell \( B(t) \approx 14\,185 - 457t \), der \( t \) er antall år etter 2010. Lineær modell er valgt fordi nedgangen er jevn og tilnærmet konstant per år.
Elektrisk: Eksponentiell modell \( E(t) \approx 2 \cdot 1{,}82^t \). Eksponentiell modell er valgt fordi veksten tiltar kraftig over tid, noe som er typisk for adopsjonen av ny teknologi.
Elektrisk: Eksponentiell modell \( E(t) \approx 2 \cdot 1{,}82^t \). Eksponentiell modell er valgt fordi veksten tiltar kraftig over tid, noe som er typisk for adopsjonen av ny teknologi.
Vanlig feil: Mange forveksler prosentvis vekst med vekstfaktor. En årlig vekst på 5 % betyr vekstfaktor \( k = 1{,}05 \), ikke \( k = 0{,}05 \). Modellen \( f(t) = a \cdot k^t \) gir eksponentiell vekst når \( k > 1 \) og eksponentiell nedgang når \( 0 < k < 1 \).
Del 2 – Oppgave 5b
Hvordan vil du vurdere veksten i drivstofftypene bensin og elektrisk i årene framover, etter 2022? Kommenter gyldigheten til modellene.
Bensin: Den lineære modellen gir at antall bensinbiler vil fortsette å synke med ca. 457 per år. Ifølge modellen vil det være null bensinbiler rundt \( t \approx 31 \), altså rundt 2041. I praksis vil nedgangen trolig avta etter hvert, slik at modellen overestimerer nedgangen på lang sikt. Modellen er rimelig for de nærmeste årene, men blir mindre gyldig på lengre sikt.
Elektrisk: Den eksponentielle modellen gir en svært rask vekst. For \( t = 20 \) (år 2030) gir modellen \( E(20) \approx 2 \cdot 1{,}82^{20} \approx 27\,300 \), noe som nesten overstiger det totale antallet personbiler i Moss. En eksponentiell vekst kan ikke fortsette uendelig -- veksten vil avta når markedet nærmer seg metning. En logistisk modell ville være mer realistisk på lang sikt.
Modellene er rimelige for de nærmeste årene etter 2022, men gyldigheten svekkes over tid. Den lineære modellen for bensin vil på sikt gi negative verdier, noe som er urealistisk. Den eksponentielle modellen for elektrisk vil gi urimelig høye verdier etter hvert som markedet mettes. Begge modellene bør brukes med forsiktighet utover kort tidshorisont.
Vanlig feil: I logistiske modeller \( \frac{K}{1 + ae^{-bt}} \) forveksler mange kapasiteten \( K \) med startverdien. Startverdien finner du ved å sette \( t = 0 \): \( f(0) = \frac{K}{1+a} \). Vendepunktet (raskest vekst) inntreffer alltid når \( f(t) = \frac{K}{2} \), uavhengig av parametrene \( a \) og \( b \).
Del 2 – Oppgave 6 (4 poeng)
En funksjon \( f(x) = -x^2 + 4 \), \( 0 \le x \le 2 \). Lars har tegnet grafen med et innskrevet rektangel \( ABCD \) og skrevet et program.
Lars' program:
def f(x):
return -x**2 + 4
def areal(x):
return x*f(x)
h = 0.0001
def der_areal(x):
return (areal(x + h) - areal(x))/h
x = 0
dx = 0.01
while der_areal(x + dx) > 0:
x = x + dx
print(areal(x))
Del 2 – Oppgave 6a
Forklar hva Lars prøver å finne ut med programmet. Hva blir svaret hvis man kjører programmet?
Fra figuren ser vi at rektangelet \( ABCD \) har hjørnene \( A \) og \( B \) på \( x \)-aksen, \( D \) på \( y \)-aksen, og \( C \) på grafen til \( f \). Rektangelet har bredde \( x \) (fra 0 til \( x \)) og høyde \( f(x) \). Arealet er da:
\[ A(x) = x \cdot f(x) = x(-x^2 + 4) = -x^3 + 4x \]
Programmet beregner den numeriske deriverte av arealfunksjonen og øker \( x \) med steg \( dx = 0{,}01 \) så lenge den deriverte er positiv. Når den deriverte skifter fortegn (blir negativ eller null), stopper programmet og skriver ut arealet.
Lars prøver altså å finne det største arealet rektangelet \(ABCD\) kan ha.
Vi finner dette analytisk:
\[
A(x) = x(-x^2 + 4) = -x^3 + 4x
\]
\[
A'(x) = -3x^2 + 4 = 0
\]
\[
x^2 = \frac{4}{3} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}155
\]
\[
A\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \left(-\frac{4}{3} + 4\right) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{8}{3} = \frac{16\sqrt{3}}{9} \approx 3{,}08
\]
Lars prøver å finne det størst mulige arealet til det innskrevne rektangelet \( ABCD \). Programmet gir svaret omtrent \( \frac{16\sqrt{3}}{9} \approx 3{,}08 \).
Del 2 – Oppgave 6b
Hvilken strategi bruker Lars i programmet sitt? Vil strategien fungere uavhengig av hvilken funksjon \( f \) er?
Strategi: Lars bruker en numerisk metode der han starter i \( x = 0 \) og «vandrer» mot høyre med små steg \( dx = 0{,}01 \). For hvert steg beregner han den numeriske deriverte av arealfunksjonen. Så lenge den deriverte er positiv (arealet øker), fortsetter han. Når den deriverte blir null eller negativ, stopper han -- han har da funnet (omtrent) det toppunktet der arealet er størst.
Dette er en variant av en gradientstigning (gradient ascent): Man beveger seg i retningen der funksjonen øker, helt til man når et lokalt maksimum.
Vil strategien fungere uavhengig av \( f \)?
Nei, ikke nødvendigvis:
- Dersom arealfunksjonen har flere lokale maksimumspunkter, vil programmet stoppe ved det første det finner, som ikke nødvendigvis er det globale maksimumet.
- Dersom arealfunksjonen er strengt voksende på hele intervallet (ingen maksimum i det indre), vil while-løkken aldri stoppe (eller finne maksimumet ved endepunktet).
- Strategien forutsetter at arealfunksjonen først er voksende og deretter minkende fra startpunktet, dvs. at det finnes nøyaktig ett lokalt maksimum.
Lars bruker en gradientstigning: han øker \( x \) stegvis og stopper når den deriverte skifter fra positiv til negativ, dvs. ved første lokale maksimum.
Strategien fungerer ikke generelt for alle funksjoner \( f \). Dersom arealfunksjonen har flere lokale maksimumspunkter, finner programmet bare det første. Det vil heller ikke fungere korrekt dersom arealfunksjonen ikke har et lokalt maksimum i det åpne intervallet.
Strategien fungerer ikke generelt for alle funksjoner \( f \). Dersom arealfunksjonen har flere lokale maksimumspunkter, finner programmet bare det første. Det vil heller ikke fungere korrekt dersom arealfunksjonen ikke har et lokalt maksimum i det åpne intervallet.
Del 2 – Oppgave 7 (2 poeng)
En kule med radius \( r \) deles i to like deler. Vi skal skjære ut en pyramide med rektangulær grunnflate av den ene halvkulen. Grunnflaten skal ligge i snittflaten til halvkulen. Bestem et uttrykk for det største volumet pyramiden kan ha.
Volumet av en pyramide er \( V = \frac{h \cdot G}{3} \).
Volumet av en pyramide er \( V = \frac{h \cdot G}{3} \).
Vi plasserer halvkulen med sentrum i origo og snittflaten i \( xy \)-planet. Halvkulen har ligningen \( x^2 + y^2 + z^2 = r^2 \) for \( z \ge 0 \).
Pyramidens grunnflate er et rektangel i snittflaten (sirkelen \( x^2 + y^2 \le r^2 \) i \( z = 0 \)-planet), og toppunktet er på halvkulens overflate, i punktet \((0, 0, r)\) for å få størst mulig høyde.
Høyden til pyramiden er \( h = r \) (fra grunnflaten i \( z = 0 \) til toppunktet i \( z = r \)).
Finne det største rektangelet innskrevet i sirkelen:
La rektangelet ha sidelengder \( 2a \) og \( 2b \), der hjørnene er \( (\pm a, \pm b, 0) \). For at hjørnene skal ligge inne i (eller på) sirkelen med radius \( r \), trenger vi:
\[ a^2 + b^2 \le r^2 \]
Grunnflaten er \( G = 2a \cdot 2b = 4ab \). Vi ønsker å maksimere \( G = 4ab \) gitt betingelsen \( a^2 + b^2 = r^2 \) (vi velger at hjørnene ligger på sirkelen for størst mulig rektangel).
Av AM-GM-ulikheten (eller ved å bruke at for fast sum av kvadrater er produktet størst når \( a = b \)):
\[ ab \le \frac{a^2 + b^2}{2} = \frac{r^2}{2} \]
Likhet når \( a = b \). Da er \( 2a^2 = r^2 \), altså \( a = \frac{r}{\sqrt{2}} \).
Største grunnflate:
\[ G = 4ab = 4 \cdot \frac{r}{\sqrt{2}} \cdot \frac{r}{\sqrt{2}} = 4 \cdot \frac{r^2}{2} = 2r^2 \]
Volumet blir:
\[ V = \frac{h \cdot G}{3} = \frac{r \cdot 2r^2}{3} = \frac{2r^3}{3} \]
Sjekk at pyramiden ligger innenfor halvkulen:
Et punkt på sidekanten fra hjørnet \( (a, b, 0) \) til toppunktet \( (0, 0, r) \) kan skrives som \( (a(1-s), \, b(1-s), \, rs) \) for \( s \in [0,1] \). Vi sjekker at det ligger innenfor kulen:
\[ a^2(1-s)^2 + b^2(1-s)^2 + r^2 s^2 = r^2(1-s)^2 + r^2 s^2 = r^2[1 - 2s + 2s^2] \]
Vi trenger \(1 - 2s + 2s^2 \le 1\), dvs. \( 2s(s-1) \le 0 \), som gjelder for \( 0 \le s \le 1 \). Alle punkter på sidekantene ligger innenfor (eller på) kulen, og dermed gjør også alle innvendige punkter det (kulen er konveks).
Det største volumet pyramiden kan ha er:
\[ V = \frac{2r^3}{3} \]