Løsningsforslag – Matematikk R1 Vår 2026
Eksamen REA3056 — 21.05.2026
Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no.
Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.
Oppgave 1 (2 poeng)
Deriver funksjonen \( h \) gitt ved
\[ h(x) = 3x^2 - 5 + \frac{3}{x-2} \]
Vi deriverer ledd for ledd.
Første ledd: \( 3x^2 \) deriveres med potensregelen:
\[ \frac{d}{dx}\left(3x^2\right) = 6x \]
Andre ledd: \( -5 \) er en konstant, så den deriverte er 0.
Tredje ledd: Vi skriver \( \dfrac{3}{x-2} = 3(x-2)^{-1} \) og bruker kjerneregelen:
\[ \frac{d}{dx}\Big(3(x-2)^{-1}\Big) = 3 \cdot (-1)(x-2)^{-2} \cdot 1 = -\frac{3}{(x-2)^2} \]
\[ h'(x) = 6x - \frac{3}{(x-2)^2} \]
Vanlig feil: Mange glemmer at den deriverte av \( (x-2)^{-1} \) ikke er \( (x-2)^{-2} \), men \( -(x-2)^{-2} \). Husk minustegnet fra potensregelen, og at kjerneregelen gir en faktor 1 her (den deriverte av \( x-2 \) er 1).
Oppgave 2 (5 poeng)
En funksjon \( f \) er gitt ved \( f(x) = e^x(6 - e^x) \).
a) Bestem eventuelle nullpunkter til funksjonen \( f \).
b) Vis at \( f'(x) = 2e^x(3 - e^x) \).
c) Bestem koordinatene til eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til \( f \). Avgjør om eventuelle punkter er topp- eller bunnpunkter.
a) Nullpunkter
Vi setter \( f(x) = 0 \):
\[ e^x(6 - e^x) = 0 \]
Siden \( e^x > 0 \) for alle \( x \), må:
\[ 6 - e^x = 0 \quad \Rightarrow \quad e^x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = \ln 6 \]
Funksjonen \( f \) har ett nullpunkt: \( x = \ln 6 \), dvs. punktet \( (\ln 6,\, 0) \).
b) Vis at \( f'(x) = 2e^x(3 - e^x) \)
Vi skriver først \( f \) som et utvidet uttrykk, og bruker så at \( e^x \cdot e^x = e^{2x} \):
\[ f(x) = e^x \cdot 6 - e^x \cdot e^x = 6e^x - e^{2x} \]
Vi deriverer ledd for ledd. Husk at \( \frac{d}{dx}\!\left(e^{2x}\right) = 2e^{2x} \) (kjerneregelen):
\[ f'(x) = 6e^x - 2e^{2x} \]
Vi faktoriserer ut \( 2e^x \):
\[ f'(x) = 2e^x \cdot 3 - 2e^x \cdot e^x = 2e^x(3 - e^x) \]
Vi har vist at \( f'(x) = 2e^x(3 - e^x) \).
Alternativ: Du kan også bruke produktregelen direkte på \( f(x) = e^x(6-e^x) \): \( f'(x) = e^x(6-e^x) + e^x(-e^x) = e^x(6 - e^x - e^x) = e^x(6 - 2e^x) = 2e^x(3 - e^x) \). Samme svar.
c) Topp- eller bunnpunkter
Vi setter \( f'(x) = 0 \):
\[ 2e^x(3 - e^x) = 0 \]
Siden \( 2e^x > 0 \) for alle \( x \), må:
\[ 3 - e^x = 0 \quad \Rightarrow \quad e^x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \ln 3 \]
Vi undersøker fortegnet til \( f'(x) = 2e^x(3 - e^x) \). Faktoren \( 2e^x \) er alltid positiv, så fortegnet bestemmes av \( 3 - e^x \):
- Når \( x < \ln 3 \): \( e^x < 3 \), så \( 3 - e^x > 0 \), dvs. \( f'(x) > 0 \) (voksende).
- Når \( x > \ln 3 \): \( e^x > 3 \), så \( 3 - e^x < 0 \), dvs. \( f'(x) < 0 \) (avtagende).
\( f'(x) \) skifter fra positiv til negativ i \( x = \ln 3 \), altså er dette et toppunkt.
Funksjonsverdien:
\[ f(\ln 3) = e^{\ln 3}(6 - e^{\ln 3}) = 3 \cdot (6 - 3) = 3 \cdot 3 = 9 \]
Grafen til \( f \) har ett toppunkt: \( (\ln 3,\, 9) \). Det finnes ingen bunnpunkter.
Oppgave 3 (4 poeng)
a) Sorter uttrykkene nedenfor i stigende rekkefølge. Husk å begrunne svaret.
\[ \log_2 8 \qquad e^{3\ln 1} \qquad \lg 7 \qquad \sqrt[4]{3^3} \]
b) Skriv så enkelt som mulig:
\[ \lg(ab) - \lg\frac{a}{b} + \lg(100b^3) \]
a) Stigende rekkefølge
Vi bestemmer eksakt verdi (eller god avgrensning) for hvert uttrykk:
Uttrykk 1: \( \log_2 8 \). Siden \( 8 = 2^3 \) er
\[ \log_2 8 = \log_2 2^3 = 3 \]
Uttrykk 2: \( e^{3\ln 1} \). Siden \( \ln 1 = 0 \) er
\[ e^{3 \cdot 0} = e^0 = 1 \]
Uttrykk 3: \( \lg 7 \). Siden \( 1 < 7 < 10 \), er \( \lg 1 < \lg 7 < \lg 10 \), altså
\[ 0 < \lg 7 < 1 \]
Uttrykk 4: \( \sqrt[4]{3^3} = 3^{3/4} \). Vi sammenligner med \( 1 \) og \( 3 \):
\[ 3^{3/4} = 3^{0{,}75} \]
Siden \( 3^0 = 1 \) og \( 3^1 = 3 \), og eksponentialfunksjonen \( 3^x \) er strengt voksende, har vi
\[ 1 < 3^{3/4} < 3 \]
Mer presist: \( \left(3^{3/4}\right)^4 = 3^3 = 27 \). Siden \( 2^4 = 16 < 27 < 81 = 3^4 \), er \( 2 < 3^{3/4} < 3 \).
Vi har \( \lg 7 < 1 \), \( e^{3\ln 1} = 1 \), \( 2 < \sqrt[4]{3^3} < 3 \) og \( \log_2 8 = 3 \). Sortert i stigende rekkefølge:
\[ \lg 7 \;<\; e^{3\ln 1} \;<\; \sqrt[4]{3^3} \;<\; \log_2 8 \]
b) Forenkle
Vi bruker logaritmereglene \( \lg(xy) = \lg x + \lg y \), \( \lg\frac{x}{y} = \lg x - \lg y \) og \( \lg x^n = n\lg x \):
\[ \lg(ab) - \lg\frac{a}{b} + \lg(100b^3) \]
\[ = \big(\lg a + \lg b\big) - \big(\lg a - \lg b\big) + \big(\lg 100 + 3\lg b\big) \]
\[ = \lg a + \lg b - \lg a + \lg b + 2 + 3\lg b \]
\[ = 5\lg b + 2 \]
\[ \lg(ab) - \lg\frac{a}{b} + \lg(100b^3) = 2 + 5\lg b \]
Alternativ: Vi kan også samle på én logaritme før vi forenkler. Skriv \( \lg(ab) - \lg\frac{a}{b} + \lg(100b^3) = \lg\!\left(\dfrac{ab \cdot 100b^3}{a/b}\right) = \lg\!\left(\dfrac{100ab^4 \cdot b}{a}\right) = \lg(100\, b^5) = 2 + 5\lg b \).
Oppgave 4 (2 poeng)
Bestem grenseverdien dersom den eksisterer:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 2}{3x^2 + 3} \]
Når \( x \to \infty \), vokser nevneren \( 3x^2 + 3 \) mye raskere enn telleren \( 2x + 2 \), siden nevneren er av grad 2 og telleren av grad 1.
Vi kan vise dette formelt ved å dividere både teller og nevner med \( x^2 \) (høyeste grad i nevneren):
\[ \frac{2x+2}{3x^2+3} = \frac{\dfrac{2x+2}{x^2}}{\dfrac{3x^2+3}{x^2}} = \frac{\dfrac{2}{x} + \dfrac{2}{x^2}}{3 + \dfrac{3}{x^2}} \]
Når \( x \to \infty \), går \( \frac{2}{x} \to 0 \), \( \frac{2}{x^2} \to 0 \) og \( \frac{3}{x^2} \to 0 \). Dermed:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x+2}{3x^2+3} = \frac{0 + 0}{3 + 0} = \frac{0}{3} = 0 \]
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 2}{3x^2 + 3} = 0 \]
Regel: For en rasjonal funksjon \( \dfrac{P(x)}{Q(x)} \) når \( x \to \pm\infty \): hvis grad(P) < grad(Q), er grenseverdien 0. Hvis grad(P) = grad(Q), er grensen forholdet mellom ledende koeffisienter. Hvis grad(P) > grad(Q), divergerer brøken.
Oppgave 5 (3 poeng)
Avgjør om hver påstand nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.
a) En funksjon \( f \) er gitt ved
\[ f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{x - d} \quad \text{der } a, b, c, d \in \mathbb{R} \]
Påstand: Alle funksjoner på denne formen har en vertikal asymptote \( x = d \).
b) En funksjon \( g \) er gitt ved \( g(x) = e^{x-3} \) der \( x \in \mathbb{R} \).
Påstand: Den omvendte funksjonen til \( g \) er gitt ved \( g^{-1}(x) = \ln x + 3 \) der \( D_{g^{-1}} = \langle 0, \to\rangle \).
a)
For at \( x = d \) skal være en vertikal asymptote, må nevneren \( x - d \) gå mot 0 samtidig som telleren ikke går mot 0 når \( x \to d \).
Nevneren \( x - d \to 0 \) når \( x \to d \). Men dersom telleren også er 0 i \( x = d \), kan det hende at faktoren \( (x-d) \) kan forkortes, og da blir \( x = d \) bare et hull i grafen — ikke en vertikal asymptote.
Moteksempel: Velg \( a = 1 \), \( b = 0 \), \( c = -1 \), \( d = 1 \). Da er
\[ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1, \quad x \neq 1 \]
Her er det ingen vertikal asymptote i \( x = 1 \); funksjonen har bare et hull.
Påstanden er usann. Hvis telleren også er null i \( x = d \), kan faktoren \( (x-d) \) forkortes og asymptoten forsvinner.
b)
Vi finner den omvendte funksjonen ved å løse \( y = e^{x-3} \) med hensyn på \( x \):
\[ y = e^{x-3} \quad \Rightarrow \quad \ln y = x - 3 \quad \Rightarrow \quad x = \ln y + 3 \]
Bytter \( x \) og \( y \): \( g^{-1}(x) = \ln x + 3 \).
Definisjonsmengden til \( g^{-1} \) er verdimengden til \( g \). For \( g(x) = e^{x-3} \) er verdimengden \( \langle 0, \to\rangle \), siden \( e^u > 0 \) for alle \( u \in \mathbb{R} \) og \( g \) er kontinuerlig og strengt voksende.
Påstanden er sann. \( g^{-1}(x) = \ln x + 3 \) og \( D_{g^{-1}} = \langle 0, \to\rangle \).
Oppgave 6 (2 poeng)
En funksjon \( f \) gitt ved \( f(x) = \ln(x + 2) \) har en omvendt funksjon \( g \). Bestem \( g'(1) \).
Vi bruker formelen for derivasjon av omvendt funksjon:
\[ g'(y) = \frac{1}{f'(g(y))} \]
Først finner vi \( g(1) \): vi løser \( f(x) = 1 \), altså \( \ln(x+2) = 1 \):
\[ x + 2 = e^1 \quad \Rightarrow \quad x = e - 2 \]
Så \( g(1) = e - 2 \).
Deretter deriverer vi \( f \):
\[ f'(x) = \frac{1}{x + 2} \]
Setter inn \( x = e - 2 \):
\[ f'(e-2) = \frac{1}{(e-2) + 2} = \frac{1}{e} \]
Til slutt:
\[ g'(1) = \frac{1}{f'(g(1))} = \frac{1}{1/e} = e \]
\( g'(1) = e \)
Alternativ: Vi kan også finne \( g \) eksplisitt: \( g(x) = e^x - 2 \), så \( g'(x) = e^x \) og \( g'(1) = e \). Samme svar.
Oppgave 7 (4 poeng)
Gitt punktene \( A(1, -3) \), \( B(4, 1) \) og \( C(-2, a) \), der \( a \in \mathbb{R} \).
a) Bestem \( a \) slik at vinkel \( BAC \) blir \( 90° \).
b) Bestem \( a \) slik at \( |\vec{AB}| = |\vec{AC}| \).
a)
Vinkelen \( BAC \) er vinkelen mellom \( \vec{AB} \) og \( \vec{AC} \). For at den skal være \( 90° \), må skalarproduktet være null.
\[ \vec{AB} = B - A = [4 - 1,\; 1 - (-3)] = [3,\, 4] \]
\[ \vec{AC} = C - A = [-2 - 1,\; a - (-3)] = [-3,\, a + 3] \]
Krav: \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 \):
\[ 3 \cdot (-3) + 4 \cdot (a + 3) = 0 \]
\[ -9 + 4a + 12 = 0 \]
\[ 4a + 3 = 0 \]
\[ a = -\frac{3}{4} \]
\( a = -\dfrac{3}{4} \)
b)
Lengdene er:
\[ |\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
\[ |\vec{AC}| = \sqrt{(-3)^2 + (a+3)^2} = \sqrt{9 + (a+3)^2} \]
Krav: \( |\vec{AB}| = |\vec{AC}| \), dvs. \( 5 = \sqrt{9 + (a+3)^2} \). Kvadrerer:
\[ 25 = 9 + (a+3)^2 \]
\[ (a+3)^2 = 16 \]
\[ a + 3 = \pm 4 \]
Altså \( a = 1 \) eller \( a = -7 \).
\( a = 1 \) eller \( a = -7 \).
Oppgave 8 (3 poeng)
I trekanten \( OAB \) er punktet \( P \) plassert slik at \( OP = \dfrac{2}{3} \) av \( OA \), og punktet \( R \) er plassert slik at \( OR = \dfrac{2}{3} \) av \( OB \). Vektorene er \( \vec{a} = \vec{OA} \) og \( \vec{b} = \vec{OB} \).
a) Uttrykk \( \vec{AB} \) og \( \vec{PR} \) ved hjelp av \( \vec{a} \) og \( \vec{b} \).
b) Vis at \( \vec{AB} \parallel \vec{PR} \).
c) Hvor langt er linjestykket \( AB \) dersom \( |\vec{PR}| = \dfrac{\sqrt{2}}{3} \)?
a) Uttrykk \( \vec{AB} \) og \( \vec{PR} \)
Vektoren \( \vec{AB} \) går fra \( A \) til \( B \):
\[ \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a} \]
For \( \vec{PR} \) bruker vi at \( \vec{OP} = \frac{2}{3}\vec{a} \) og \( \vec{OR} = \frac{2}{3}\vec{b} \):
\[ \vec{PR} = \vec{OR} - \vec{OP} = \frac{2}{3}\vec{b} - \frac{2}{3}\vec{a} = \frac{2}{3}(\vec{b} - \vec{a}) \]
\[ \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}, \qquad \vec{PR} = \frac{2}{3}(\vec{b} - \vec{a}) \]
b) Vis at \( \vec{AB} \parallel \vec{PR} \)
Fra a) ser vi direkte at
\[ \vec{PR} = \frac{2}{3}(\vec{b} - \vec{a}) = \frac{2}{3}\vec{AB} \]
Siden \( \vec{PR} \) er et reelt tall (\( \frac{2}{3} \)) ganger \( \vec{AB} \), er de to vektorene parallelle.
\( \vec{PR} = \dfrac{2}{3}\vec{AB} \), så \( \vec{AB} \parallel \vec{PR} \).
c) Lengden av \( AB \) når \( |\vec{PR}| = \dfrac{\sqrt{2}}{3} \)
Fra b) har vi \( \vec{PR} = \frac{2}{3}\vec{AB} \). Tar vi lengden på begge sider:
\[ |\vec{PR}| = \frac{2}{3}|\vec{AB}| \]
\[ \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{2}{3}|\vec{AB}| \]
\[ |\vec{AB}| = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
\( |AB| = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \) (kan også skrives \( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \)).
Oppgave 9 (5 poeng)
Programkoden nedenfor er ikke helt ferdig:
1 def f(x):
2 return 1/3*x**3 + 5/3*x**2 + 25/9*x
3
4 def g(x):
5 h = 0.000001
6 return (f(x + h) - f(x))/h
7
8 x = -4
9 slutt = 4
10 dx = 0.002
11 maks_avvik = 0.000001
12
13 while (x < slutt):
14 x = x + dx
15 if abs(g(x)) < maks_avvik: # sjekker om g(x) er nær 0
16
17 if g(x - dx) * g(x + dx) > 0:
18 print("f har et A for x =", x)
19
20 elif g(x - dx) < g(x + dx):
21 print("f har et B for x =", x)
22
23 elif g(x - dx) > g(x + dx):
24 print("f har et C for x =", x)
a) Forklar sammenhengen mellom \( f(x) \) og \( g(x) \) i koden.
b) Hvilke tre ulike begreper skal stå i stedet for A, B og C?
c) Når programmet kjøres, skrives det ut én setning. I hvilken linje står denne setningen? Begrunn svaret.
a) Sammenhengen mellom \( f \) og \( g \)
I linje 6 returnerer \( g \) uttrykket
\[ g(x) = \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \quad \text{med } h = 10^{-6} \]
Dette er Newtons kvotient (differensekvotient). Når \( h \to 0 \) går denne kvotienten mot definisjonen av den deriverte:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]
\( g(x) \) er en numerisk tilnærming til den deriverte \( f'(x) \). Med så liten \( h \) gjelder \( g(x) \approx f'(x) \).
b) Begreper A, B, C
Programmet leter etter \( x \)-verdier der \( g(x) \approx 0 \) (linje 15), altså der \( f'(x) \approx 0 \). Det er nullpunkter for den deriverte — kandidater til topp-, bunn- eller terrassepunkter.
Linje 17–18: Hvis \( g(x-dx) \cdot g(x+dx) > 0 \), har \( g \) (altså \( f' \)) samme fortegn på begge sider av \( x \). Da skifter ikke \( f' \) fortegn, og \( x \) er et terrassepunkt for \( f \).
Linje 20–21: Hvis \( g(x-dx) < g(x+dx) \), er \( g \) voksende i \( x \). Det betyr at \( f' \) går fra negativ (til venstre) til positiv (til høyre), så \( f \) går fra avtagende til voksende. Da er \( x \) et bunnpunkt.
Linje 23–24: Hvis \( g(x-dx) > g(x+dx) \), er \( g \) avtagende i \( x \). \( f' \) går fra positiv til negativ, og \( f \) går fra voksende til avtagende. Da er \( x \) et toppunkt.
A = terrassepunkt, B = bunnpunkt, C = toppunkt.
c) Hvilken linje skrives ut?
Vi deriverer \( f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{5}{3}x^2 + \dfrac{25}{9}x \):
\[ f'(x) = x^2 + \frac{10}{3}x + \frac{25}{9} \]
Legg merke til at \( \dfrac{10}{3} = 2 \cdot \dfrac{5}{3} \) og \( \dfrac{25}{9} = \left(\dfrac{5}{3}\right)^2 \). Dette er et kvadrat:
\[ f'(x) = \left(x + \frac{5}{3}\right)^2 \]
Altså er \( f'(x) \geq 0 \) for alle \( x \), og \( f'(x) = 0 \) bare for \( x = -\dfrac{5}{3} \). Den deriverte skifter ikke fortegn — den er positiv på begge sider av \( -\dfrac{5}{3} \).
I koden tester \( g(x-dx) \cdot g(x+dx) \) — siden begge er positive (eller svært nær 0), blir produktet positivt, og betingelsen i linje 17 oppfylles. Linje 18 skrives ut.
Setningen står i linje 18: "f har et A (terrassepunkt) for x = -5/3".
Begrunnelse: \( f'(x) = (x + 5/3)^2 \geq 0 \) er null bare i \( x = -5/3 \), uten å skifte fortegn — altså et terrassepunkt.
Oppgave 1 (5 poeng)
Tabellen viser farten til en rakett \( t \) sekunder etter at den har forlatt utskytingsrampen:
| Tid (s) | 1 | 5 | 10 | 20 | 50 | 100 | 150 |
| Fart (m/s) | 7,3 | 9,2 | 10,7 | 25,6 | 61,3 | 183,0 | 218,2 |
a) Lag en modell \( V \) på formen \( V(t) = \dfrac{C}{1 + a \cdot e^{-kt}} \).
b) Hvor lang tid tar det før raketten oppnår en fart på 100 m/s?
c) Når er fartsøkningen til raketten størst? Hvor stor er denne fartsøkningen?
d) Hvor lenge øker farten til raketten med mer enn 2 m/s²?
a) Modell
Vi bruker logistisk regresjon i GeoGebra (eller CAS / regneark) med kommandoen RegLogistisk({(1,7.3), (5,9.2), (10,10.7), (20,25.6), (50,61.3), (100,183), (150,218.2)}):
\[ V(t) \approx \frac{223{,}48}{1 + 27{,}33 \cdot e^{-0{,}0478\,t}} \]
Avrundede parametre: \( C \approx 223{,}5 \), \( a \approx 27{,}3 \), \( k \approx 0{,}0478 \).
Slik gjør du det i GeoGebra:
- Skriv inn dataene i regnearksvinduet: t-verdier i kolonne A, V-verdier i kolonne B.
- Marker dataene og velg «Lag liste over punkter» (eller skriv
Liste1 = {(1,7.3), (5,9.2), ...} direkte).
- I CAS eller algebrafeltet:
V(t) := RegLogistisk(Liste1)
- GeoGebra returnerer \( V(t) = \dfrac{223{,}48}{1 + 27{,}33\,e^{-0{,}0478\,t}} \).
b) Tid for fart 100 m/s
Vi løser \( V(t) = 100 \). Bruker CAS-kommandoen NLøs(V(t) = 100, t) eller løser for hånd:
\[ \frac{223{,}48}{1 + 27{,}33\,e^{-0{,}0478\,t}} = 100 \]
\[ 1 + 27{,}33\,e^{-0{,}0478\,t} = \frac{223{,}48}{100} = 2{,}2348 \]
\[ 27{,}33\,e^{-0{,}0478\,t} = 1{,}2348 \]
\[ e^{-0{,}0478\,t} = \frac{1{,}2348}{27{,}33} = 0{,}04518 \]
\[ -0{,}0478\,t = \ln(0{,}04518) = -3{,}096 \]
\[ t \approx 64{,}8 \text{ s} \]
Det tar ca. 65 sekunder før raketten oppnår en fart på 100 m/s.
c) Når er fartsøkningen størst?
Fartsøkningen er \( V'(t) \). For en logistisk funksjon er \( V'(t) \) størst i vendepunktet, der \( V(t) = \dfrac{C}{2} \). Dette inntreffer når \( 1 + a\,e^{-kt} = 2 \), altså \( a\,e^{-kt} = 1 \):
\[ e^{-kt} = \frac{1}{a} \quad \Rightarrow \quad t = \frac{\ln a}{k} = \frac{\ln(27{,}33)}{0{,}0478} \approx 69{,}2 \text{ s} \]
Maks fartsøkning er \( V'(t^*) = \dfrac{kC}{4} \) (klassisk resultat for logistisk modell):
\[ V'(t^*) = \frac{0{,}0478 \cdot 223{,}48}{4} \approx 2{,}67 \text{ m/s}^2 \]
Du kan også finne dette i GeoGebra med NLøs(V''(t) = 0, t) og deretter V'(svaret).
Fartsøkningen er størst etter ca. 69 sekunder, og er da ca. 2,67 m/s².
d) Hvor lenge øker farten med mer enn 2 m/s²?
Vi løser ulikheten \( V'(t) > 2 \). Siden \( V'(t) \) er klokkeformet med maksimum ca. 2,67 i \( t \approx 69 \), finnes det to løsninger \( t_1 < t^* < t_2 \) der \( V'(t) = 2 \), og \( V'(t) > 2 \) mellom dem.
Med NLøs(V'(t) = 2, t) i GeoGebra:
\[ t_1 \approx 46{,}2 \text{ s}, \qquad t_2 \approx 92{,}2 \text{ s} \]
Varighet: \( t_2 - t_1 \approx 92{,}2 - 46{,}2 = 46{,}0 \) sekunder.
Farten øker med mer enn 2 m/s² i et tidsrom på ca. 46 sekunder (fra \( t \approx 46 \) s til \( t \approx 92 \) s).
Merk: Tallverdiene over avhenger av hvilke parametre regresjonen gir. Med standard GeoGebra-regresjon (RegLogistisk) får man verdier nær \( C \approx 223{,}5 \), \( a \approx 27{,}3 \), \( k \approx 0{,}0478 \). Små avvik fra disse vil gi små avvik i sluttsvarene.
Oppgave 2 (6 poeng)
Posisjonen til en skøyteløper etter \( t \) sekunder er
\[ \ell: \begin{cases} x = 6t + 120 \\ y = \frac{5}{3}t + 50 \end{cases}, \quad t \in [0, 200] \]
a) Bestem banefarten og posisjonen til skøyteløperen etter et halvt minutt.
b) En hund har posisjon \( m: x = \frac{13}{2}t + 250,\ y = -\frac{9}{5}t + 520 \). Vis at skøyteløperen ikke vil treffe hunden.
c) Skøyteløperen oppdager hunden etter 1 minutt og øker banefarten uten å endre retning. Hvilken ny konstant banefart må han holde for å fange hunden?
a) Banefart og posisjon etter 30 s
Fartsvektoren er den deriverte av posisjonen:
\[ \vec{v}_\ell = \left[6,\; \frac{5}{3}\right] \]
Banefarten (lengden):
\[ |\vec{v}_\ell| = \sqrt{6^2 + \left(\tfrac{5}{3}\right)^2} = \sqrt{36 + \tfrac{25}{9}} = \sqrt{\tfrac{349}{9}} = \frac{\sqrt{349}}{3} \approx 6{,}23 \text{ m/s} \]
Posisjon etter \( t = 30 \) s:
\[ x(30) = 6 \cdot 30 + 120 = 300, \qquad y(30) = \tfrac{5}{3} \cdot 30 + 50 = 50 + 50 = 100 \]
Etter et halvt minutt er skøyteløperen i punktet \( (300,\, 100) \) med banefart \( \dfrac{\sqrt{349}}{3} \approx 6{,}23 \) m/s.
b) Vil skøyteløperen treffe hunden?
For at de skal møtes, må \( \vec{\ell}(t) = \vec{m}(t) \) for samme \( t \). Vi setter opp likningene:
x-koordinat:
\[ 6t + 120 = \tfrac{13}{2}t + 250 \]
\[ 12t + 240 = 13t + 500 \]
\[ -t = 260 \quad \Rightarrow \quad t = -260 \]
y-koordinat:
\[ \tfrac{5}{3}t + 50 = -\tfrac{9}{5}t + 520 \]
\[ \left(\tfrac{5}{3} + \tfrac{9}{5}\right)t = 470 \]
\[ \tfrac{25 + 27}{15}\,t = 470 \]
\[ \tfrac{52}{15}\,t = 470 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{470 \cdot 15}{52} = \frac{3525}{26} \approx 135{,}6 \]
De to likningene gir ulike \( t \)-verdier (\( -260 \) og ca. \( 135{,}6 \)). Det finnes ingen tid \( t \geq 0 \) der både \( x \)- og \( y \)-koordinatene stemmer samtidig.
Skøyteløperen vil ikke treffe hunden.
c) Ny banefart for å fange hunden
Etter 1 minutt (\( t = 60 \)) er skøyteløperen i
\[ \ell(60) = (6 \cdot 60 + 120,\; \tfrac{5}{3} \cdot 60 + 50) = (480,\; 150) \]
og hunden er i
\[ m(60) = (\tfrac{13}{2} \cdot 60 + 250,\; -\tfrac{9}{5} \cdot 60 + 520) = (640,\; 412) \]
Skøyteløperen beholder retningen, dvs. fartsvektoren peker fortsatt i retning \( [6,\, \tfrac{5}{3}] \). Hvis den nye banefarten er \( V \) m/s, så er den nye fartsvektoren \( V \cdot \hat{u} \), der \( \hat{u} \) er enhetsvektoren i retning \( [6,\, \tfrac{5}{3}] \). La oss innføre skalaen \( k = V / |\vec{v}_\ell| = \dfrac{3V}{\sqrt{349}} \), slik at den nye fartsvektoren er \( k \cdot [6,\, \tfrac{5}{3}] \).
Sett \( s = t - 60 \) (tid etter at jakten starter). Da er posisjonene:
\[ \ell_\text{ny}(s) = \left(480 + 6ks,\; 150 + \tfrac{5}{3}ks\right) \]
\[ m(60 + s) = \left(640 + \tfrac{13}{2}s,\; 412 - \tfrac{9}{5}s\right) \]
For at de skal møtes:
\[ 480 + 6ks = 640 + \tfrac{13}{2}s \quad \Rightarrow \quad s\left(6k - \tfrac{13}{2}\right) = 160 \quad \text{(I)} \]
\[ 150 + \tfrac{5}{3}ks = 412 - \tfrac{9}{5}s \quad \Rightarrow \quad s\left(\tfrac{5}{3}k + \tfrac{9}{5}\right) = 262 \quad \text{(II)} \]
Dividerer (II) på (I):
\[ \frac{\tfrac{5}{3}k + \tfrac{9}{5}}{6k - \tfrac{13}{2}} = \frac{262}{160} = \frac{131}{80} \]
\[ 80\left(\tfrac{5}{3}k + \tfrac{9}{5}\right) = 131\left(6k - \tfrac{13}{2}\right) \]
\[ \tfrac{400}{3}k + 144 = 786 k - \tfrac{1703}{2} \]
Multipliserer med 6 for å fjerne brøker:
\[ 800k + 864 = 4716k - 5109 \]
\[ 5973 = 3916k \]
\[ k = \frac{5973}{3916} = \frac{543}{356} \]
Banefarten er \( V = k \cdot |\vec{v}_\ell| = \dfrac{543}{356} \cdot \dfrac{\sqrt{349}}{3} = \dfrac{181\sqrt{349}}{356} \):
\[ V = \frac{181\sqrt{349}}{356} \approx 9{,}50 \text{ m/s} \]
(Sjekk: med \( k = 543/356 \) blir \( s = 3560/59 \approx 60{,}3 \) s, som er positiv. OK.)
Skøyteløperen må holde banefart \( V = \dfrac{181\sqrt{349}}{356} \approx \mathbf{9{,}5} \) m/s.
Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
- Definer enhetsvektor:
e := (6, 5/3) / sqrt(6^2 + (5/3)^2)
- Definer banene:
L(s, V) := (480, 150) + V*s*e, M(s) := (640 + 13s/2, 412 - 9s/5)
- Løs:
NLøs({L(s,V) == M(s)}, {s, V}) gir \( s \approx 60{,}3 \), \( V \approx 9{,}50 \).
Oppgave 3 (3 poeng)
\( f(x) = 100 \cdot 0{,}8^x \). Rektangelet \( ABCD \) har \( A(a, f(a)) \) med \( a \in [0, 5\rangle \), \( B = (5, f(a)) \), \( C = (5, 200) \), \( D = (a, 200) \).
a) Uttrykk lengden av linjestykkene \( AB \) og \( AD \) ved \( a \).
b) Bruk derivasjon til å bestemme det største arealet rektangelet kan få.
a) Lengdene
\( A \) og \( B \) har samme \( y \)-koordinat (\( f(a) \)) og \( x \)-koordinater \( a \) og 5:
\[ AB = 5 - a \]
\( A \) og \( D \) har samme \( x \)-koordinat (\( a \)) og \( y \)-koordinater \( f(a) \) og 200:
\[ AD = 200 - f(a) = 200 - 100 \cdot 0{,}8^a \]
\( AB = 5 - a \) og \( AD = 200 - 100 \cdot 0{,}8^a \).
b) Største areal
Arealet er
\[ R(a) = AB \cdot AD = (5 - a)\big(200 - 100 \cdot 0{,}8^a\big), \quad a \in [0, 5\rangle \]
Vi deriverer. Bruker produktregelen og at \( \dfrac{d}{da}\big(0{,}8^a\big) = 0{,}8^a \cdot \ln(0{,}8) \):
\[ R'(a) = -1 \cdot \big(200 - 100 \cdot 0{,}8^a\big) + (5 - a)\cdot \big(-100 \cdot \ln(0{,}8) \cdot 0{,}8^a\big) \]
\[ = -(200 - 100 \cdot 0{,}8^a) - 100 \ln(0{,}8) (5-a) \cdot 0{,}8^a \]
Setter \( R'(a) = 0 \) og løser numerisk (f.eks. med GeoGebra-kommandoen NLøs(R'(a) = 0, a) eller CAS):
\[ a \approx 0{,}171 \]
Vi sjekker at dette er et maksimum: \( R(0) = 5 \cdot (200 - 100) = 500 \), \( R(0{,}171) \approx 500{,}98 \), og \( R(a) \to 0 \) når \( a \to 5 \). Verdien \( a \approx 0{,}171 \) gir altså maksimum.
Areal:
\[ R(0{,}171) = (5 - 0{,}171)\big(200 - 100 \cdot 0{,}8^{0{,}171}\big) \approx 4{,}829 \cdot 103{,}74 \approx 500{,}98 \]
Største areal er \( R_\text{maks} \approx \mathbf{501} \) (arealenheter), oppnådd for \( a \approx 0{,}17 \).
Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
R(a) := (5 - a)*(200 - 100*0.8^a)NLøs(R'(a) = 0, a) gir \( a \approx 0{,}1707 \).R(0.1707) gir \( \approx 500{,}98 \).
Oppgave 4 (4 poeng)
Etter strømstøtteordningen: hvis spotprisen \( x \) (i øre/kWh) overstiger 75 øre/kWh (eksklusive merverdiavgift), dekker strømstønaden 90 % av det overskytende. La \( f(x) \) være strømprisen i øre/kWh husholdningen faktisk betaler.
a) Forklar hvorfor \( f \) har delt forskrift, og begrunn hvorfor den må være kontinuerlig.
b) Sett opp et funksjonsuttrykk for \( f(x) \).
a) Hvorfor delt forskrift og hvorfor kontinuerlig
Ordningen gir to ulike regler for prisen:
- Når spotprisen er 75 øre/kWh eller lavere, betaler husholdningen full spotpris (ingen stønad utbetales).
- Når spotprisen er over 75 øre/kWh, betaler husholdningen 75 øre/kWh pluss 10 % av det som overstiger 75 (siden 90 % dekkes av staten).
Disse to forskjellige reglene over to ulike intervaller gjør at \( f \) får delt forskrift.
Kontinuitet: Strømprisen \( f(x) \) er en virkelig pris i kroner og øre, og må endre seg gradvis når spotprisen \( x \) endrer seg gradvis. Det kan ikke være et «hopp» akkurat ved \( x = 75 \) — hvis spotprisen er 75,00 øre eller 75,01 øre, må prisen husholdningen betaler være praktisk talt den samme. Derfor må venstre- og høyregrense i overgangspunktet \( x = 75 \) stemme overens med funksjonsverdien der. Det betyr at \( f \) må være kontinuerlig.
\( f \) har delt forskrift fordi regelen for strømpris er forskjellig under og over terskelen 75 øre/kWh. Den må være kontinuerlig fordi en uendelig liten endring i spotpris ikke kan gi et plutselig hopp i den faktiske strømprisen.
b) Funksjonsuttrykk
For \( x \leq 75 \): ingen stønad, så \( f(x) = x \).
For \( x > 75 \): stønaden dekker 90 % av det som overstiger 75 øre. Husholdningen betaler de første 75 øre fullt, pluss 10 % av (\( x - 75 \)):
\[ f(x) = 75 + 0{,}1(x - 75) = 75 + 0{,}1x - 7{,}5 = 0{,}1x + 67{,}5 \]
Sjekk kontinuiteten i \( x = 75 \):
\[ \text{Venstre: } f(75) = 75 \]
\[ \text{Høyre: } 0{,}1 \cdot 75 + 67{,}5 = 7{,}5 + 67{,}5 = 75 \;\checkmark \]
Begge gir 75, så \( f \) er kontinuerlig i \( x = 75 \).
\[ f(x) = \begin{cases} x, & 0 \leq x \leq 75 \\ 0{,}1x + 67{,}5, & x > 75 \end{cases} \]
Strømprisen er oppgitt i øre/kWh.
Oppgave 5 (2 poeng)
\( f(x) = e^{2x} \), \( x \in \mathbb{R} \). Grafen til \( f \) har én tangent som går gjennom origo. Bestem eksakte verdier for koordinatene til tangeringspunktet.
La tangeringspunktet være \( P = (x_0,\; e^{2x_0}) \). Stigningstallet i \( P \) er den deriverte:
\[ f'(x) = 2e^{2x} \quad \Rightarrow \quad f'(x_0) = 2e^{2x_0} \]
Tangentlikningen i \( P \) er
\[ y - e^{2x_0} = 2e^{2x_0}(x - x_0) \]
Tangenten skal gå gjennom origo \( (0, 0) \). Setter inn:
\[ 0 - e^{2x_0} = 2e^{2x_0}(0 - x_0) \]
\[ -e^{2x_0} = -2x_0 \, e^{2x_0} \]
Siden \( e^{2x_0} \neq 0 \), kan vi dividere med \( e^{2x_0} \) på begge sider:
\[ -1 = -2x_0 \quad \Rightarrow \quad x_0 = \frac{1}{2} \]
Andrekoordinaten:
\[ y_0 = e^{2 \cdot \frac{1}{2}} = e^1 = e \]
Tangeringspunktet er \( P = \left(\dfrac{1}{2},\; e\right) \).