VG2
Løsningsforslag Matematikk R1Vår 2023
Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no.
Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.
Løsningsforslag – Matematikk R1 Vår 2023
Del 1 – Uten hjelpemidler
Oppgave 1
Deriver funksjonen \( f(x) = e^x + \ln x \).
Vi deriverer hvert ledd for seg.
Den deriverte av \( e^x \) er \( e^x \), og den deriverte av \( \ln x \) er \( \dfrac{1}{x} \).
\[ f'(x) = e^x + \frac{1}{x} \]
Oppgave 2
Bestem grenseverdien
\[ \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4} \]
Direkte innsetting gir \( \frac{0}{0} \), så vi må faktorisere.
Vi bruker tredjegrads- og konjugatsetningen:
\[ x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4) \]
\[ x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \]
Vi forkorter \( (x - 2) \) (som er tillatt når \( x \neq 2 \)):
\[ \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4} = \frac{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2} \]
Nå setter vi inn \( x = 2 \):
\[ \frac{2^2 + 2 \cdot 2 + 4}{2 + 2} = \frac{4 + 4 + 4}{4} = \frac{12}{4} = 3 \]
\[ \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4} = 3 \]
Vanlig feil: Når du får formen \( \frac{0}{0} \), betyr det ikke at grenseverdien er 0 eller at den ikke eksisterer. Du må faktorisere og forkorte fellesfaktoren før du setter inn. Mange prøver å sette inn verdien direkte uten å forenkle, og konkluderer feilaktig med at svaret er udefinert.
Oppgave 3
Oppgave 3a
Gitt tre punkt \( A(1, 3) \), \( B(4, 0) \) og \( C(9, 4) \).
Bruk vektorregning til å avgjøre om \( \angle CBA \) er mindre enn, lik eller større enn \( 90° \).
Vi finner vektorene \( \vec{BA} \) og \( \vec{BC} \):
\[ \vec{BA} = A - B = (1 - 4,\; 3 - 0) = (-3,\; 3) \]
\[ \vec{BC} = C - B = (9 - 4,\; 4 - 0) = (5,\; 4) \]
Vi regner ut skalarproduktet:
\[ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-3) \cdot 5 + 3 \cdot 4 = -15 + 12 = -3 \]
Sammenhengen mellom skalarproduktet og vinkelen \( \angle CBA \) er:
\[ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(\angle CBA) \]
Siden \( |\vec{BA}| > 0 \) og \( |\vec{BC}| > 0 \), og skalarproduktet er negativt, må \( \cos(\angle CBA) < 0 \).
Siden skalarproduktet \( \vec{BA} \cdot \vec{BC} = -3 < 0 \), er \( \angle CBA \) større enn \( 90° \).
Vanlig feil: Mange forveksler betingelsen for parallelle vektorer med betingelsen for vinkelrette vektorer. Skalarproduktet \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \) betyr at vektorene er vinkelrette, ikke parallelle. Parallellitet krever at den ene vektoren er et skalarmultiplum av den andre, dvs. at kryssproduktet (determinanten i 2D) er null.
Oppgave 3b
Et punkt \( P \) ligger på linjen gjennom \( B \) og \( C \). Bestem koordinatene til \( P \) slik at \( \vec{AB} \perp \vec{AP} \).
Vi finner \( \vec{AB} \):
\[ \vec{AB} = B - A = (4 - 1,\; 0 - 3) = (3,\; -3) \]
Siden \( P \) ligger på linjen gjennom \( B(4, 0) \) og \( C(9, 4) \), kan vi parametrisere:
\[ P = B + t \cdot \vec{BC} = (4,\; 0) + t \cdot (5,\; 4) = (4 + 5t,\; 4t) \]
Da blir:
\[ \vec{AP} = P - A = (4 + 5t - 1,\; 4t - 3) = (3 + 5t,\; 4t - 3) \]
Kravet \( \vec{AB} \perp \vec{AP} \) betyr at \( \vec{AB} \cdot \vec{AP} = 0 \):
\[ 3 \cdot (3 + 5t) + (-3) \cdot (4t - 3) = 0 \]
\[ 9 + 15t - 12t + 9 = 0 \]
\[ 18 + 3t = 0 \]
\[ t = -6 \]
Vi setter inn \( t = -6 \):
\[ P = (4 + 5 \cdot (-6),\; 4 \cdot (-6)) = (4 - 30,\; -24) = (-26,\; -24) \]
\[ P = (-26,\; -24) \]
Oppgave 4
Oppgave 4a
En elev har fått en oppgave der \( f(x) = (x^2 - 9)^4 \) for \( x \in \langle 0, 3 \rangle \), og et rektangel \( R \) har hjørner i \( (0,0) \), \( (t,0) \), \( (t, f(t)) \) og \( (0, f(t)) \). Eleven har laget et program for å finne verdien av \( t \) som gir størst areal. Forklar strategien eleven har brukt.
Arealet av rektangelet er:
\[ A(t) = t \cdot f(t) = t \cdot (t^2 - 9)^4 \]
Programmet definerer arealfunksjonen \( A(t) = t(t^2-9)^4 \) og starter med \( t = 0 \).
I while-løkken sjekkes det om \( A(t+d) > A(t) \), altså om arealet øker når \( t \) økes med et lite steg \( d = 0{,}01 \). Så lenge arealet øker, flyttes \( t \) fremover med steglengde \( d \).
Når arealet ikke lenger øker (dvs. \( A(t+d) \leq A(t) \)), stopper løkken. Da har vi funnet en tilnærmet verdi for den \( t \)-verdien der \( A(t) \) har sitt maksimum.
Eleven bruker en stegvis søkestrategi: Programmet starter i \( t = 0 \) og øker \( t \) med små steg (0,01) så lenge arealfunksjonen er voksende. Når arealfunksjonen begynner å avta, stopper programmet og skriver ut den tilnærmede \( t \)-verdien for maksimalt areal.
Oppgave 4b
Bestem den verdien av \( t \) som gjør at rektangelet \( R \) har størst areal.
Arealfunksjonen er:
\[ A(t) = t \cdot (t^2 - 9)^4, \quad t \in \langle 0, 3 \rangle \]
Vi deriverer ved hjelp av produktregelen og kjerneregelen:
\[ A'(t) = 1 \cdot (t^2 - 9)^4 + t \cdot 4(t^2 - 9)^3 \cdot 2t \]
\[ = (t^2 - 9)^4 + 8t^2(t^2 - 9)^3 \]
Vi faktoriserer ut \( (t^2 - 9)^3 \):
\[ A'(t) = (t^2 - 9)^3 \left[ (t^2 - 9) + 8t^2 \right] = (t^2 - 9)^3 (9t^2 - 9) \]
\[ = 9(t^2 - 9)^3(t^2 - 1) \]
Vi finner nullpunktene til \( A'(t) \) for \( t \in \langle 0, 3 \rangle \):
- \( (t^2 - 9)^3 = 0 \Rightarrow t = 3 \), som er utenfor det åpne intervallet.
- \( t^2 - 1 = 0 \Rightarrow t = 1 \) (vi ser bort fra \( t = -1 \) siden \( t > 0 \)).
Vi sjekker fortegnet til \( A'(t) \):
- For \( t \in \langle 0, 1 \rangle \): \( (t^2 - 9)^3 < 0 \) og \( (t^2 - 1) < 0 \), så \( A'(t) = 9 \cdot (\text{negativ}) \cdot (\text{negativ}) > 0 \).
- For \( t \in \langle 1, 3 \rangle \): \( (t^2 - 9)^3 < 0 \) og \( (t^2 - 1) > 0 \), så \( A'(t) = 9 \cdot (\text{negativ}) \cdot (\text{positiv}) < 0 \).
Siden \( A'(t) \) skifter fortegn fra positivt til negativt ved \( t = 1 \), har \( A(t) \) et maksimum her.
Arealet ved \( t = 1 \):
\[ A(1) = 1 \cdot (1 - 9)^4 = (-8)^4 = 4096 \]
Rektangelet har størst areal når \( t = 1 \). Arealet er da \( A(1) = 4096 \).
Del 2 – Med hjelpemidler
Oppgave 1
Tabellen viser timelønnen til en yrkesgruppe i perioden 2008-2022:
| Årstall | 2008 | 2010 | 2013 | 2015 | 2019 | 2022 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Timelønn | 272,55 | 285,50 | 307,30 | 314,00 | 327,60 | 340,10 |
Oppgave 1a
Hva har den gjennomsnittlige årlige prosentvise veksten i lønn vært i årene 2008-2022?
Vi lar \( k \) være den årlige vekstfaktoren. Fra 2008 til 2022 er det 14 år, så:
\[ 272{,}55 \cdot k^{14} = 340{,}10 \]
\[ k^{14} = \frac{340{,}10}{272{,}55} \]
\[ k = \left(\frac{340{,}10}{272{,}55}\right)^{\frac{1}{14}} \approx 1{,}0159 \]
Den gjennomsnittlige årlige prosentvise veksten har vært omtrent 1,59 %.
Oppgave 1b
Bruk tallene i tabellen til å lage en eksponentialfunksjon \( g \) som er en modell for timelønnen \( x \) år etter 2008.
Vi bruker resultatet fra oppgave a) og setter opp en eksponentialfunksjon med startverdi i 2008:
\[ g(x) = 272{,}55 \cdot k^x \]
der \( k = \left(\dfrac{340{,}10}{272{,}55}\right)^{1/14} \approx 1{,}0159 \).
\[ g(x) = 272{,}55 \cdot 1{,}0159^x \]
der \( x \) er antall år etter 2008.
💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
- Definer lønnsmodellen:
g(x) := 272.55 * 1.0159^x - Beregn predikert lønn i 2025 (\(x = 17\)):
Numerisk(g(17))→ gir \(\approx 356{,}38\) kr/time - Finn den momentane endringsraten i 2008:
Numerisk(g'(0))→ gir \(\approx 4{,}30\) kr/år
Oppgave 1c
Per og Amalie hadde begge en timelønn på 272,55 kr i 2008. Per har hatt lønnsutvikling tilsvarende tabellen, mens Amalies lønn har steget med 2,3 % per år. Begge har jobbet 1700 timer per år. Bestem den samlede lønnen til Amalie og Per i årene 2008 til 2022.
Amalies samlede lønn:
Amalies timelønn i år \( n \) etter 2008 er \( 272{,}55 \cdot 1{,}023^n \). Årslønnen er \( 1700 \cdot 272{,}55 \cdot 1{,}023^n \).
Den samlede lønnen fra 2008 til 2022 (år \( n = 0 \) til \( n = 14 \), altså 15 år):
\[ S_{\text{Amalie}} = 1700 \cdot 272{,}55 \cdot \sum_{n=0}^{14} 1{,}023^n = 1700 \cdot 272{,}55 \cdot \frac{1{,}023^{15} - 1}{1{,}023 - 1} \]
Vi regner ut:
\[ \frac{1{,}023^{15} - 1}{0{,}023} \approx \frac{1{,}4061 - 1}{0{,}023} \approx \frac{0{,}4061}{0{,}023} \approx 17{,}657 \]
\[ S_{\text{Amalie}} \approx 1700 \cdot 272{,}55 \cdot 17{,}657 \approx 8\,188\,600 \text{ kr} \]
Pers samlede lønn:
Pers lønnsutvikling følger modellen fra oppgave b), med vekstfaktor \( k \approx 1{,}0159 \). Tilsvarende:
\[ S_{\text{Per}} = 1700 \cdot 272{,}55 \cdot \frac{1{,}0159^{15} - 1}{1{,}0159 - 1} \]
Vi regner ut:
\[ \frac{1{,}0159^{15} - 1}{0{,}0159} \approx \frac{1{,}2678 - 1}{0{,}0159} \approx \frac{0{,}2678}{0{,}0159} \approx 16{,}843 \]
\[ S_{\text{Per}} \approx 1700 \cdot 272{,}55 \cdot 16{,}843 \approx 7\,781\,800 \text{ kr} \]
Amalies samlede lønn i perioden 2008-2022: omtrent 8 188 600 kr.
Pers samlede lønn i perioden 2008-2022: omtrent 7 781 800 kr.
Pers samlede lønn i perioden 2008-2022: omtrent 7 781 800 kr.
Oppgave 1d
Fagforeningen til Per krever at han i 2025 skal ha samme timelønn som Amalie. Amalie har fortsatt 2,3 % vekst per år. Hvor mange prosent må lønnen til Per gå opp hvert år?
Amalies timelønn i 2025 (\( n = 17 \) år etter 2008):
\[ 272{,}55 \cdot 1{,}023^{17} \approx 401{,}17 \text{ kr} \]
Pers timelønn i 2022 er 340,10 kr. La \( p \) være den årlige vekstfaktoren Per trenger fra 2022 til 2025 (3 år):
\[ 340{,}10 \cdot p^3 = 401{,}17 \]
\[ p^3 = \frac{401{,}17}{340{,}10} \approx 1{,}1796 \]
\[ p = 1{,}1796^{1/3} \approx 1{,}0566 \]
Per må ha en årlig lønnsvekst på omtrent 5,66 % i årene 2022-2025 for å nå Amalies timelønn i 2025.
Oppgave 2
Vi har gitt punktet \( A(3, 2) \). Vektorene \( \vec{u} = [4, 3] \) og \( \vec{v} = [2t, 5t] \).
Et parallellogram \( ABCD \) er bestemt ved at \( \vec{AB} = \vec{u} \) og \( \vec{AD} = \vec{v} \).
Oppgave 2a
Bestem koordinatene til \( B \) og koordinatene til \( C \) og \( D \) uttrykt ved \( t \).
Vi bruker at \( \vec{AB} = \vec{u} \) og \( \vec{AD} = \vec{v} \):
\[ B = A + \vec{u} = (3 + 4,\; 2 + 3) = (7,\; 5) \]
\[ D = A + \vec{v} = (3 + 2t,\; 2 + 5t) \]
\[ C = A + \vec{u} + \vec{v} = (3 + 4 + 2t,\; 2 + 3 + 5t) = (7 + 2t,\; 5 + 5t) \]
\( B = (7, 5) \), \( C = (7 + 2t,\; 5 + 5t) \), \( D = (3 + 2t,\; 2 + 5t) \)
Oppgave 2b
Bestem \( t \) slik at skjæringspunktet mellom diagonalene i parallellogrammet blir \( P(8, 11) \).
I et parallellogram halverer diagonalene hverandre. Skjæringspunktet er altså midtpunktet av diagonalen \( AC \):
\[ P = \frac{A + C}{2} = \left(\frac{3 + (7 + 2t)}{2},\; \frac{2 + (5 + 5t)}{2}\right) = \left(\frac{10 + 2t}{2},\; \frac{7 + 5t}{2}\right) \]
Setter dette lik \( P(8, 11) \):
Fra \( x \)-koordinaten:
\[ \frac{10 + 2t}{2} = 8 \implies 10 + 2t = 16 \implies t = 3 \]
Kontroll med \( y \)-koordinaten:
\[ \frac{7 + 5 \cdot 3}{2} = \frac{22}{2} = 11 \quad \checkmark \]
\[ t = 3 \]
Oppgave 3
Avgjør om følgende påstander er sanne eller usanne. Vis tydelig hvordan du argumenterer.
Oppgave 3a
Hvis \( x > 0 \), så er \( (\ln x)^4 = 4 \ln x \).
Påstanden er usann.
Vi sjekker med et moteksempel. La \( x = e \):
Venstre side: \( (\ln e)^4 = 1^4 = 1 \)
Høyre side: \( 4 \ln e = 4 \cdot 1 = 4 \)
Siden \( 1 \neq 4 \), er påstanden usann.
Merk: Eleven kan ha forvekslet \( (\ln x)^4 \) med \( \ln(x^4) \). Det er \( \ln(x^4) = 4\ln x \), men \( (\ln x)^4 \neq 4 \ln x \) generelt.
Påstanden er usann. Moteksempel: For \( x = e \) er \( (\ln e)^4 = 1 \neq 4 = 4\ln e \).
Vanlig feil: Mange blander sammen \( \ln \) (naturlig logaritme, grunntall \( e \)) og \( \lg \) (Briggsk logaritme, grunntall 10). I R1/S1 brukes begge, og det er viktig å holde styr på grunntallet. Husk at \( \log_a b = c \) betyr \( a^c = b \).
Oppgave 3b
Alle fjerdegradsfunksjoner må ha minst ett ekstremalpunkt.
Påstanden er sann.
En fjerdegradsfunksjon har formen \( p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \) der \( a \neq 0 \).
Den deriverte er \( p'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d \), som er et tredjegradspolynom.
Ethvert tredjegradspolynom har minst ett reelt nullpunkt (fordi tredjegradspolynomer har odde grad, så de går mot \( +\infty \) og \( -\infty \)). Dermed har \( p'(x) \) minst ett nullpunkt.
Siden \( p(x) \to +\infty \) når \( x \to \pm\infty \) (for \( a > 0 \)) eller \( p(x) \to -\infty \) når \( x \to \pm\infty \) (for \( a < 0 \)), må funksjonen ha et globalt minimum (for \( a > 0 \)) eller et globalt maksimum (for \( a < 0 \)). Dette er et ekstremalpunkt.
Påstanden er sann. En fjerdegradsfunksjon har alltid minst ett ekstremalpunkt, fordi den deriverte (et tredjegradspolynom) alltid har minst ett reelt nullpunkt, og funksjonen har et globalt ekstremum.
Vanlig feil: Mange tror at enhver funksjon har en omvendt funksjon. En funksjon har bare en invers dersom den er injektiv (en-til-en), noe som for kontinuerlige funksjoner på et intervall betyr at den må være strengt monoton. Grafisk kan du sjekke dette med den horisontale linjetesten: enhver horisontal linje skal krysse grafen i høyst ett punkt.
Oppgave 3c
For at en funksjon skal ha en omvendt funksjon, må funksjonen være enten strengt voksende eller strengt avtakende.
Påstanden er sann.
En funksjon har en omvendt funksjon (invers funksjon) hvis og bare hvis den er injektiv (en-til-en), det vil si at forskjellige \( x \)-verdier gir forskjellige funksjonsverdier.
For kontinuerlige funksjoner definert på et intervall (som er det vi jobber med i R1) gjelder følgende: Dersom \( f \) er injektiv og kontinuerlig på et intervall, så må \( f \) være strengt monoton (enten strengt voksende eller strengt avtakende). Dette følger av skjæringssetningen (middelverdisetningen for kontinuerlige funksjoner):
Anta for motsigelse at \( f \) er injektiv og kontinuerlig, men verken strengt voksende eller strengt avtakende. Da finnes det punkter \( a < b < c \) slik at \( f(a) < f(b) \) og \( f(b) > f(c) \) (eller omvendt). Siden \( f \) er kontinuerlig, vil skjæringssetningen gi at \( f \) tar en verdi mellom \( f(a) \) og \( f(b) \) både på intervallet \( [a, b] \) og på \( [b, c] \), noe som betyr at to forskjellige \( x \)-verdier gir samme funksjonsverdi. Dette motsier at \( f \) er injektiv.
Påstanden er sann. For kontinuerlige funksjoner på et intervall er injektivitet ekvivalent med streng monotoni. Dersom en slik funksjon har en omvendt funksjon, må den nødvendigvis være enten strengt voksende eller strengt avtakende.
Oppgave 4
Oppgave 4a
Fire funksjoner \( f \), \( g \), \( h \) og \( k \) er gitt ved grafene sine. Avgjør og begrunn om hver funksjon har en omvendt funksjon.
En funksjon har en omvendt funksjon dersom den er injektiv (en-til-en). Grafisk betyr dette at enhver horisontal linje skjærer grafen i høyst ett punkt.
Funksjon \( f \): Grafen av \( f \) viser en funksjon som først synker og deretter stiger (en "U"-form). En horisontal linje vil kunne skjære grafen i to punkter. Dermed er \( f \) ikke injektiv og har ikke en omvendt funksjon.
Funksjon \( g \): Grafen av \( g \) er strengt voksende (stiger hele tiden). Enhver horisontal linje skjærer grafen i høyst ett punkt. Dermed har \( g \) en omvendt funksjon.
Funksjon \( h \): Grafen av \( h \) er strengt avtakende (synker hele tiden). Enhver horisontal linje skjærer grafen i høyst ett punkt. Dermed har \( h \) en omvendt funksjon.
Funksjon \( k \): Grafen av \( k \) har en stykkevis form med et hopp (diskontinuitet). Fra avlesning ser det ut til at funksjonen tar samme \( y \)-verdi for to forskjellige \( x \)-verdier. Dermed er \( k \) ikke injektiv og har ikke en omvendt funksjon.
\( f \): Har ikke omvendt funksjon (ikke injektiv).
\( g \): Har omvendt funksjon (strengt voksende).
\( h \): Har omvendt funksjon (strengt avtakende).
\( k \): Har ikke omvendt funksjon (ikke injektiv).
\( g \): Har omvendt funksjon (strengt voksende).
\( h \): Har omvendt funksjon (strengt avtakende).
\( k \): Har ikke omvendt funksjon (ikke injektiv).
Oppgave 4b
Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen i de tilfellene der den finnes.
Definisjonsmengden til den omvendte funksjonen er lik verdimengden til den opprinnelige funksjonen.
For \( g^{-1} \): Fra grafen avleser vi at \( g \) har verdimengde omtrent \( \langle 1, 6 \rangle \) (asymptotisk oppførsel). Definisjonsmengden til \( g^{-1} \) er altså \( D_{g^{-1}} = \langle 1, 6 \rangle \).
For \( h^{-1} \): Fra grafen avleser vi at \( h \) har verdimengde omtrent \( \langle -1, 3 \rangle \). Definisjonsmengden til \( h^{-1} \) er altså \( D_{h^{-1}} = \langle -1, 3 \rangle \).
Definisjonsmengden til \( g^{-1} \) er verdimengden til \( g \): avlest fra grafen ca. \( \langle 1, 6 \rangle \).
Definisjonsmengden til \( h^{-1} \) er verdimengden til \( h \): avlest fra grafen ca. \( \langle -1, 3 \rangle \).
Definisjonsmengden til \( h^{-1} \) er verdimengden til \( h \): avlest fra grafen ca. \( \langle -1, 3 \rangle \).
Oppgave 5
Sammenhengen mellom lydstyrke \( L \) (i dB) og lydintensitet \( I \) (i W/m2) er gitt ved
\[ L = 120 + 10 \cdot \lg I \]
Oppgave 5a
Bestem lydintensiteten når lydstyrken er 130 dB.
Vi setter \( L = 130 \) inn i formelen:
\[ 130 = 120 + 10 \cdot \lg I \]
\[ 10 = 10 \cdot \lg I \]
\[ \lg I = 1 \]
\[ I = 10^1 = 10 \]
Lydintensiteten er \( I = 10 \text{ W/m}^2 \) når lydstyrken er 130 dB.
Oppgave 5b
Hvor mange prosent øker lydintensiteten dersom lydstyrken øker med 2 dB?
La \( I_1 \) og \( I_2 \) være lydintensitetene ved lydstyrke \( L \) og \( L + 2 \):
\[ L = 120 + 10 \cdot \lg I_1 \]
\[ L + 2 = 120 + 10 \cdot \lg I_2 \]
Trekker vi den første likningen fra den andre:
\[ 2 = 10 \cdot (\lg I_2 - \lg I_1) = 10 \cdot \lg\left(\frac{I_2}{I_1}\right) \]
\[ \lg\left(\frac{I_2}{I_1}\right) = 0{,}2 \]
\[ \frac{I_2}{I_1} = 10^{0,2} \approx 1{,}585 \]
Lydintensiteten øker med omtrent 58,5 % når lydstyrken øker med 2 dB.
Vanlig feil: Ved logaritmelikninger glemmer mange å sjekke at løsningen gir positive argumenter til logaritmen. Siden \( \ln x \) og \( \lg x \) bare er definert for \( x > 0 \), må du alltid verifisere at løsningene dine oppfyller dette kravet. Forkast eventuelle løsninger der argumentet blir null eller negativt.
Oppgave 5c
Lydintensiteten på avstand \( r \) fra en lydkilde med effekt \( E \) er \( I = \dfrac{E}{4\pi r^2} \). Lydstyrken fra et fly er 140 dB ved 50 m avstand. Bestem den minste avstanden der lydstyrken er lavere enn 130 dB.
Først finner vi effekten \( E \). Ved \( r = 50 \) m og \( L = 140 \) dB:
\[ 140 = 120 + 10 \cdot \lg I \implies \lg I = 2 \implies I = 100 \text{ W/m}^2 \]
\[ I = \frac{E}{4\pi r^2} \implies 100 = \frac{E}{4\pi \cdot 50^2} \implies E = 100 \cdot 4\pi \cdot 2500 = 1\,000\,000\pi \]
Vi vil finne \( r \) slik at \( L = 130 \) dB. Fra oppgave 5a vet vi at \( I = 10 \) W/m\(^2\) ved 130 dB:
\[ 10 = \frac{1\,000\,000\pi}{4\pi r^2} = \frac{1\,000\,000}{4r^2} \]
\[ 4r^2 = \frac{1\,000\,000}{10} = 100\,000 \]
\[ r^2 = 25\,000 \]
\[ r = \sqrt{25\,000} = 50\sqrt{10} \approx 158{,}1 \text{ m} \]
Den minste avstanden der lydstyrken er lavere enn 130 dB er \( r = 50\sqrt{10} \approx 158 \text{ m} \).
Oppgave 6
Oppgave 6a
En linje \( \ell \) går gjennom punktene \( A(4, -2) \) og \( B(6, 6) \).
Bestem den eksakte avstanden fra punktet \( P(2, 8) \) til linjen \( \ell \).
Vi finner retningsvektoren til \( \ell \):
\[ \vec{AB} = (6 - 4,\; 6 - (-2)) = (2,\; 8) \]
En normalvektor til linjen er \( \vec{n} = (8,\; -2) \) (bytter koordinatene og skifter fortegn på den ene).
Vi finner linjens ligning på formen \( ax + by + c = 0 \):
\[ 8(x - 4) - 2(y + 2) = 0 \]
\[ 8x - 32 - 2y - 4 = 0 \]
\[ 8x - 2y - 36 = 0 \]
Vi kan forenkle ved å dele på 2:
\[ 4x - y - 18 = 0 \]
Avstanden fra \( P(2, 8) \) til linjen:
\[ d = \frac{|4 \cdot 2 - 8 - 18|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2}} = \frac{|8 - 8 - 18|}{\sqrt{16 + 1}} = \frac{|-18|}{\sqrt{17}} = \frac{18}{\sqrt{17}} = \frac{18\sqrt{17}}{17} \]
Avstanden fra \( P(2, 8) \) til linjen \( \ell \) er \( \dfrac{18}{\sqrt{17}} = \dfrac{18\sqrt{17}}{17} \).
Oppgave 6b
Funksjonen \( f(x) = x^2 + 2x \). Bestem den eksakte verdien for den minste avstanden mellom grafen til \( f \) og linjen \( \ell \).
Et punkt på grafen til \( f \) har koordinater \( (x, x^2 + 2x) \). Avstanden fra dette punktet til linjen \( 4x - y - 18 = 0 \) er:
\[ d(x) = \frac{|4x - (x^2 + 2x) - 18|}{\sqrt{17}} = \frac{|-x^2 + 2x - 18|}{\sqrt{17}} = \frac{|x^2 - 2x + 18|}{\sqrt{17}} \]
Vi undersøker uttrykket \( x^2 - 2x + 18 \):
\[ x^2 - 2x + 18 = (x - 1)^2 + 17 \]
Siden \( (x-1)^2 \geq 0 \), er \( x^2 - 2x + 18 \geq 17 > 0 \) for alle \( x \). Vi kan derfor fjerne absoluttverditegnet:
\[ d(x) = \frac{(x - 1)^2 + 17}{\sqrt{17}} \]
Minimumsverdien oppnås når \( (x-1)^2 = 0 \), altså når \( x = 1 \):
\[ d_{\min} = \frac{0 + 17}{\sqrt{17}} = \frac{17}{\sqrt{17}} = \sqrt{17} \]
Den minste avstanden mellom grafen til \( f \) og linjen \( \ell \) er \( \sqrt{17} \).
Oppgave 7
Bruk den gitte algoritmen til å lage et program som finner en tilnærmet verdi for gjennomsnittet til funksjonen \( f(x) = \sqrt{x} \) i intervallet \( [0, 1] \). Hva blir dette gjennomsnittet?
Vi følger algoritmen: Velg \( N + 1 \) tall jevnt fordelt i \( [0, 1] \), og regn ut gjennomsnittet av funksjonsverdiene.
Program:
import math
def f(x):
return math.sqrt(x)
a = 0
b = 1
N = 1000000
s = 0
for i in range(N + 1):
x = a + i * (b - a) / N
s = s + f(x)
gjennomsnitt = s / (N + 1)
print(gjennomsnitt)
Med \( N = 1\,000\,000 \) gir programmet:
\[ g \approx 0{,}6667 \]
Eksakt verdi: Gjennomsnittet av en funksjon \( f \) over intervallet \( [a, b] \) er gitt ved:
\[ \bar{f} = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x)\, dx \]
For \( f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} \) over \( [0, 1] \):
\[ \bar{f} = \frac{1}{1 - 0} \int_0^1 x^{1/2}\, dx = \left[\frac{x^{3/2}}{3/2}\right]_0^1 = \left[\frac{2}{3} x^{3/2}\right]_0^1 = \frac{2}{3} \cdot 1 - 0 = \frac{2}{3} \]
Programmet gir en tilnærmet verdi på omtrent 0,667. Gjennomsnittet til \( f(x) = \sqrt{x} \) i intervallet \( [0, 1] \) er \( \dfrac{2}{3} \approx 0{,}667 \).