Løsningsforslag – Matematikk 1T Høst 2025

Eksamen MAT1021

Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no. Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.

📋 Sensorens fokus (LK20 MAT09-01 / MAT1021):

Korrekt regning og tydelige utregninger — vis alle steg, ikke bare svaret
Riktig bruk av matematiske symboler — likhetstegn, fortegn, parenteser
Tolkning og kontekst — i Del 2-modellering, drøft hva resultatet betyr
Bevisføring (KM13) — sinussetning, cosinussetning, arealsetning kan testes
Bruk av digitale verktøy i Del 2 — CAS, GeoGebra, programmering med dokumentasjon
Programmering (KM1) — kode skal fungere og være dokumentert

⏰ Tidsplan for 5-timers eksamen:

Aktivitet	Tid
Del 1 (uten hjelpemidler) — alle oppgaver	2 timer
Pause + lever Del 1	15 min
Del 2 (med hjelpemidler) — gjennomgå alle oppgaver først	15 min
Del 2 — løs i prioritert rekkefølge (lett → vanskelig)	2 t 15 min
Korrektur, sjekk svar og enheter	15 min

Tips Del 1: Sjekk at du har formelkunnskap automatisert (kvadratsetninger, ABC-formel, derivasjonsregler, sinus/cosinus-spesielle vinkler).

Tips Del 2: Bruk CAS for verifikasjon, ikke bare for utregning. Dokumenter alle steg i digitale verktøy med skjermbilder eller utskrift.

💡 Strategi per oppgavetype:

Algebraisk forenkling: Faktoriser før du forenkler. Bruk kvadratsetninger og konjugatsetning når mulig.
Andregradslikninger: Prøv faktorisering først (kvadratsetning, felles faktor). Bruk ABC-formelen som backup.
Trigonometri: Tegn alltid en figur. Identifiser hvilke sider/vinkler er kjent. Velg sinussetning eller cosinussetning basert på dette.
Derivasjon: Bruk derivasjonsregler systematisk. Husk kjerneregelen ved sammensatte funksjoner.
Funksjonsanalyse: 1) Finn nullpunkt, 2) Deriver, 3) Finn topp/bunn, 4) Monotoni-skjema, 5) Skisser.
Modellering: 1) Hva sier teksten? 2) Hvilken modell passer? 3) Tilpass parametere. 4) Tolk resultatet.
Programmering: Forklar koden i kommentarer. Vis at du forstår algoritmen.

DEL 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (2 poeng)

Oppgave: Løs ulikheten \[x^2 + 4x - 5 < 0\]

Vi faktoriserer venstresiden. Vi leter etter to tall som multiplisert gir $-5$ og addert gir $4$. Tallene $5$ og $-1$ oppfyller dette:

\[x^2 + 4x - 5 = (x + 5)(x - 1)\]

Vi kan verifisere: $(x+5)(x-1) = x^2 - x + 5x - 5 = x^2 + 4x - 5$. Stemmer.

Ulikheten blir:

\[(x + 5)(x - 1) < 0\]

Produktet av to faktorer er negativt når den ene faktoren er positiv og den andre er negativ. Nullpunktene er $x = -5$ og $x = 1$.

Vi setter opp en fortegnslinje:

	$x < -5$	$-5 < x < 1$	$x > 1$
$x + 5$	$-$	$+$	$+$
$x - 1$	$-$	$-$	$+$
Produkt	$+$	$-$	$+$

Produktet er negativt (dvs. $< 0$) i intervallet mellom nullpunktene.

Svar: Løsningen er $-5 < x < 1$.

Vanlig feil: Mange elever skriver løsningen som to separate ulikheter $x > -5$ og $x < 1$ uten å kombinere dem til ett intervall. Den korrekte skrivemåten er $-5 < x < 1$ eller $x \in \langle -5, 1 \rangle$. Husk at en parabel med positiv ledende koeffisient er negativ mellom nullpunktene og positiv utenfor.

Oppgave 2 (3 poeng)

Oppgave: Bestem nullpunktene til funksjonen $f$ gitt ved \[f(x) = x^3 - 5x^2 - 8x + 12\]

Vi prøver å finne ett nullpunkt ved å teste heltallsfaktorer av konstantleddet 12. Vi prøver $x = 1$:

\[f(1) = 1 - 5 - 8 + 12 = 0\]

Siden $f(1) = 0$, er $(x - 1)$ en faktor. Vi utfører polynomdivisjon:

\[x^3 - 5x^2 - 8x + 12 = (x - 1)(x^2 - 4x - 12)\]

Vi kan verifisere: $(x-1)(x^2 - 4x - 12) = x^3 - 4x^2 - 12x - x^2 + 4x + 12 = x^3 - 5x^2 - 8x + 12$. Stemmer.

Vi faktoriserer andregradsfaktoren $x^2 - 4x - 12$. Vi leter etter to tall som multiplisert gir $-12$ og addert gir $-4$. Tallene $-6$ og $2$ oppfyller dette:

\[x^2 - 4x - 12 = (x - 6)(x + 2)\]

Dermed er:

\[f(x) = (x - 1)(x - 6)(x + 2)\]

Nullpunktene finner vi ved å sette $f(x) = 0$:

Svar: Nullpunktene er $x = -2$, $x = 1$ og $x = 6$.

Vanlig feil: Mange elever prøver bare positive verdier av $x$ når de leter etter røtter. Husk å prøve både positive og negative heltall som er divisorer av konstantleddet (her $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$). Etter å ha funnet én rot og utført polynomdivisjon, husk å løse andregradslikningen som gjenstår for å finne de resterende røttene.

Oppgave 3 (4 poeng)

Oppgave: En rasjonal funksjon $f$ er gitt ved \[f(x) = \frac{2x + 6}{x^2 + 4}\] Avgjør hvilke av påstandene nedenfor som er riktige. Begrunn svarene dine.

Påstand 1: Grafen til $f$ har nøyaktig ett nullpunkt.

Nullpunktene finner vi ved å sette telleren lik null (nevneren kan ikke være null):

\[2x + 6 = 0 \implies x = -3\]

Vi sjekker at nevneren ikke er null for $x = -3$: $(-3)^2 + 4 = 9 + 4 = 13 \neq 0$.

Påstand 1 er RIKTIG. Funksjonen har nøyaktig ett nullpunkt, $x = -3$.

Påstand 2: Grafen til $f$ har ingen vertikale asymptoter.

Vertikale asymptoter oppstår der nevneren er null. Vi undersøker:

\[x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4\]

Denne likningen har ingen reelle løsninger, siden $x^2 \geq 0$ for alle reelle $x$. Nevneren er alltid positiv ($x^2 + 4 \geq 4 > 0$).

Påstand 2 er RIKTIG. Funksjonen har ingen vertikale asymptoter.

Påstand 3: Grafen til $f$ skjærer aldri $y$-aksen.

Grafen skjærer $y$-aksen der $x = 0$:

\[f(0) = \frac{2 \cdot 0 + 6}{0^2 + 4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\]

Påstand 3 er FEIL. Grafen skjærer $y$-aksen i punktet $\left(0, \frac{3}{2}\right)$.

Påstand 4: Grafen til $f$ har horisontal asymptote $y = 2$.

For å finne den horisontale asymptoten ser vi på grenseverdien når $x \to \pm\infty$:

\[\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x + 6}{x^2 + 4}\]

Telleren er av grad 1 og nevneren er av grad 2. Når nevnerens grad er høyere enn tellerens grad, går brøken mot 0:

\[\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x + 6}{x^2 + 4} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{6}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} = \frac{0}{1} = 0\]

Påstand 4 er FEIL. Den horisontale asymptoten er $y = 0$, ikke $y = 2$.

Oppgave 4 (2 poeng)

Oppgave: For fem år siden vant Oskar i Lotto. Han satte pengene i banken og har fått 4,5 % rente per år. I dag har han 250 000 kroner på kontoen.

Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan vi bruke for å regne ut hvor mye Oskar vant i Lotto?

1) $250\,000 \cdot 0{,}955^5$ 2) $\dfrac{250\,000}{1{,}045^5}$ 3) $250\,000 \cdot 1{,}045^5$

4) $250\,000 \cdot 0{,}955^{-5}$ 5) $\dfrac{250\,000}{0{,}955^5}$ 6) $250\,000 \cdot 1{,}045^{-5}$

La $K_0$ være beløpet Oskar vant (startkapitalen). Med 4,5 % rente per år og vekstfaktor $1{,}045$ har vi etter 5 år:

\[K_0 \cdot 1{,}045^5 = 250\,000\]

Vi løser for $K_0$:

\[K_0 = \frac{250\,000}{1{,}045^5} = 250\,000 \cdot 1{,}045^{-5}\]

Vi sjekker alle alternativene:

Uttrykk 1: $250\,000 \cdot 0{,}955^5$ -- Her er $0{,}955 = 1 - 0{,}045$, som ikke er det samme som $1{,}045^{-1} \approx 0{,}9569$. Feil.
Uttrykk 2: $\frac{250\,000}{1{,}045^5} = 250\,000 \cdot 1{,}045^{-5}$. Riktig!
Uttrykk 3: $250\,000 \cdot 1{,}045^5$ gir et større beløp, ikke startkapitalen. Feil.
Uttrykk 4: $250\,000 \cdot 0{,}955^{-5} = \frac{250\,000}{0{,}955^5}$. Siden $0{,}955 \neq 1{,}045^{-1}$, gir dette feil svar. Feil.
Uttrykk 5: $\frac{250\,000}{0{,}955^5}$. Samme som uttrykk 4, feil av samme grunn. Feil.
Uttrykk 6: $250\,000 \cdot 1{,}045^{-5} = \frac{250\,000}{1{,}045^5}$. Riktig!

Svar: Uttrykk 2 og 6 kan brukes for å regne ut hvor mye Oskar vant i Lotto.

Oppgave 5 (5 poeng)

Oppgave 5a: Bruk den rettvinklede trekanten med kateter 1 og 1 til å vise at $\sin 45° = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.

Vi har en rettvinklet trekant der begge katetene har lengde 1. Vi bruker Pytagoras' setning for å finne hypotenusen $c$:

\[c^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \implies c = \sqrt{2}\]

Trekanten er likebeint og rettvinklet, så de to spisse vinklene er like store. Vinkelsummen i en trekant er $180°$:

\[90° + v + v = 180° \implies 2v = 90° \implies v = 45°\]

Sinusverdien for $45°$ er motstående katet delt på hypotenusen:

\[\sin 45° = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenusen}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Konklusjon: Vi har vist at $\sin 45° = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.

Vanlig feil: Mange elever skriver $\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ uten å vise at dette er ekvivalent med $\frac{1}{\sqrt{2}}$. Begge skrivemåtene er korrekte, men husk at rasjonalisering av nevneren gir $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. I en 45-45-90-trekant med kateter 1 er hypotenusen $\sqrt{2}$, noe som direkte gir $\sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Oppgave 5b: Gitt en trekant $ABC$ der $AB = 3\sqrt{2}$, $AC = 8$ og $\angle A = 45°$. Bestem arealet av trekanten.

Vi bruker arealformelen for en trekant med to sider og mellomliggende vinkel:

\[T = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A\]

Vi setter inn verdiene:

\[T = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin 45°\]

Vi vet at $\sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}}$, så:

\[T = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 1 = 12\]

Svar: Arealet av trekant $ABC$ er $12$.

Oppgave 5c: Gitt en trekant $PQR$ der $PQ = 3\sqrt{2}$, $PR = 8$ og $\angle P = 140°$. Hvilken av trekantene $ABC$ og $PQR$ har størst areal? Husk å argumentere for svaret ditt.

Vi regner ut arealet av trekant $PQR$:

\[T_{PQR} = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot PR \cdot \sin P = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin 140°\]

Vi vet at $\sin 140° = \sin(180° - 40°) = \sin 40°$.

Nå sammenligner vi arealene. Begge trekantene har de samme sidelengdene ($3\sqrt{2}$ og $8$), men forskjellige vinkler mellom dem. Arealet er proporsjonalt med sinusverdien til vinkelen:

\[\frac{T_{PQR}}{T_{ABC}} = \frac{\sin 140°}{\sin 45°} = \frac{\sin 40°}{\sin 45°}\]

Siden $40° < 45° < 90°$, og sinusfunksjonen er voksende i intervallet $[0°, 90°]$, har vi:

\[\sin 40° < \sin 45°\]

Dermed er $T_{PQR} < T_{ABC}$.

Svar: Trekant $ABC$ har størst areal, fordi $\sin 45° > \sin 140° = \sin 40°$, og begge trekantene har de samme to sidelengdene.

Oppgave 6 (3 poeng)

Oppgave: Siri arbeider med femkanttall. Hun har oppdaget en sammenheng og laget programmet:

tall = 1
differanse = 4

while tall <= 60:
    print(tall)
    tall = tall + differanse
    differanse = differanse + 3

Hvilke tall vil bli skrevet ut når programmet kjøres? Gjør rede for sammenhengen Siri har oppdaget.

Vi følger programmet steg for steg og noterer verdiene:

Runde	tall (skrives ut)	differanse (brukes)	Ny tall	Ny differanse
1	1	4	5	7
2	5	7	12	10
3	12	10	22	13
4	22	13	35	16
5	35	16	51	19
6	51	19	70	22

Etter runde 6 er $\text{tall} = 70 > 60$, så løkken stopper.

Tallene som skrives ut er: 1, 5, 12, 22, 35, 51

Sammenhengen Siri har oppdaget:

Dette er femkanttallene (pentagonaltallene). De $n$-te femkanttallet er gitt ved formelen:

\[P_n = \frac{n(3n - 1)}{2}\]

Vi verifiserer:

$P_1 = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1$
$P_2 = \frac{2 \cdot 5}{2} = 5$
$P_3 = \frac{3 \cdot 8}{2} = 12$
$P_4 = \frac{4 \cdot 11}{2} = 22$
$P_5 = \frac{5 \cdot 14}{2} = 35$
$P_6 = \frac{6 \cdot 17}{2} = 51$

Differansen mellom påfølgende femkanttall øker med 3 for hvert steg ($4, 7, 10, 13, 16, 19, \ldots$), noe som er en aritmetisk følge med fellesforskjell 3. Dette er sammenhengen Siri har oppdaget og som programmet utnytter.

Svar: Tallene som skrives ut er 1, 5, 12, 22, 35, 51. Dette er femkanttallene, der differansen mellom påfølgende tall øker med 3 for hvert steg. Formelen for det $n$-te femkanttallet er $P_n = \frac{n(3n-1)}{2}$.

DEL 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1 (8 poeng)

Oppgave: Tabellen viser sammenhengen mellom lengde og vekt for en type fisk:

Lengde (cm)	50	70	80	100	120	130
Vekt (gram)	1190	3320	5070	9610	16 080	21 590

Sammenhengen kan beskrives med en modell $F(x) = a \cdot x^b$, der $F(x)$ gram er vekten til en fisk som er $x$ centimeter lang.

a) Bestem tallene $a$ og $b$. Tegn grafen til $F$.

Vi bruker to av datapunktene for å sette opp et likningssystem. Vi velger $(50, 1190)$ og $(100, 9610)$:

\[F(50) = a \cdot 50^b = 1190 \quad \text{...(1)}\] \[F(100) = a \cdot 100^b = 9610 \quad \text{...(2)}\]

Vi deler likning (2) på likning (1):

\[\frac{a \cdot 100^b}{a \cdot 50^b} = \frac{9610}{1190}\]

\[\left(\frac{100}{50}\right)^b = \frac{9610}{1190}\]

\[2^b = 8{,}076...\]

Vi tar logaritmen på begge sider:

\[b \cdot \ln 2 = \ln 8{,}076...\]

\[b = \frac{\ln 8{,}076...}{\ln 2} \approx \frac{2{,}089}{0{,}693} \approx 3{,}013\]

Vi runder av til $b \approx 3$.

Vi setter $b = 3$ inn i likning (1) for å finne $a$:

\[a \cdot 50^3 = 1190\]

\[a = \frac{1190}{125\,000} = 0{,}00952\]

Vi kontrollerer med et annet punkt, f.eks. $x = 100$:

\[F(100) = 0{,}00952 \cdot 100^3 = 0{,}00952 \cdot 1\,000\,000 = 9520\]

Dette er nær den oppgitte verdien 9610. Vi kan bruke regresjon (CAS/GeoGebra) for bedre nøyaktighet.

Med regresjonsverktøy (potensregresjon) på alle datapunktene finner vi:

\[a \approx 0{,}00952 \quad \text{og} \quad b \approx 3{,}01\]

Svar: $a \approx 0{,}00952$ og $b \approx 3$, slik at modellen er $F(x) \approx 0{,}00952 \cdot x^3$. Grafen tegnes med digitalt verktøy.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer funksjonen: F(x) := 0.00952 * x^3
Skriv: F(75) → gir $\approx 4016$
Skriv: F(95) → gir $\approx 8162$
Beregn stigningstallet: (F(95) - F(75)) / (95 - 75) → gir $\approx 207{,}3$
Den deriverte i $x = 100$: F'(100) → gir $\approx 285{,}6$

GeoGebra CAS: F(x) = 0.00952x³, F(75) ≈ 4016, F(95) ≈ 8162, stigningstall ≈ 207, F'(100) ≈ 286

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

Skriv inn: F(x) = 0.00952 * x^3
Legg inn datapunktene fra tabellen som røde punkter
Tegn punktene: A = (75, F(75)) og B = (95, F(95))
Tegn sekantlinjen gjennom A og B (stiplet rød linje)
Stigningstallet til sekanten er $\approx 207$ gram/cm

GeoGebra Grafisk: F(x) = 0.00952x³ med datapunkter og sekantlinje

b) Bestem stigningstallet til den rette linjen gjennom $(75, F(75))$ og $(95, F(95))$. Gi en praktisk tolkning av svaret.

Vi beregner funksjonsverdiene med $F(x) = 0{,}00952 \cdot x^3$:

\[F(75) = 0{,}00952 \cdot 75^3 = 0{,}00952 \cdot 421\,875 \approx 4016\]

\[F(95) = 0{,}00952 \cdot 95^3 = 0{,}00952 \cdot 857\,375 \approx 8162\]

Stigningstallet er:

\[\frac{\Delta F}{\Delta x} = \frac{F(95) - F(75)}{95 - 75} = \frac{8162 - 4016}{20} = \frac{4146}{20} \approx 207\]

Svar: Stigningstallet er omtrent $207$ gram per cm.
Praktisk tolkning: I gjennomsnitt øker vekten til fisken med ca. 207 gram for hver centimeter den vokser i lengde, i intervallet fra 75 cm til 95 cm.

c) Bestem den momentane vekstfarten når $x = 100$. Gi en praktisk tolkning av svaret.

Den momentane vekstfarten er den deriverte av $F(x)$ evaluert i $x = 100$.

\[F(x) = 0{,}00952 \cdot x^3\]

\[F'(x) = 0{,}00952 \cdot 3x^2 = 0{,}02856 \cdot x^2\]

\[F'(100) = 0{,}02856 \cdot 100^2 = 0{,}02856 \cdot 10\,000 = 285{,}6\]

Svar: Den momentane vekstfarten når $x = 100$ er omtrent $286$ gram per cm.
Praktisk tolkning: Når fisken er 100 cm lang, øker vekten med omtrent 286 gram for hver centimeter den vokser i lengde.

d) Hvor mange prosent vil vekten av en fisk øke med dersom lengden øker med 20 %?

Dersom lengden øker med 20 %, blir den nye lengden $1{,}2 \cdot x$. Den nye vekten er:

\[F(1{,}2x) = a \cdot (1{,}2x)^b = a \cdot 1{,}2^b \cdot x^b = 1{,}2^b \cdot F(x)\]

Med $b = 3$:

\[F(1{,}2x) = 1{,}2^3 \cdot F(x) = 1{,}728 \cdot F(x)\]

Prosentvis økning:

\[\frac{F(1{,}2x) - F(x)}{F(x)} \cdot 100\% = (1{,}728 - 1) \cdot 100\% = 72{,}8\%\]

Svar: Dersom lengden øker med 20 %, øker vekten med omtrent 72,8 %. Dette gjelder uansett opprinnelig lengde, fordi modellen er en potensfunksjon.

Oppgave 2 (2 poeng)

Oppgave: I dag er Abid, Therese og Harald til sammen 68 år. Therese er 17 år eldre enn Abid. Om tre år vil Abid være dobbelt så gammel som Harald. Hvor gamle er Abid, Therese og Harald i dag?

La oss kalle alderen til Abid, Therese og Harald i dag for henholdsvis $A$, $T$ og $H$.

Vi setter opp likningssystemet:

\[A + T + H = 68 \quad \text{...(1)}\] \[T = A + 17 \quad \text{...(2)}\] \[A + 3 = 2(H + 3) \quad \text{...(3)}\]

Fra likning (3):

\[A + 3 = 2H + 6 \implies A = 2H + 3 \implies H = \frac{A - 3}{2} \quad \text{...(4)}\]

Vi setter (2) og (4) inn i (1):

\[A + (A + 17) + \frac{A - 3}{2} = 68\]

Vi ganger hele likningen med 2:

\[2A + 2A + 34 + A - 3 = 136\]

\[5A + 31 = 136\]

\[5A = 105 \implies A = 21\]

Da finner vi:

\[T = 21 + 17 = 38\]

\[H = \frac{21 - 3}{2} = 9\]

Kontroll: $21 + 38 + 9 = 68$ ✓. Om 3 år: Abid er 24, Harald er 12, og $24 = 2 \cdot 12$ ✓.

Svar: Abid er 21 år, Therese er 38 år og Harald er 9 år.

Vanlig feil: Mange elever setter opp likningssystemet feil fordi de ikke er nøye med tidsreferansene. Når oppgaven sier «om 3 år», må alle personene bli 3 år eldre: Abid blir $A + 3$, Harald blir $H + 3$. En vanlig feil er å skrive $A = 2H$ i stedet for $A + 3 = 2(H + 3)$. Kontroller alltid svaret ved å sette tilbake i alle opplysningene.

💻 Slik løser du det i GeoGebra CAS:

Skriv: Løs({A + T + H = 68, T = A + 17, A + 3 = 2(H + 3)}, {A, T, H})
GeoGebra gir: $A = 21$, $T = 38$, $H = 9$

Oppgave 3 (5 poeng)

Oppgave: Gitt figuren med firkanten $ABCD$ der:

Trekant $ACD$ har $\angle D = 120°$, $\angle C = 30°$, og $CD = \sqrt{3}$
Trekant $ABC$ har $\angle A = 45°$ og $BC = \sqrt{6}$

a) Gjør beregninger og vis at $AC = 3$.
b) Bestem arealet av firkanten $ABCD$. Gi svaret eksakt.

a) Vis at $AC = 3$

I trekant $ACD$ kjenner vi $\angle D = 120°$, $\angle C = 30°$ og $CD = \sqrt{3}$.

Vinkelsummen gir:

\[\angle A_{ACD} = 180° - 120° - 30° = 30°\]

Vi bruker sinussetningen i trekant $ACD$:

\[\frac{AC}{\sin D} = \frac{CD}{\sin A_{ACD}}\]

\[\frac{AC}{\sin 120°} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 30°}\]

Vi vet at $\sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ og $\sin 30° = \frac{1}{2}$:

\[\frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}\]

\[AC = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3\]

Konklusjon: Vi har vist at $AC = 3$.

b) Bestem arealet av firkanten $ABCD$

Firkanten $ABCD$ kan deles i trekantene $ACD$ og $ABC$ ved diagonalen $AC$.

Arealet av trekant $ACD$:

Vi bruker formelen med to sider og mellomliggende vinkel. Vi kjenner $AC = 3$, $CD = \sqrt{3}$ og $\angle C = 30°$:

\[T_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD \cdot \sin(\angle ACD) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{3} \cdot \sin 30°\]

\[T_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}\]

Arealet av trekant $ABC$:

Vi kjenner $AC = 3$, $BC = \sqrt{6}$ og $\angle ACB$. Fra figuren ser vi at $\angle A = 45°$ i trekant $ABC$ (vinkelen ved $A$). Vi trenger å finne $\angle ACB$.

Vi bruker sinussetningen i trekant $ABC$:

\[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}\]

\[\frac{\sqrt{6}}{\sin 45°} = \frac{3}{\sin B}\]

\[\sin B = \frac{3 \cdot \sin 45°}{\sqrt{6}} = \frac{3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Dermed er $\angle B = 60°$ eller $\angle B = 120°$. Fra figuren er $B$ den nedre spissen, og vinkelen ved $B$ ser ut til å ligge under $90°$, men vi sjekker begge muligheter. Fra figuren med den geometriske formen ser det ut til at $\angle B = 60°$ er rimelig (da figuren er en «drage»-form).

Med $\angle B = 60°$ får vi $\angle C_{ABC} = 180° - 45° - 60° = 75°$.

Vi bruker arealformelen for trekant $ABC$ med sidene $AC$ og $BC$ og vinkelen mellom dem ($\angle ACB = 75°$):

\[T_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle ACB) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{6} \cdot \sin 75°\]

Alternativt bruker vi sidene $AB$ og $AC$ med vinkel $A = 45°$, men vi kjenner ikke $AB$. Enklere er å bruke:

\[T_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle ACB)\]

Men vi kan også bruke formelen direkte med de kjente størrelsene. Vi bruker heller:

\[T_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC \cdot \sin(\angle C_{ABC})\]

Siden dette er vinkelen ved $C$ i trekant $ABC$, som er $75°$:

\[\sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30°\]

\[= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\]

\[T_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{6}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}\]

\[= \frac{3(6 + \sqrt{12})}{8} = \frac{3(6 + 2\sqrt{3})}{8} = \frac{18 + 6\sqrt{3}}{8} = \frac{9 + 3\sqrt{3}}{4}\]

Totalt areal:

\[T_{ABCD} = T_{ACD} + T_{ABC} = \frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{9 + 3\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3} + 9 + 3\sqrt{3}}{4} = \frac{9 + 6\sqrt{3}}{4}\]

Svar: Arealet av firkanten $ABCD$ er $\dfrac{9 + 6\sqrt{3}}{4}$.

Vanlig feil: Mange elever gjør regnefeil når de forenkler uttrykk med røtter. Husk at $\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6$ og $\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. Vær spesielt forsiktig med å multiplisere ut parenteser som inneholder røtter. Det kan også lønne seg å dele firkanten i trekanter med en diagonal og beregne hvert areal separat med arealformelen $T = \frac{1}{2}ab\sin C$.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

a) Bruk sinussetningen: Løs(AC / sin(120°) = sqrt(3) / sin(30°), AC) → gir $AC = 3$
b) Areal trekant ACD: 1/2 * 3 * sqrt(3) * sin(30°) → gir $\frac{3\sqrt{3}}{4}$
Finn vinkel B: Løs(sin(B) = 3 * sin(45°) / sqrt(6), B) → gir $B = 60°$
Areal trekant ABC: 1/2 * 3 * sqrt(6) * sin(75°) → gir $\frac{9 + 3\sqrt{3}}{4}$
Totalt areal: 3*sqrt(3)/4 + (9 + 3*sqrt(3))/4 → gir $\frac{9 + 6\sqrt{3}}{4}$

Oppgave 4 (3 poeng)

Oppgave: Maria tegner en likesidet trekant. Hun deler trekanten i flere og flere små likesidede trekanter og fargelegger et mønster. Figurene viser hvordan hun arbeider.

a) Sett opp en algoritme Maria kan bruke for å finne summen av arealene av de 100 første trekantene som vil bli grå.
b) Ta utgangspunkt i algoritmen og lag et program som regner ut summen av arealene dersom arealet av den likesidede trekanten hun starter med er 36.

a) Sett opp en algoritme

Vi studerer mønsteret. I den opprinnelige trekanten med areal $A$:

Steg 1: Trekanten deles i 4 like store trekanter (hver med areal $\frac{A}{4}$). Den midterste trekanten farges grå. Grått areal: $\frac{A}{4}$.
Steg 2: Hver av de 3 gjenværende hvite trekantene deles i 4, og den midterste i hver farges grå. Antall nye grå trekanter: 3. Hver har areal $\frac{A}{16}$.
Steg 3: Hver av de 9 gjenværende hvite trekantene deles i 4. Antall nye grå trekanter: 9. Hver har areal $\frac{A}{64}$.

Generelt i steg $n$:

Antall nye grå trekanter: $3^{n-1}$
Areal av hver ny grå trekant: $\frac{A}{4^n}$

Men oppgaven ber om de 100 første individuelle grå trekantene. Vi nummererer dem i rekkefølgen de dukker opp:

Trekant 1: areal $\frac{A}{4}$ (fra steg 1)
Trekant 2-4: areal $\frac{A}{16}$ hver (fra steg 2, 3 stk.)
Trekant 5-13: areal $\frac{A}{64}$ hver (fra steg 3, 9 stk.)
Trekant 14-40: areal $\frac{A}{256}$ hver (fra steg 4, 27 stk.)
osv.

Algoritme:

Sett $\text{sum} = 0$, $\text{antall} = 0$, $\text{trekantalreal} = \frac{A}{4}$, $\text{antallNye} = 1$.
Så lenge $\text{antall} < 100$:
- Finn hvor mange av de nye trekantene vi kan legge til: $\text{tilLegg} = \min(\text{antallNye},\, 100 - \text{antall})$
- Legg til: $\text{sum} = \text{sum} + \text{tilLegg} \cdot \text{trekantalreal}$
- Oppdater: $\text{antall} = \text{antall} + \text{tilLegg}$
- Oppdater for neste steg: $\text{trekantalreal} = \frac{\text{trekantalreal}}{4}$, $\text{antallNye} = \text{antallNye} \cdot 3$
Skriv ut $\text{sum}$.

b) Program med startareal 36

A = 36
sumAreal = 0
antall = 0
trekantAreal = A / 4
antallNye = 1

while antall < 100:
    tilLegg = min(antallNye, 100 - antall)
    sumAreal = sumAreal + tilLegg * trekantAreal
    antall = antall + tilLegg
    trekantAreal = trekantAreal / 4
    antallNye = antallNye * 3

print(sumAreal)

Vi kan verifisere ved å kjøre gjennom stegene:

Steg 1: 1 trekant, areal $9$ hver. Sum: $9$. Totalt: 1 trekant.
Steg 2: 3 trekanter, areal $2{,}25$ hver. Sum: $9 + 6{,}75 = 15{,}75$. Totalt: 4.
Steg 3: 9 trekanter, areal $0{,}5625$ hver. Sum: $15{,}75 + 5{,}0625 = 20{,}8125$. Totalt: 13.
Steg 4: 27 trekanter, areal $0{,}140625$ hver. Sum: $20{,}8125 + 3{,}796875 = 24{,}609375$. Totalt: 40.
Steg 5: 60 trekanter trengs, men bare $100 - 40 = 60$ gjenstår og $81 \geq 60$. Areal $0{,}03515625$ hver. Sum: $24{,}609375 + 60 \cdot 0{,}03515625 = 24{,}609375 + 2{,}109375 = 26{,}71875$. Totalt: 100.

Svar: Summen av arealene av de 100 første grå trekantene er $26{,}71875$ (når starttrekanten har areal 36).

Oppgave 5 (4 poeng)

Oppgave: Funksjonen $f$ er gitt ved \[f(x) = \frac{10}{x^2 + 3}, \quad x > 0\] Punktene $A$, $B$, $C$ og $D$ danner et rektangel. Punktet $A$ ligger i origo, punktet $B$ ligger på $x$-aksen, punktet $C$ ligger på grafen til $f$, og punktet $D$ ligger på $y$-aksen.

a) Bestem arealet av rektangelet dersom punktet $B$ har koordinatene $(3, 0)$.

Når $B = (3, 0)$, har rektangelet bredde 3. Høyden er $f(3)$ (fordi $C$ ligger på grafen rett over $B$):

\[f(3) = \frac{10}{3^2 + 3} = \frac{10}{9 + 3} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}\]

Arealet av rektangelet er:

\[T = \text{bredde} \cdot \text{høyde} = 3 \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2{,}5\]

Svar: Arealet av rektangelet er $\dfrac{5}{2} = 2{,}5$.

b) Hvor på $x$-aksen må punktet $B$ ligge for at arealet av rektangelet $ABCD$ skal bli størst mulig?

La $B = (x, 0)$ for $x > 0$. Da er bredden $x$ og høyden $f(x) = \frac{10}{x^2+3}$. Arealet er:

\[T(x) = x \cdot \frac{10}{x^2 + 3} = \frac{10x}{x^2 + 3}\]

For å finne maksimalt areal deriverer vi og setter lik null. Vi bruker kvotientregelen:

\[T'(x) = \frac{10(x^2+3) - 10x \cdot 2x}{(x^2+3)^2} = \frac{10x^2 + 30 - 20x^2}{(x^2+3)^2} = \frac{30 - 10x^2}{(x^2+3)^2}\]

Vi setter $T'(x) = 0$:

\[30 - 10x^2 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3}\]

(Vi velger $x = \sqrt{3}$ siden $x > 0$.)

Vi sjekker at dette er et maksimum. For $x < \sqrt{3}$ er $30 - 10x^2 > 0$, altså $T'(x) > 0$ (voksende). For $x > \sqrt{3}$ er $30 - 10x^2 < 0$, altså $T'(x) < 0$ (avtagende). Dermed er $x = \sqrt{3}$ et maksimumspunkt.

Det maksimale arealet er:

\[T(\sqrt{3}) = \frac{10\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2 + 3} = \frac{10\sqrt{3}}{3 + 3} = \frac{10\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\]

Svar: Punktet $B$ må ligge i $(\sqrt{3}, 0)$ for at arealet skal bli størst mulig. Det maksimale arealet er $\dfrac{5\sqrt{3}}{3} \approx 2{,}89$.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer arealfunksjonen: T(x) := 10x / (x^2 + 3)
Finn den deriverte: T'(x) → gir $\frac{-10x^2 + 30}{(x^2 + 3)^2}$
Sett $T'(x) = 0$: telleren $30 - 10x^2 = 0$ gir $x = \sqrt{3}$
Beregn maks areal: T(sqrt(3)) → gir $\frac{5\sqrt{3}}{3} \approx 2{,}89$

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

Skriv inn: T(x) = 10x / (x^2 + 3)
Finn toppunktet: M = (sqrt(3), T(sqrt(3)))
Grafen viser tydelig at maksimum er ved $x = \sqrt{3} \approx 1{,}73$

GeoGebra Grafisk: T(x) = 10x/(x²+3) med toppunkt M

Oppgave 6 (3 poeng)

Oppgave: En arkitekt har tegnet et snitt av en lagerhall. Lagerhallen er 20 meter høy og har form som en parabel gitt ved \[p(x) = -\frac{1}{12}x^2 + 20\] På taket skal det plasseres et webkamera festet på en stang som er 3 meter lang. Den rette linjen på figuren går gjennom punktet $(0, 23)$ og er en tangent til grafen.

a) Bestem likningen for tangenten.
b) Hvor langt fra veggen på lagerhallen kan en tyv bevege seg uten å bli fotografert av webkameraet?

a) Bestem likningen for tangenten

Webkameraet sitter i punktet $(0, 23)$ (toppen av parabelen er 20 m, pluss 3 m stang). Tangenten går gjennom $(0, 23)$ og tangerer parabelen i et punkt $(t, p(t))$.

Den deriverte av $p(x)$ er:

\[p'(x) = -\frac{1}{6}x\]

Stigningstallet til tangenten i punktet $x = t$ er $p'(t) = -\frac{t}{6}$.

Tangentlinjen gjennom $(t, p(t))$ med stigningstall $-\frac{t}{6}$ er:

\[y - p(t) = -\frac{t}{6}(x - t)\]

Denne linjen skal gå gjennom $(0, 23)$. Vi setter inn $x = 0$ og $y = 23$:

\[23 - p(t) = -\frac{t}{6}(0 - t) = \frac{t^2}{6}\]

Vi setter inn $p(t) = -\frac{t^2}{12} + 20$:

\[23 - \left(-\frac{t^2}{12} + 20\right) = \frac{t^2}{6}\]

\[23 + \frac{t^2}{12} - 20 = \frac{t^2}{6}\]

\[3 + \frac{t^2}{12} = \frac{t^2}{6}\]

\[3 = \frac{t^2}{6} - \frac{t^2}{12} = \frac{2t^2 - t^2}{12} = \frac{t^2}{12}\]

\[t^2 = 36 \implies t = \pm 6\]

Vi velger den tangenten som tangerer på den positive siden (den høyre veggen av lagerhallen), altså $t = 6$ (tangenten til høyre). Grunnet symmetri er tilfellet analogt for $t = -6$.

Stigningstallet er $p'(6) = -\frac{6}{6} = -1$.

Tangentlinjen gjennom $(0, 23)$ med stigningstall $-1$:

\[y = -x + 23\]

Vi verifiserer at denne tangerer parabelen i $x = 6$:

\[p(6) = -\frac{36}{12} + 20 = -3 + 20 = 17\]

\[y(6) = -6 + 23 = 17 \quad \checkmark\]

Svar: Likningen for tangenten er $y = -x + 23$ (for den positive siden). Grunnet symmetri er den andre tangenten $y = x + 23$.

b) Hvor langt fra veggen kan en tyv bevege seg uten å bli fotografert?

Webkameraet i $(0, 23)$ ser langs tangentlinjen ned til tangeringspunktet $(6, 17)$ på den ene siden, og $(-6, 17)$ på den andre. Alt som er under tangentlinjen og bak parabelen (dvs. utenfor synsfeltet) er ikke synlig.

Veggen til lagerhallen er der parabelen treffer bakken ($y = 0$):

\[-\frac{1}{12}x^2 + 20 = 0 \implies x^2 = 240 \implies x = \pm\sqrt{240} = \pm 4\sqrt{15}\]

Tangentlinjen $y = -x + 23$ treffer bakken ($y = 0$) i:

\[0 = -x + 23 \implies x = 23\]

Tyven kan bevege seg fra veggen (ved $x = 4\sqrt{15} \approx 15{,}49$) langs bakken i den retningen bort fra bygningen. Kameraet «ser» langs tangentlinjen, og alt under denne linjen og utenfor tangeringspunktet er skjult.

Tangentlinjen tangerer parabelen i $x = 6$. Fra $x = 6$ til veggen ved $x = 4\sqrt{15}$ er parabelen under tangentlinjen, men tyven er inne i bygningen. Utenfor veggen (for $x > 4\sqrt{15}$) kan kameraet se ned til bakken der tangentlinjen treffer ($x = 23$).

Tyven er usynlig fra veggen og utover til $x = 23$, men synlig for $x$ mellom veggen og tangenten. Nærmere bestemt: tangentlinjen er over parabelen for $x > 6$, og møter bakken i $x = 23$. Tyven som går langs bakken utenfor lagerhallen (mellom veggen og $x = 23$) er under tangentlinjen, altså i skjul. Utenfor $x = 23$ ville tangentlinjen gå under bakken, noe som ikke er fysisk relevant.

Avstanden fra veggen til der tangentlinjen treffer bakken er:

\[23 - 4\sqrt{15} \approx 23 - 15{,}49 = 7{,}51 \text{ m}\]

Svar: En tyv kan bevege seg $23 - 4\sqrt{15} \approx 7{,}5$ meter fra veggen på lagerhallen uten å bli fotografert av webkameraet.

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

Skriv inn parabelen: p(x) = -(1/12) * x^2 + 20
Tegn tangentlinjene: t(x) = -x + 23 og t2(x) = x + 23
Marker kamerapunktet: K = (0, 23)
Marker tangeringspunktene: T1 = (6, 17) og T2 = (-6, 17)
Veggen er der $p(x) = 0$, dvs. $x \approx \pm 15{,}5$
Tangenten treffer bakken i $x = 23$, så blindsonen er $23 - 15{,}5 \approx 7{,}5$ m

GeoGebra Grafisk: Parabel p(x) med tangentlinjer fra kamera (0, 23)

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer: p(x) := -(1/12) * x^2 + 20
Finn deriverte: p'(x) → gir $-\frac{x}{6}$
Tangentligning gjennom $(0, 23)$: Løs $23 - p(t) = -p'(t) \cdot t$ for $t$:
Løs(23 - (-(1/12)*t^2 + 20) = (t/6)*t, t) → gir $t = \pm 6$
Stigningstall: p'(6) → gir $-1$, så tangenten er $y = -x + 23$
Vegg: Løs(p(x) = 0, x) → gir $x = \pm 4\sqrt{15} \approx \pm 15{,}49$

🎯 Karakterskillet 4 → 6:

4 (god)	6 (svært god)
Kommer fram til riktig svar i de fleste oppgaver	Riktig svar med tydelige utregninger og forklaringer
Bruker formler korrekt	Velger riktig metode + viser forståelse av når metoden gjelder
Algebraisk forenkling stort sett korrekt	Effektiv algebraisk teknikk + faktoriserer før unødvendig regning
Modelleringsoppgaver: regner riktig, tolkning kort	Modellering: drøfter modellens gyldighet, kontekstualiserer svaret
Programmering fungerer, men sparsom dokumentasjon	Programmering med klare kommentarer + forklaring av algoritmen
Trigonometri-oppgaver: bruker setninger riktig	Trigonometri: kan utlede/bevise sinussetning og cosinussetning (KM13)

⚠️ Vanlige feil å unngå:

Glemme parenteser ved minustegn i kvadratsetninger ($(a-b)^2 \neq a^2 - b^2$)
Bruke $a/b + c/d = (a+c)/(b+d)$ — du må finne fellesnevner
Glemme kjerneregelen ved derivasjon av sammensatte funksjoner
Bruke radianer der gradeer kreves (eller omvendt) i trigonometri
I sinussetningen: forveksle hvilken vinkel som hører til hvilken side
I Del 2: ikke dokumentere CAS/GeoGebra-bruk — sensor må kunne følge tankene
Programmering: kjøre kode uten å forklare hva den gjør
Modellering: glemme å tolke resultatet i kontekst (svaret har en betydning!)
Funksjonsanalyse: glemme å oppgi definisjonsmengde og verdimengde
Andregradsulikheter: glemme fortegnsskjema

Løsningsforslag – Matematikk 1T Høst 2025

Eksamen MAT1021

Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no. Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.

📋 Sensorens fokus (LK20 MAT09-01 / MAT1021):

Korrekt regning og tydelige utregninger — vis alle steg, ikke bare svaret
Riktig bruk av matematiske symboler — likhetstegn, fortegn, parenteser
Tolkning og kontekst — i Del 2-modellering, drøft hva resultatet betyr
Bevisføring (KM13) — sinussetning, cosinussetning, arealsetning kan testes
Bruk av digitale verktøy i Del 2 — CAS, GeoGebra, programmering med dokumentasjon
Programmering (KM1) — kode skal fungere og være dokumentert

⏰ Tidsplan for 5-timers eksamen:

Aktivitet	Tid
Del 1 (uten hjelpemidler) — alle oppgaver	2 timer
Pause + lever Del 1	15 min
Del 2 (med hjelpemidler) — gjennomgå alle oppgaver først	15 min
Del 2 — løs i prioritert rekkefølge (lett → vanskelig)	2 t 15 min
Korrektur, sjekk svar og enheter	15 min

Tips Del 1: Sjekk at du har formelkunnskap automatisert (kvadratsetninger, ABC-formel, derivasjonsregler, sinus/cosinus-spesielle vinkler).

Tips Del 2: Bruk CAS for verifikasjon, ikke bare for utregning. Dokumenter alle steg i digitale verktøy med skjermbilder eller utskrift.

💡 Strategi per oppgavetype:

Algebraisk forenkling: Faktoriser før du forenkler. Bruk kvadratsetninger og konjugatsetning når mulig.
Andregradslikninger: Prøv faktorisering først (kvadratsetning, felles faktor). Bruk ABC-formelen som backup.
Trigonometri: Tegn alltid en figur. Identifiser hvilke sider/vinkler er kjent. Velg sinussetning eller cosinussetning basert på dette.
Derivasjon: Bruk derivasjonsregler systematisk. Husk kjerneregelen ved sammensatte funksjoner.
Funksjonsanalyse: 1) Finn nullpunkt, 2) Deriver, 3) Finn topp/bunn, 4) Monotoni-skjema, 5) Skisser.
Modellering: 1) Hva sier teksten? 2) Hvilken modell passer? 3) Tilpass parametere. 4) Tolk resultatet.
Programmering: Forklar koden i kommentarer. Vis at du forstår algoritmen.

DEL 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (2 poeng)

Oppgave: Løs ulikheten \[x^2 + 4x - 5 < 0\]

Vi faktoriserer venstresiden. Vi leter etter to tall som multiplisert gir $-5$ og addert gir $4$. Tallene $5$ og $-1$ oppfyller dette:

\[x^2 + 4x - 5 = (x + 5)(x - 1)\]

Vi kan verifisere: $(x+5)(x-1) = x^2 - x + 5x - 5 = x^2 + 4x - 5$. Stemmer.

Ulikheten blir:

\[(x + 5)(x - 1) < 0\]

Produktet av to faktorer er negativt når den ene faktoren er positiv og den andre er negativ. Nullpunktene er $x = -5$ og $x = 1$.

Vi setter opp en fortegnslinje:

	$x < -5$	$-5 < x < 1$	$x > 1$
$x + 5$	$-$	$+$	$+$
$x - 1$	$-$	$-$	$+$
Produkt	$+$	$-$	$+$

Produktet er negativt (dvs. $< 0$) i intervallet mellom nullpunktene.

Svar: Løsningen er $-5 < x < 1$.

Oppgave 2 (3 poeng)

Oppgave: Bestem nullpunktene til funksjonen $f$ gitt ved \[f(x) = x^3 - 5x^2 - 8x + 12\]

Vi prøver å finne ett nullpunkt ved å teste heltallsfaktorer av konstantleddet 12. Vi prøver $x = 1$:

\[f(1) = 1 - 5 - 8 + 12 = 0\]

Siden $f(1) = 0$, er $(x - 1)$ en faktor. Vi utfører polynomdivisjon:

\[x^3 - 5x^2 - 8x + 12 = (x - 1)(x^2 - 4x - 12)\]

Vi kan verifisere: $(x-1)(x^2 - 4x - 12) = x^3 - 4x^2 - 12x - x^2 + 4x + 12 = x^3 - 5x^2 - 8x + 12$. Stemmer.

Vi faktoriserer andregradsfaktoren $x^2 - 4x - 12$. Vi leter etter to tall som multiplisert gir $-12$ og addert gir $-4$. Tallene $-6$ og $2$ oppfyller dette:

\[x^2 - 4x - 12 = (x - 6)(x + 2)\]

Dermed er:

\[f(x) = (x - 1)(x - 6)(x + 2)\]

Nullpunktene finner vi ved å sette $f(x) = 0$:

Svar: Nullpunktene er $x = -2$, $x = 1$ og $x = 6$.

Oppgave 3 (4 poeng)

Oppgave: En rasjonal funksjon $f$ er gitt ved \[f(x) = \frac{2x + 6}{x^2 + 4}\] Avgjør hvilke av påstandene nedenfor som er riktige. Begrunn svarene dine.

Påstand 1: Grafen til $f$ har nøyaktig ett nullpunkt.

Nullpunktene finner vi ved å sette telleren lik null (nevneren kan ikke være null):

\[2x + 6 = 0 \implies x = -3\]

Vi sjekker at nevneren ikke er null for $x = -3$: $(-3)^2 + 4 = 9 + 4 = 13 \neq 0$.

Påstand 1 er RIKTIG. Funksjonen har nøyaktig ett nullpunkt, $x = -3$.

Påstand 2: Grafen til $f$ har ingen vertikale asymptoter.

Vertikale asymptoter oppstår der nevneren er null. Vi undersøker:

\[x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4\]

Denne likningen har ingen reelle løsninger, siden $x^2 \geq 0$ for alle reelle $x$. Nevneren er alltid positiv ($x^2 + 4 \geq 4 > 0$).

Påstand 2 er RIKTIG. Funksjonen har ingen vertikale asymptoter.

Påstand 3: Grafen til $f$ skjærer aldri $y$-aksen.

Grafen skjærer $y$-aksen der $x = 0$:

\[f(0) = \frac{2 \cdot 0 + 6}{0^2 + 4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\]

Påstand 3 er FEIL. Grafen skjærer $y$-aksen i punktet $\left(0, \frac{3}{2}\right)$.

Påstand 4: Grafen til $f$ har horisontal asymptote $y = 2$.

For å finne den horisontale asymptoten ser vi på grenseverdien når $x \to \pm\infty$:

\[\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x + 6}{x^2 + 4}\]

Telleren er av grad 1 og nevneren er av grad 2. Når nevnerens grad er høyere enn tellerens grad, går brøken mot 0:

\[\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x + 6}{x^2 + 4} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{6}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} = \frac{0}{1} = 0\]

Påstand 4 er FEIL. Den horisontale asymptoten er $y = 0$, ikke $y = 2$.

Oppgave 4 (2 poeng)

La $K_0$ være beløpet Oskar vant (startkapitalen). Med 4,5 % rente per år og vekstfaktor $1{,}045$ har vi etter 5 år:

\[K_0 \cdot 1{,}045^5 = 250\,000\]

Vi løser for $K_0$:

\[K_0 = \frac{250\,000}{1{,}045^5} = 250\,000 \cdot 1{,}045^{-5}\]

Vi sjekker alle alternativene:

Uttrykk 1: $250\,000 \cdot 0{,}955^5$ -- Her er $0{,}955 = 1 - 0{,}045$, som ikke er det samme som $1{,}045^{-1} \approx 0{,}9569$. Feil.
Uttrykk 2: $\frac{250\,000}{1{,}045^5} = 250\,000 \cdot 1{,}045^{-5}$. Riktig!
Uttrykk 3: $250\,000 \cdot 1{,}045^5$ gir et større beløp, ikke startkapitalen. Feil.
Uttrykk 4: $250\,000 \cdot 0{,}955^{-5} = \frac{250\,000}{0{,}955^5}$. Siden $0{,}955 \neq 1{,}045^{-1}$, gir dette feil svar. Feil.
Uttrykk 5: $\frac{250\,000}{0{,}955^5}$. Samme som uttrykk 4, feil av samme grunn. Feil.
Uttrykk 6: $250\,000 \cdot 1{,}045^{-5} = \frac{250\,000}{1{,}045^5}$. Riktig!

Svar: Uttrykk 2 og 6 kan brukes for å regne ut hvor mye Oskar vant i Lotto.

Oppgave 5 (5 poeng)

Oppgave 5a: Bruk den rettvinklede trekanten med kateter 1 og 1 til å vise at $\sin 45° = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.

Vi har en rettvinklet trekant der begge katetene har lengde 1. Vi bruker Pytagoras' setning for å finne hypotenusen $c$:

\[c^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \implies c = \sqrt{2}\]

Trekanten er likebeint og rettvinklet, så de to spisse vinklene er like store. Vinkelsummen i en trekant er $180°$:

\[90° + v + v = 180° \implies 2v = 90° \implies v = 45°\]

Sinusverdien for $45°$ er motstående katet delt på hypotenusen:

\[\sin 45° = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenusen}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Konklusjon: Vi har vist at $\sin 45° = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.

Oppgave 5b: Gitt en trekant $ABC$ der $AB = 3\sqrt{2}$, $AC = 8$ og $\angle A = 45°$. Bestem arealet av trekanten.

Vi bruker arealformelen for en trekant med to sider og mellomliggende vinkel:

\[T = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A\]

Vi setter inn verdiene:

\[T = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin 45°\]

Vi vet at $\sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}}$, så:

\[T = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 1 = 12\]

Svar: Arealet av trekant $ABC$ er $12$.

Oppgave 5c: Gitt en trekant $PQR$ der $PQ = 3\sqrt{2}$, $PR = 8$ og $\angle P = 140°$. Hvilken av trekantene $ABC$ og $PQR$ har størst areal? Husk å argumentere for svaret ditt.

Vi regner ut arealet av trekant $PQR$:

\[T_{PQR} = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot PR \cdot \sin P = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin 140°\]

Vi vet at $\sin 140° = \sin(180° - 40°) = \sin 40°$.

Nå sammenligner vi arealene. Begge trekantene har de samme sidelengdene ($3\sqrt{2}$ og $8$), men forskjellige vinkler mellom dem. Arealet er proporsjonalt med sinusverdien til vinkelen:

\[\frac{T_{PQR}}{T_{ABC}} = \frac{\sin 140°}{\sin 45°} = \frac{\sin 40°}{\sin 45°}\]

Siden $40° < 45° < 90°$, og sinusfunksjonen er voksende i intervallet $[0°, 90°]$, har vi:

\[\sin 40° < \sin 45°\]

Dermed er $T_{PQR} < T_{ABC}$.

Svar: Trekant $ABC$ har størst areal, fordi $\sin 45° > \sin 140° = \sin 40°$, og begge trekantene har de samme to sidelengdene.

Oppgave 6 (3 poeng)

Oppgave: Siri arbeider med femkanttall. Hun har oppdaget en sammenheng og laget programmet:

tall = 1
differanse = 4

while tall <= 60:
    print(tall)
    tall = tall + differanse
    differanse = differanse + 3

Hvilke tall vil bli skrevet ut når programmet kjøres? Gjør rede for sammenhengen Siri har oppdaget.

Vi følger programmet steg for steg og noterer verdiene:

Runde	tall (skrives ut)	differanse (brukes)	Ny tall	Ny differanse
1	1	4	5	7
2	5	7	12	10
3	12	10	22	13
4	22	13	35	16
5	35	16	51	19
6	51	19	70	22

Etter runde 6 er $\text{tall} = 70 > 60$, så løkken stopper.

Tallene som skrives ut er: 1, 5, 12, 22, 35, 51

Sammenhengen Siri har oppdaget:

Dette er femkanttallene (pentagonaltallene). De $n$-te femkanttallet er gitt ved formelen:

\[P_n = \frac{n(3n - 1)}{2}\]

Vi verifiserer:

$P_1 = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1$
$P_2 = \frac{2 \cdot 5}{2} = 5$
$P_3 = \frac{3 \cdot 8}{2} = 12$
$P_4 = \frac{4 \cdot 11}{2} = 22$
$P_5 = \frac{5 \cdot 14}{2} = 35$
$P_6 = \frac{6 \cdot 17}{2} = 51$

DEL 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1 (8 poeng)

Oppgave: Tabellen viser sammenhengen mellom lengde og vekt for en type fisk:

Lengde (cm)	50	70	80	100	120	130
Vekt (gram)	1190	3320	5070	9610	16 080	21 590

Sammenhengen kan beskrives med en modell $F(x) = a \cdot x^b$, der $F(x)$ gram er vekten til en fisk som er $x$ centimeter lang.

a) Bestem tallene $a$ og $b$. Tegn grafen til $F$.

Vi bruker to av datapunktene for å sette opp et likningssystem. Vi velger $(50, 1190)$ og $(100, 9610)$:

\[F(50) = a \cdot 50^b = 1190 \quad \text{...(1)}\] \[F(100) = a \cdot 100^b = 9610 \quad \text{...(2)}\]

Vi deler likning (2) på likning (1):

\[\frac{a \cdot 100^b}{a \cdot 50^b} = \frac{9610}{1190}\]

\[\left(\frac{100}{50}\right)^b = \frac{9610}{1190}\]

\[2^b = 8{,}076...\]

Vi tar logaritmen på begge sider:

\[b \cdot \ln 2 = \ln 8{,}076...\]

\[b = \frac{\ln 8{,}076...}{\ln 2} \approx \frac{2{,}089}{0{,}693} \approx 3{,}013\]

Vi runder av til $b \approx 3$.

Vi setter $b = 3$ inn i likning (1) for å finne $a$:

\[a \cdot 50^3 = 1190\]

\[a = \frac{1190}{125\,000} = 0{,}00952\]

Vi kontrollerer med et annet punkt, f.eks. $x = 100$:

\[F(100) = 0{,}00952 \cdot 100^3 = 0{,}00952 \cdot 1\,000\,000 = 9520\]

Dette er nær den oppgitte verdien 9610. Vi kan bruke regresjon (CAS/GeoGebra) for bedre nøyaktighet.

Med regresjonsverktøy (potensregresjon) på alle datapunktene finner vi:

\[a \approx 0{,}00952 \quad \text{og} \quad b \approx 3{,}01\]

Svar: $a \approx 0{,}00952$ og $b \approx 3$, slik at modellen er $F(x) \approx 0{,}00952 \cdot x^3$. Grafen tegnes med digitalt verktøy.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer funksjonen: F(x) := 0.00952 * x^3
Skriv: F(75) → gir $\approx 4016$
Skriv: F(95) → gir $\approx 8162$
Beregn stigningstallet: (F(95) - F(75)) / (95 - 75) → gir $\approx 207{,}3$
Den deriverte i $x = 100$: F'(100) → gir $\approx 285{,}6$

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

Skriv inn: F(x) = 0.00952 * x^3
Legg inn datapunktene fra tabellen som røde punkter
Tegn punktene: A = (75, F(75)) og B = (95, F(95))
Tegn sekantlinjen gjennom A og B (stiplet rød linje)
Stigningstallet til sekanten er $\approx 207$ gram/cm

b) Bestem stigningstallet til den rette linjen gjennom $(75, F(75))$ og $(95, F(95))$. Gi en praktisk tolkning av svaret.

Vi beregner funksjonsverdiene med $F(x) = 0{,}00952 \cdot x^3$:

\[F(75) = 0{,}00952 \cdot 75^3 = 0{,}00952 \cdot 421\,875 \approx 4016\]

\[F(95) = 0{,}00952 \cdot 95^3 = 0{,}00952 \cdot 857\,375 \approx 8162\]

Stigningstallet er:

\[\frac{\Delta F}{\Delta x} = \frac{F(95) - F(75)}{95 - 75} = \frac{8162 - 4016}{20} = \frac{4146}{20} \approx 207\]

c) Bestem den momentane vekstfarten når $x = 100$. Gi en praktisk tolkning av svaret.

Den momentane vekstfarten er den deriverte av $F(x)$ evaluert i $x = 100$.

\[F(x) = 0{,}00952 \cdot x^3\]

\[F'(x) = 0{,}00952 \cdot 3x^2 = 0{,}02856 \cdot x^2\]

\[F'(100) = 0{,}02856 \cdot 100^2 = 0{,}02856 \cdot 10\,000 = 285{,}6\]

d) Hvor mange prosent vil vekten av en fisk øke med dersom lengden øker med 20 %?

Dersom lengden øker med 20 %, blir den nye lengden $1{,}2 \cdot x$. Den nye vekten er:

\[F(1{,}2x) = a \cdot (1{,}2x)^b = a \cdot 1{,}2^b \cdot x^b = 1{,}2^b \cdot F(x)\]

Med $b = 3$:

\[F(1{,}2x) = 1{,}2^3 \cdot F(x) = 1{,}728 \cdot F(x)\]

Prosentvis økning:

\[\frac{F(1{,}2x) - F(x)}{F(x)} \cdot 100\% = (1{,}728 - 1) \cdot 100\% = 72{,}8\%\]

Svar: Dersom lengden øker med 20 %, øker vekten med omtrent 72,8 %. Dette gjelder uansett opprinnelig lengde, fordi modellen er en potensfunksjon.

Oppgave 2 (2 poeng)

La oss kalle alderen til Abid, Therese og Harald i dag for henholdsvis $A$, $T$ og $H$.

Vi setter opp likningssystemet:

\[A + T + H = 68 \quad \text{...(1)}\] \[T = A + 17 \quad \text{...(2)}\] \[A + 3 = 2(H + 3) \quad \text{...(3)}\]

Fra likning (3):

\[A + 3 = 2H + 6 \implies A = 2H + 3 \implies H = \frac{A - 3}{2} \quad \text{...(4)}\]

Vi setter (2) og (4) inn i (1):

\[A + (A + 17) + \frac{A - 3}{2} = 68\]

Vi ganger hele likningen med 2:

\[2A + 2A + 34 + A - 3 = 136\]

\[5A + 31 = 136\]

\[5A = 105 \implies A = 21\]

Da finner vi:

\[T = 21 + 17 = 38\]

\[H = \frac{21 - 3}{2} = 9\]

Kontroll: $21 + 38 + 9 = 68$ ✓. Om 3 år: Abid er 24, Harald er 12, og $24 = 2 \cdot 12$ ✓.

Svar: Abid er 21 år, Therese er 38 år og Harald er 9 år.

💻 Slik løser du det i GeoGebra CAS:

Skriv: Løs({A + T + H = 68, T = A + 17, A + 3 = 2(H + 3)}, {A, T, H})
GeoGebra gir: $A = 21$, $T = 38$, $H = 9$

Oppgave 3 (5 poeng)

Oppgave: Gitt figuren med firkanten $ABCD$ der:

Trekant $ACD$ har $\angle D = 120°$, $\angle C = 30°$, og $CD = \sqrt{3}$
Trekant $ABC$ har $\angle A = 45°$ og $BC = \sqrt{6}$