Løsningsforslag – Matematikk 1T Eksempeloppgave 1 (2021)

Eksamen MAT1021 – LK20 Fagfornyelsen

Oppgave 1

Vi setter inn \(x = 4\) og \(f(4) = 4\) i funksjonsuttrykket:

Løser for \(a\):

Oppgave 2

Trekanten \(ABC\) er rettvinklet i \(B\). Da er \(AC\) hypotenusen.

Vi bruker definisjonen av sinus i en rettvinklet trekant:

Setter inn kjente verdier:

Løser for \(BC\):

Oppgave 3

Dersom divisjonen \((x^3 + x^2 - 2x - 8) : (x + k)\) skal gå opp, må \(x = -k\) være et nullpunkt for polynomet \(p(x) = x^3 + x^2 - 2x - 8\).

Vi tester \(x = 2\):

Siden \(p(2) = 0\), er \(x = 2\) et nullpunkt. Da er \((x - 2)\) en faktor, som betyr \(k = -2\).

Vi kan verifisere ved polynomdivisjon:

Kontroll: \((x - 2)(x^2 + 3x + 4) = x^3 + 3x^2 + 4x - 2x^2 - 6x - 8 = x^3 + x^2 - 2x - 8\) ✔

Oppgave 4

En andregradslikning \(ax^2 + bx + c = 0\) har nøyaktig én løsning når diskriminanten er lik null:

Her er \(a = 1\), \(b = 2k\) og \(c = -2k - 1\). Vi setter inn:

Deler på 4:

Kontroll: Med \(k = -1\) blir likningen \(x^2 - 2x - 2(-1) - 1 = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = 0\), som har nøyaktig én løsning \(x = 1\). ✔

Oppgave 5

Fra diagrammet leser vi av:

• Firma A: Fast pris på 1200 kr uansett avstand (horisontal linje).
• Firma B: Lineær pris som starter på 500 kr ved 0 km og øker jevnt. Fra grafen kan vi lese av at prisen øker med 200 kr per 80 km.

Vi finner stigningstallet til firma B:

Modell for firma B: \(B(x) = 2{,}5x + 500\)

Vi setter firma A lik firma B for å finne skjæringspunktet:

Oppgave 6

Vi sammenligner de to brøkene ved å trekke den ene fra den andre:

Vi forenkler telleren:

Dermed:

Siden \(n > m\) (gitt i oppgaven), er \(n - m > 0\). Både \(n\) og \(n + 2\) er positive (naturlige tall). Dermed er hele uttrykket positivt.

Dette betyr at:

Oppgave 7

Toppunktet til en andregradsfunksjon \(f(x) = Ax^2 + Bx + C\) ligger ved \(x = -\frac{B}{2A}\).

Her er \(A = -5\), \(B = a\), og toppunktet er ved \(x = 2\):

Løser for \(a\):

Alternativ metode: I toppunktet er \(f'(x) = 0\). Vi deriverer:

Oppgave 8

Vi utvider høyre side:

Sammenligner koeffisientene med \(4x^2 + 16x + r\):

• \(x^2\)-ledd: \(s^2 = 4 \implies s = 2\) (velger positiv verdi)
• \(x\)-ledd: \(2st = 16 \implies 2 \cdot 2 \cdot t = 16 \implies t = 4\)
• Konstantledd: \(t^2 = r \implies r = 4^2 = 16\)

Kontroll: \((2x + 4)^2 = 4x^2 + 16x + 16\) ✔

Oppgave 9

a) Finn modellen \(T(x) = a \cdot b^x\)

Vi bruker to datapunkter til å bestemme \(a\) og \(b\). Vi velger \((4,\; 90{,}6)\) og \((90,\; 39{,}2)\):

Deler likning (2) på likning (1):

Setter \(b\) tilbake i likning (1):

Alternativt kan vi bruke regresjon (med alle datapunkter) på en kalkulator, som gir en tilnærmet modell.

b) Gyldighetsområde

Modellen \(T(x) = a \cdot b^x\) er en eksponentiell modell som går mot 0 når \(x \to \infty\). Men i virkeligheten vil temperaturen i geleen nærme seg romtemperaturen på 20 °C, ikke 0 °C.

Vi finner når modellen gir 20 °C:

Modellen gir rimelige verdier for \(x\) mellom ca. 0 og 150 minutter. For større verdier av \(x\) gir modellen temperaturer under romtemperatur, noe som ikke er fysisk rimelig.

Modellen gir heller ikke mening for \(x < 0\) (før geleen ble satt til avkjøling) eller for svært små \(x\) (når den akkurat ble tatt ut av ovnen).

Oppgave 10

Vi skriver om ulikheten:

Vi faktoriserer venstresiden:

Så ulikheten blir:

Dette betyr at vi ser etter der grafen til \(g(x) = x^2 - x - 6\) er over \(x\)-aksen.

Fra skissen ser vi at grafen til \(g(x) = x^2 - x - 6\) (som er en parabel som åpner oppover) har nullpunkter i \(x = -2\) og \(x = 3\). Grafen er positiv (over \(x\)-aksen) til venstre for \(x = -2\) og til høyre for \(x = 3\).

Skissen viser nettopp grafen til \(f(x) = x^2 - x - 6\) med de markerte nullpunktene i \(x = -2\) og \(x = 3\). Ulikheten \(x^2 - x - 6 > 0\) er oppfylt der grafen ligger over \(x\)-aksen.

Oppgave 11

a) Finn antall fyrstikker per figur

Vi teller fyrstikker i hver figur. Figur \(n\) består av \(n^2\) små kvadrater arrangert i et \(n \times n\)-rutenett.

I et \(n \times n\)-rutenett er antall fyrstikker:

• Horisontale fyrstikker: \((n+1)\) rader med \(n\) fyrstikker = \(n(n+1)\)
• Vertikale fyrstikker: \((n+1)\) kolonner med \(n\) fyrstikker = \(n(n+1)\)

Kontroll:

• Figur 1: \(F(1) = 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4\) ✔
• Figur 2: \(F(2) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12\) ✔
• Figur 3: \(F(3) = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\) ✔

Det totale antall fyrstikker for å lage figur 1 til figur \(N\) er:

Forenkler:

Vi skal finne største \(N\) slik at \(S(N) \leq 10\,000\):

Vi tester verdier:

• \(N = 23\): \(23 \cdot 24 \cdot 25 = 13\,800 \leq 15\,000\) ✔
• \(N = 24\): \(24 \cdot 25 \cdot 26 = 15\,600 > 15\,000\) ✘

b) Fyrstikker til overs

Antall fyrstikker igjen:

Oppgave 12

a) Lineær modell

Vi kjenner to punkter: \((0, 280)\) og \((20, 40)\).

Stigningstallet:

Startverdien (skjæring med \(y\)-aksen) er 280.

b) Eksponentiell modell

Vi bruker formen \(K(x) = K_0 \cdot b^x\), der \(K_0 = 280\).

Setter inn \(K(20) = 40\):

Beregner \(b\):

Oppgave 13

Linjen \(y = \frac{1}{2}x + 2\) har stigningstall \(\frac{1}{2}\). Tangentene skal være parallelle, så de har også stigningstall \(\frac{1}{2}\).

Vi finner der \(f'(x) = \frac{1}{2}\):

Tangent i \(x_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}\):

Tangentlikningen: \(y - y_1 = \frac{1}{2}(x - x_1)\)

Skjæring med \(x\)-aksen (\(y = 0\)):

Tangent i \(x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}\):

Tangentlikningen:

Skjæring med \(x\)-aksen (\(y = 0\)):

Oppgave 14

a) Finn sammenhengen

Vi finner nullpunktene til eksempelpolynomene:

For \(f(x) = x^2 - 5x + 6\):

For \(g(x) = 6x^2 - 5x + 1\):

Vi ser at nullpunktene til \(g\) er de inverse (resiproke) av nullpunktene til \(f\):

b) Bevis

La \(f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0\) være et polynom av grad \(n\).

Da er \(g(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_n\) polynomet med omvendt rekkefølge på koeffisientene.

Vi skal vise: Dersom \(f(r) = 0\) og \(r \neq 0\), så er \(g\left(\frac{1}{r}\right) = 0\).

Vi beregner \(g\left(\frac{1}{r}\right)\):

Ganger med \(r^n\):

Vi kjenner igjen høyre side som \(f(r)\):

Siden \(f(r) = 0\):

Siden \(r \neq 0\) er \(r^n \neq 0\), så vi må ha:

Dermed er \(\frac{1}{r}\) et nullpunkt for \(g\). ■

Oppgave 15

Steg 1: Finn skjæringspunktene generelt

Vi setter \(f(x) = g(x)\):

Tilhørende \(y\)-verdi:

Skjæringspunktet er \(\left(\sqrt{\frac{b}{a}},\; \sqrt{ab}\right)\).

Steg 2: Krav for hele tall

For at begge koordinatene skal være positive hele tall, trenger vi:

1. \(\sqrt{\frac{b}{a}} \in \mathbb{N}\), dvs. \(\frac{b}{a}\) må være et perfekt kvadrat.
2. \(\sqrt{ab} \in \mathbb{N}\), dvs. \(ab\) må være et perfekt kvadrat.

La \(\frac{b}{a} = k^2\) for et naturlig tall \(k\), så \(b = ak^2\).

Da er \(ab = a \cdot ak^2 = a^2k^2 = (ak)^2\), som automatisk er et perfekt kvadrat. ✔

Dermed holder det at \(b = ak^2\) for et naturlig tall \(k\).

Steg 3: Systematisk utforskning

For \(a = 1\): \(b = k^2\) for \(k = 1, 2, 3, \ldots\)

\(k\)	\(b\)	Skjæringspunkt
1	1	\((1, 1)\)
2	4	\((2, 2)\)
3	9	\((3, 3)\)
4	16	\((4, 4)\)

Mønsteret er: \(b = k^2\) gir skjæringspunktet \((k, k)\).

For \(a = 2\): \(b = 2k^2\) for \(k = 1, 2, 3, \ldots\)

\(k\)	\(b\)	Skjæringspunkt
1	2	\((1, 2)\)
2	8	\((2, 4)\)
3	18	\((3, 6)\)

Mønsteret er: \(b = 2k^2\) gir skjæringspunktet \((k, 2k)\).

For \(a = 3\): \(b = 3k^2\) for \(k = 1, 2, 3, \ldots\)

\(k\)	\(b\)	Skjæringspunkt
1	3	\((1, 3)\)
2	12	\((2, 6)\)
3	27	\((3, 9)\)

Mønsteret er: \(b = 3k^2\) gir skjæringspunktet \((k, 3k)\), eller generelt \((k, ak)\).

Steg 4: Generell konklusjon

For vilkårlig \(a \in \mathbb{N}\) gir \(b = ak^2\) (der \(k \in \mathbb{N}\)) skjæringspunktet:

Oppgave 16

Steg 1: Identifiser trekanten

Cosinussetningen sier:

Vi sammenligner med \(a^2 = 8^2 + x^2 - 8x = 64 + x^2 - 8x\):

• \(b = 8\), \(c = x\)
• \(2bc\cos A = 8x\), så \(2 \cdot 8 \cdot x \cdot \cos A = 8x\), som gir \(\cos A = \frac{1}{2}\), altså \(A = 60°\).

Vi har altså en trekant med sidene \(b = 8\), \(c = x\), motstått side \(a\), og vinkel \(A = 60°\) mellom sidene \(b\) og \(c\).

Steg 2: Krav for gyldig trekant

For at trekanten skal eksistere, må \(a > 0\) og \(x > 0\). I tillegg må trekantulikheten være oppfylt:

Vi undersøker likningen \(a^2 = x^2 - 8x + 64\) som funksjon av \(x\):

Fullstendig kvadraters metode: \(x^2 - 8x + 64 = (x-4)^2 + 48\).

Minste verdi av \(a^2\) er \(48\), som oppnås når \(x = 4\). Da er \(a = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\).

Steg 3: Ulike verdier av \(a\)

Minimumstilfellet: \(a = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93\)

Da er \(x = 4\), og vi har en trekant med sider 8, 4 og \(4\sqrt{3}\), og vinkel 60° mellom sidene 8 og 4. Likningen har da én løsning, så det finnes nøyaktig én trekant.

For \(a > 4\sqrt{3}\):

Vi løser \(x^2 - 8x + 64 - a^2 = 0\):

Både \(x_1 = 4 + \sqrt{a^2 - 48}\) og \(x_2 = 4 - \sqrt{a^2 - 48}\) er løsninger.

• \(x_1 > 0\) alltid (siden \(4 + \sqrt{a^2 - 48} > 0\))
• \(x_2 > 0\) når \(\sqrt{a^2 - 48} < 4\), dvs. \(a^2 < 64\), dvs. \(a < 8\)

Så for \(4\sqrt{3} < a < 8\): To mulige trekanter (to positive verdier av \(x\)).

For \(a = 8\): \(x_2 = 0\), så bare én løsning (\(x = 8\)). Da har vi en likesidet trekant med alle sider lik 8.

For \(a > 8\): \(x_2 < 0\), så bare én løsning (\(x_1\)). Det finnes nøyaktig én trekant.

Steg 4: Spesielle tilfeller

Verdi av \(a\)	Verdier av \(x\)	Beskrivelse
\(a = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93\)	\(x = 4\)	Én trekant, \(x\) minst mulig
\(a = 7\)	\(x = 4 \pm 1 = 3\) eller \(5\)	To ulike trekanter
\(a = 8\)	\(x = 8\)	Likesidet trekant
\(a = 10\)	\(x = 4 + \sqrt{52} \approx 11{,}2\)	Én trekant
\(a < 4\sqrt{3}\)	Ingen reell \(x\)	Ingen trekant mulig

Skisse: Tre representative tilfeller (vinkel A = 60° er rød i alle figurer):

(Trekantene endrer form med a: én trekant for a = 4√3, to overlappende trekanter for 4√3 < a < 8, og en likesidet trekant for a = 8.)