Løsningsforslag – Matematikk 1T Vår 2022

Eksamen MAT1021

Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no. Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.

📋 Sensorens fokus (LK20 MAT09-01 / MAT1021):

Korrekt regning og tydelige utregninger — vis alle steg, ikke bare svaret
Riktig bruk av matematiske symboler — likhetstegn, fortegn, parenteser
Tolkning og kontekst — i Del 2-modellering, drøft hva resultatet betyr
Bevisføring (KM13) — sinussetning, cosinussetning, arealsetning kan testes
Bruk av digitale verktøy i Del 2 — CAS, GeoGebra, programmering med dokumentasjon
Programmering (KM1) — kode skal fungere og være dokumentert

⏰ Tidsplan for 5-timers eksamen:

Aktivitet	Tid
Del 1 (uten hjelpemidler) — alle oppgaver	2 timer
Pause + lever Del 1	15 min
Del 2 (med hjelpemidler) — gjennomgå alle oppgaver først	15 min
Del 2 — løs i prioritert rekkefølge (lett → vanskelig)	2 t 15 min
Korrektur, sjekk svar og enheter	15 min

Tips Del 1: Sjekk at du har formelkunnskap automatisert (kvadratsetninger, ABC-formel, derivasjonsregler, sinus/cosinus-spesielle vinkler).

Tips Del 2: Bruk CAS for verifikasjon, ikke bare for utregning. Dokumenter alle steg i digitale verktøy med skjermbilder eller utskrift.

💡 Strategi per oppgavetype:

Algebraisk forenkling: Faktoriser før du forenkler. Bruk kvadratsetninger og konjugatsetning når mulig.
Andregradslikninger: Prøv faktorisering først (kvadratsetning, felles faktor). Bruk ABC-formelen som backup.
Trigonometri: Tegn alltid en figur. Identifiser hvilke sider/vinkler er kjent. Velg sinussetning eller cosinussetning basert på dette.
Derivasjon: Bruk derivasjonsregler systematisk. Husk kjerneregelen ved sammensatte funksjoner.
Funksjonsanalyse: 1) Finn nullpunkt, 2) Deriver, 3) Finn topp/bunn, 4) Monotoni-skjema, 5) Skisser.
Modellering: 1) Hva sier teksten? 2) Hvilken modell passer? 3) Tilpass parametere. 4) Tolk resultatet.
Programmering: Forklar koden i kommentarer. Vis at du forstår algoritmen.

DEL 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1a

Oppgave: Løs likningen \[(x - 2)(x + 1) = 0\]

Strategi: Når et produkt av to faktorer er lik null, må minst en av faktorene være lik null. Dette kalles nullpunktregelen.

Vi setter hver faktor lik null:

\[x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2\]

\[x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1\]

Svar: Likningen har løsningene $x = 2$ og $x = -1$.

Vanlig feil: Noen elever prøver å løse likningen ved å utvide parentesene og deretter bruke abc-formelen. Dette er unødvendig når uttrykket allerede er faktorisert. Nullpunktregelen sier direkte at hvis et produkt er null, må minst én av faktorene være null. Denne metoden er raskere og sikrere enn å multiplisere ut.

Oppgave 1b

Oppgave: Sett opp en ulikhet som har løsning $x \in \langle\leftarrow, -1\rangle \cup \langle 2, \rightarrow\rangle$. Husk å begrunne svaret.

Vanlig feil: Mange elever inkluderer endepunktene i løsningsmengden ved å skrive $\leq$ i stedet for $<$ eller bruker klammeparenteser i stedet for vinkelparenteser. Husk at ulikheten er streng ($>$, ikke $\geq$), så nullpunktene selv er ikke med i løsningsmengden. En fortegnslinje er det sikreste verktøyet for å løse polynomiske ulikheter.

Strategi: Løsningen sier at $x < -1$ eller $x > 2$. Vi kan bruke uttrykket fra oppgave 1a og undersøke når produktet er positivt.

Fra oppgave 1a vet vi at $(x - 2)(x + 1) = 0$ har nullpunktene $x = -1$ og $x = 2$. Vi lager en fortegnslinje for å se når produktet er positivt:

Intervall	$x+1$	$x-2$	$(x-2)(x+1)$
$x < -1$	$-$	$-$	$+$
$-1 < x < 2$	$+$	$-$	$-$
$x > 2$	$+$	$+$	$+$

Produktet $(x-2)(x+1)$ er positivt nettopp når $x < -1$ eller $x > 2$. Det er akkurat den oppgitte løsningen.

Svar: Ulikheten $(x - 2)(x + 1) > 0$ har løsning $x \in \langle\leftarrow, -1\rangle \cup \langle 2, \rightarrow\rangle$.

Oppgave 2

Oppgave: Bestem $r$ og $s$ slik at sammenhengen nedenfor blir en identitet: \[9x^2 - 30x + r = (3x - s)^2\]

Strategi: Vi utvider høyre side med andre kvadratsetning og sammenlikner koeffisientene på begge sider.

Høyre side utvides med andre kvadratsetning $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

\[(3x - s)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot s + s^2 = 9x^2 - 6sx + s^2\]

Vi sammenlikner med venstre side $9x^2 - 30x + r$:

Koeffisienten foran $x$:

\[-6s = -30 \quad \Rightarrow \quad s = 5\]

Konstantleddet:

\[r = s^2 = 5^2 = 25\]

Kontroll: Vi sjekker: $(3x - 5)^2 = 9x^2 - 30x + 25$. Stemmer med venstre side når $r = 25$. ✔

Svar: $r = 25$ og $s = 5$.

Vanlig feil: Noen elever glemmer den doble produktfaktoren $2ab$ i andre kvadratsetning, og skriver $(3x - s)^2 = 9x^2 - 3sx + s^2$ i stedet for $9x^2 - 6sx + s^2$. Husk at $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, der $2ab$-leddet har koeffisient 2.

Oppgave 3

Oppgave: Om en rettvinklet trekant $ABC$ får du vite at $\tan \angle B = \dfrac{3}{4}$.

Kan det være riktig at $\sin \angle B = \dfrac{3}{10}$?
Kan det være riktig at den ene kateten er 6 og den andre kateten er 8?
Kan det være riktig at hypotenusen er kortere enn 4?

Husk å begrunne alle tre svarene.

Strategi: Siden $\tan \angle B = \frac{3}{4}$, kan vi sette motstående katet $= 3k$ og hosliggende katet $= 4k$ for en positiv konstant $k$. Så bruker vi Pytagoras for å finne hypotenusen.

Med motstående katet $= 3k$ og hosliggende katet $= 4k$ gir Pytagoras' setning:

\[c = \sqrt{(3k)^2 + (4k)^2} = \sqrt{9k^2 + 16k^2} = \sqrt{25k^2} = 5k\]

Delspørsmål 1: Kan $\sin \angle B = \frac{3}{10}$?

Vi beregner $\sin \angle B$:

\[\sin \angle B = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenuse}} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}\]

Verdien $\frac{3}{5}$ er ikke lik $\frac{3}{10}$. Legg merke til at $\sin \angle B$ er uavhengig av $k$ – forholdet er alltid $\frac{3}{5}$.

Svar: Nei, $\sin \angle B = \frac{3}{5}$, ikke $\frac{3}{10}$. Tangens bestemmer sinus entydig (gitt at vinkelen er spiss).

Vanlig feil: Mange tror at $\sin \angle B$ kan ha hvilken som helst verdi så lenge $\tan \angle B = \frac{3}{4}$. Men tangensverdien bestemmer vinkelen entydig (for spisse vinkler), og dermed er sinus- og cosinusverdien også bestemt. Bruk alltid Pytagoras-triaden $(3k, 4k, 5k)$ for å finne alle trigonometriske verdier fra tangens.

Delspørsmål 2: Kan katetene være 6 og 8?

Hvis motstående katet $= 6$ og hosliggende katet $= 8$, setter vi $3k = 6$ og $4k = 8$, som begge gir $k = 2$. Da er:

\[\tan \angle B = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \quad \checkmark\]

Svar: Ja, katetene kan være 6 og 8. Med $k = 2$ får vi kateter 6 og 8 og hypotenuse 10.

Delspørsmål 3: Kan hypotenusen være kortere enn 4?

Hypotenusen er $c = 5k$. For at $c < 4$ trenger vi:

\[5k < 4 \quad \Rightarrow \quad k < \frac{4}{5} = 0{,}8\]

Siden $k$ kan være et hvilket som helst positivt tall, kan vi for eksempel velge $k = 0{,}5$. Da får vi:

Kateter: $1{,}5$ og $2$
Hypotenuse: $2{,}5 < 4$ ✔

Svar: Ja, hypotenusen kan være kortere enn 4. For eksempel gir $k = 0{,}5$ kateter $1{,}5$ og $2$ og hypotenuse $2{,}5$.

Oppgave 4

Oppgave: Forklar hva som skjer når programmet nedenfor kjøres. Hva blir resultatet?

def f(x):
    return x ** 2    # f(x) = x^2

x = 1

while f(x) <= 400:
    print(f(x))
    x = x + 1

Strategi: Vi leser programmet linje for linje og følger flyten. Nøkkelspørsmål: hva gjør while-løkken, og når stopper den?

Linje 1–2: Definerer funksjonen $f(x) = x^2$.

Linje 4: Setter startverdien $x = 1$.

Linje 6–8: En while-løkke som gjentar så lenge $f(x) = x^2 \leq 400$:

Skriver ut verdien $f(x) = x^2$
Øker $x$ med 1

Gjennomgang av de første og siste iterasjonene:

$x$	$f(x) = x^2$	$x^2 \leq 400$?	Skrives ut
1	1	Ja	1
2	4	Ja	4
3	9	Ja	9
4	16	Ja	16
...
19	361	Ja	361
20	400	Ja	400
21	441	Nei	–

Når $x = 21$ er $f(21) = 441 > 400$, så betingelsen i while-løkken er ikke oppfylt, og løkken stopper.

Svar: Programmet skriver ut alle perfekte kvadrattall fra $1^2 = 1$ til $20^2 = 400$: \[1,\; 4,\; 9,\; 16,\; 25,\; 36,\; 49,\; 64,\; 81,\; 100,\; 121,\; 144,\; 169,\; 196,\; 225,\; 256,\; 289,\; 324,\; 361,\; 400\] Det skrives ut 20 tall.

Oppgave 5

Oppgave: En rasjonal funksjon $f$ har vertikal asymptote $x = -2$ og horisontal asymptote $y = 3$. Bestem to mulige funksjonsuttrykk for $f$. Husk å forklare hvordan du tenker.

Strategi: En vertikal asymptote $x = -2$ betyr at nevneren er null når $x = -2$, altså at $(x+2)$ står i nevneren. En horisontal asymptote $y = 3$ betyr at forholdet mellom ledende koeffisienter er 3 (når teller og nevner har samme grad).

Forslag 1: Vi prøver den enkleste formen:

\[f(x) = \frac{3x}{x + 2}\]

Kontroll: Vertikal asymptote når $x + 2 = 0$, dvs. $x = -2$. ✔
Horisontal asymptote: $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{3x}{x+2} = \frac{3}{1} = 3$. ✔

Forslag 2: Vi legger til en konstant i telleren for å fa en annen funksjon:

\[f(x) = \frac{3x + 1}{x + 2}\]

Kontroll: Vertikal asymptote når $x = -2$. ✔
Horisontal asymptote: $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{3x + 1}{x+2} = \frac{3}{1} = 3$. ✔

Svar: To mulige funksjonsuttrykk er: \[f(x) = \frac{3x}{x + 2} \qquad \text{og} \qquad f(x) = \frac{3x + 1}{x + 2}\]

Oppgave 6

Oppgave: Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = 2x^3 + x^2 - 18x - 9$.
a) Vis at divisjonen $f(x) : (x - 3)$ går opp.
b) Gjør beregninger, og vurder hvilken av grafene A, B eller C som kan være grafen til $f$.

Oppgave 6a

Strategi: Divisjonen $f(x) : (x-3)$ går opp dersom $f(3) = 0$ (faktorteoremet). Vi kan også utføre polynomdivisjonen for å finne kvotienten.

Vi sjekker om $f(3) = 0$:

\[f(3) = 2 \cdot 3^3 + 3^2 - 18 \cdot 3 - 9 = 2 \cdot 27 + 9 - 54 - 9 = 54 + 9 - 54 - 9 = 0\]

Siden $f(3) = 0$, er $(x - 3)$ en faktor i $f(x)$, og divisjonen går opp.

Vi utfører polynomdivisjonen for å finne kvotienten:

\[(2x^3 + x^2 - 18x - 9) : (x - 3) = 2x^2 + 7x + 3\]

Kontroll: Vi ganger tilbake: \[(x - 3)(2x^2 + 7x + 3) = 2x^3 + 7x^2 + 3x - 6x^2 - 21x - 9 = 2x^3 + x^2 - 18x - 9 \;\checkmark\]

Svar: Siden $f(3) = 0$, går divisjonen $f(x) : (x - 3)$ opp. Vi har $f(x) = (x - 3)(2x^2 + 7x + 3)$.

Oppgave 6b

Strategi: Vi faktoriserer videre for å finne alle nullpunktene. Sammen med ledende koeffisient og $y$-skjæring kan vi avgjøre hvilken graf som passer.

Vi løser $2x^2 + 7x + 3 = 0$ med abc-formelen:

\[x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-7 \pm 5}{4}\]

\[x_1 = \frac{-7 + 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \qquad \text{og} \qquad x_2 = \frac{-7 - 5}{4} = \frac{-12}{4} = -3\]

Fullstendig faktorisering:

\[f(x) = (x - 3)(2x + 1)(x + 3)\]

Viktige egenskaper for å identifisere grafen:

Nullpunkter: $x = -3$, $x = -\frac{1}{2}$ og $x = 3$ – to negative og ett positivt
Skjaering med $y$-aksen: $f(0) = -9$, altså punktet $(0{,}\ {-9})$ – under $x$-aksen
Ledende koeffisient: $2 > 0$, så $f(x) \to -\infty$ når $x \to -\infty$ og $f(x) \to +\infty$ når $x \to +\infty$

Svar: Grafen til $f$ er graf B. Den har tre nullpunkter (to negative, ett positivt), skjærer $y$-aksen under $x$-aksen i $(0{,}\ {-9})$, og har riktig endeatferd (ned mot venstre, opp mot høyre).

Vanlig feil: Mange elever vurderer bare nullpunktene uten å sjekke endeatferd og $y$-skjæring. For å identifisere grafen til et polynom bør du alltid sjekke: (1) nullpunktene, (2) fortegnet til den ledende koeffisienten (som bestemmer endeatferden), og (3) $y$-skjæringen $f(0)$. Kombinasjonen av alle tre gjør identifiseringen sikker.

DEL 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1

Oppgave: En fabrikk har en vanntank. Vannet i tanken skal tappes ut. Anta at funksjonen \[V(x) = 2000 - 2000 \cdot \left(1 - \frac{x}{40}\right)^2, \quad 0 \leq x \leq 40\] kan brukes som modell for hvor mange liter vann $V(x)$ som er tappet ut av tanken $x$ minutter etter at tappingen startet.

Oppgave 1a

Oppgave: Bestem $V(0)$. Gi en praktisk tolkning av svaret.

Strategi: Vi setter inn $x = 0$ i formelen og tolker resultatet i kontekst.

\[V(0) = 2000 - 2000 \cdot \left(1 - \frac{0}{40}\right)^2 = 2000 - 2000 \cdot 1^2 = 2000 - 2000 = 0\]

Svar: $V(0) = 0$.
Praktisk tolkning: Når tappingen starter ($x = 0$ minutter), er det ennå ikke tappet ut noe vann.

Oppgave 1b

Oppgave: Bestem verdimengden til $V$.

Strategi: Vi undersøker hva som skjer med $V(x)$ når $x$ går fra 0 til 40. Er funksjonen stigende på hele intervallet?

Vi setter $u = 1 - \frac{x}{40}$. Når $x$ går fra 0 til 40, går $u$ fra 1 ned til 0, og $u^2$ går fra 1 ned til 0.

\[V = 2000 - 2000u^2\]

Når $u = 1$ ($x = 0$): $V = 2000 - 2000 = 0$
Når $u = 0$ ($x = 40$): $V = 2000 - 0 = 2000$

Funksjonen $V(x)$ er voksende på hele intervallet $[0{,}\ 40]$ fordi den deriverte er ikke-negativ (vi viser dette i oppgave 1e). Dermed tar $V$ alle verdier mellom 0 og 2000.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

Skriv inn: V(x) = 2000 - 2000*(1 - x/40)^2
Les av at grafen starter i $(0{,}\ 0)$ og slutter i $(40{,}\ 2000)$

GeoGebra CAS: V(x) definert, V(0)=0, V(40)=2000

Svar: Verdimengden til $V$ er $[0{,}\ 2000]$.

Oppgave 1c

Oppgave: Hvor lang tid vil det ta for halvparten av vannet er tappet ut av tanken?

Strategi: Totalt vann er 2000 liter (fra 1b). Halvparten er 1000 liter. Vi løser $V(x) = 1000$.

\[2000 - 2000\left(1 - \frac{x}{40}\right)^2 = 1000\]

\[2000\left(1 - \frac{x}{40}\right)^2 = 1000\]

\[\left(1 - \frac{x}{40}\right)^2 = \frac{1}{2}\]

\[1 - \frac{x}{40} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

(Vi velger positiv rot fordi $0 \leq x \leq 40$ gir $1 - \frac{x}{40} \geq 0$.)

\[\frac{x}{40} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[x = 40\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 40 - 20\sqrt{2} \approx 40 - 28{,}28 \approx 11{,}72\]

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

Definer funksjonen: V(x) = 2000 - 2000*(1 - x/40)^2
Skriv: Løs(V(x) = 1000, x)
GeoGebra gir $x \approx 11{,}72$

GeoGebra CAS: Løs(V(x) = 1000, x) gir x = −20√2 + 40 ≈ 11,72

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

Skriv inn: V(x) = 2000 - 2000*(1 - x/40)^2
Tegn linjen: y = 1000
Skjæringspunktet viser $x \approx 11{,}7$

GeoGebra-graf: V(x) med linje y = 1000, skjæringspunkt ved x ≈ 11,7

Svar: Det tar omtrent $11{,}7$ minutter for halvparten av vannet er tappet ut.

Oppgave 1d

Oppgave: Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(0{,}\ V(0))$ og $(30{,}\ V(30))$. Gi en praktisk tolkning av svaret.

Strategi: Stigningstallet er den gjennomsnittlige endringsraten – differansen i funksjonsverdier delt på differansen i tid.

Vi har $V(0) = 0$ fra oppgave 1a. Vi beregner $V(30)$:

\[V(30) = 2000 - 2000\left(1 - \frac{30}{40}\right)^2 = 2000 - 2000\left(\frac{10}{40}\right)^2 = 2000 - 2000 \cdot \frac{1}{16}\]

\[V(30) = 2000 - 125 = 1875\]

Stigningstallet er:

\[a = \frac{V(30) - V(0)}{30 - 0} = \frac{1875 - 0}{30} = 62{,}5\]

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

Skriv inn: V(x) = 2000 - 2000*(1 - x/40)^2
Tegn punktene: A = (0, V(0)) og D = (30, V(30))
Tegn sekantlinjen: Linje(A, D)
Stigningstallet til sekanten er $62{,}5$ liter/min

GeoGebra-graf: V(x) med sekantlinje gjennom (0, 0) og (30, 1875), stigningstall 62,5

Svar: Stigningstallet er $62{,}5$ liter per minutt.
Praktisk tolkning: I gjennomsnitt tappes det ut $62{,}5$ liter vann per minutt i løpet av de første 30 minuttene.

Oppgave 1e

Oppgave: Undersok om det noen gang vil tappes ut mer enn 105 liter vann i løpet av ett minutt.

Strategi: Den momentane utstrømmingshastigheten er den deriverte $V'(x)$. Vi finner $V'(x)$ og undersøker maksimalverdien.

Vi deriverer med kjerneregelen. Sett $u = 1 - \frac{x}{40}$, da $u' = -\frac{1}{40}$:

\[V'(x) = -2000 \cdot 2\!\left(1 - \frac{x}{40}\right) \cdot \left(-\frac{1}{40}\right) = \frac{4000}{40}\left(1 - \frac{x}{40}\right) = 100\left(1 - \frac{x}{40}\right)\]

$V'(x)$ er størst når $x$ er minst, altså ved $x = 0$:

\[V'(0) = 100 \cdot (1 - 0) = 100\]

For $x > 0$ er $V'(x) < 100$, og $V'(x)$ avtar mot 0 når $x \to 40$. Den deriverte er en lineært avtagende funksjon, så den største verdien er $V'(0) = 100$.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

Definer: V(x) = 2000 - 2000*(1 - x/40)^2
Skriv: V'(x) for å fa den deriverte
Les av at $V'(0) = 100$ er maksimalverdien

GeoGebra CAS: V'(x) = −5/2 x + 100, V'(0) = 100

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

Skriv inn: V(x) = 2000 - 2000*(1 - x/40)^2
Tegn tangentlinjen i origo: y = 100x
Tangenten har stigningstall $V'(0) = 100$, som er mindre enn 105

GeoGebra-graf: V(x) med tangentlinje y = 100x i (0, 0), stigningstall 100

Svar: Nei, det vil aldri tappes ut mer enn 105 liter per minutt. Den største momentane utstrømmingen er $V'(0) = 100$ liter per minutt (helt i starten). Deretter synker hastigheten jevnt mot null.

Oppgave 2

Oppgave: Tre figurer er satt sammen av klosser etter et mønster:

Figur 1: 1 kloss
Figur 2: 5 klosser
Figur 3: 14 klosser

a) Hvor mange klosser trenger Roar for å lage figur 5?
b) Hvor mange klosser trenger han til sammen for å lage de 10 første figurene?
c) Roar har 10 000 klosser. Hvor mange figurer kan han lage, og hvor mange klosser har han igjen?

Strategi: Vi finner formelen for antall klosser i figur $n$. Mønsteret viser at figurnummeret kvadreres og legges til den forrige figuren: $a_n = n^2 + a_{n-1}$. Det vil si at antall klosser i figur $n$ er summen av de $n$ første kvadrattallene.

Vi undersøker mønsteret:

Figur 1: $1^2 = 1$ kloss
Figur 2: $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$ klosser
Figur 3: $1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$ klosser

Generelt for figur $n$:

\[a_n = \sum_{k=1}^{n}k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

Kontroll: $a_1 = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1$ ✔, $a_2 = \frac{2 \cdot 3 \cdot 5}{6} = 5$ ✔, $a_3 = \frac{3 \cdot 4 \cdot 7}{6} = 14$ ✔

Oppgave 2a

\[a_5 = \frac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} = \frac{330}{6} = 55\]

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

I CAS: a(n) := n*(n+1)*(2n+1)/6
Skriv: a(5) → gir 55

Svar: Roar trenger 55 klosser for å lage figur 5.

Oppgave 2b

Strategi: Vi summerer $a_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ for $n = 1$ til $n = 10$. Vi bruker formelen for summen av kvadratpyramidetall.

Vi skal finne:

\[S_{10} = \sum_{n=1}^{10} a_n = \sum_{n=1}^{10} \sum_{k=1}^{n} k^2\]

Vi kan omskrive dette. Leddet $k^2$ opptrer i $a_n$ for alle $n \geq k$, altså $(10 - k + 1)$ ganger:

\[S_{10} = \sum_{k=1}^{10} (11 - k) \cdot k^2 = 11\sum_{k=1}^{10}k^2 - \sum_{k=1}^{10}k^3\]

Vi bruker kjente summeformler:

\[\sum_{k=1}^{10}k^2 = \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = 385\]

\[\sum_{k=1}^{10}k^3 = \left(\frac{10 \cdot 11}{2}\right)^2 = 55^2 = 3025\]

\[S_{10} = 11 \cdot 385 - 3025 = 4235 - 3025 = 1210\]

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

I CAS: Sum(k*(k+1)*(2k+1)/6, k, 1, 10)
GeoGebra gir 1210

Svar: Roar trenger til sammen 1210 klosser for å lage de 10 første figurene.

Oppgave 2c

Strategi: Vi summerer antall klosser figur for figur til vi har brukt opp 10 000 klosser. Dette gjøres enklest med CAS eller programmering.

Vi beregner den kumulative summen $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ og finner største $n$ slik at $S_n \leq 10\,000$:

$n$	$a_n$ (klosser i figur $n$)	$S_n$ (totalt)
1	1	1
2	5	6
3	14	20
5	55	105
10	385	1210
15	1240	5440
16	1496	6936
17	1785	8721
18	2109	10830

Vi ser at $S_{17} = 8721 \leq 10\,000$ og $S_{18} = 10\,830 > 10\,000$.

Antall klosser igjen:

\[10\,000 - 8721 = 1279\]

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

Definer: a(n) := n*(n+1)*(2n+1)/6
Lag en liste: liste = Følge(Sum(Følge(a(k), k, 1, n)), n, 1, 20)
Finn $n$ der summen overskrider 10 000

Svar: Roar kan lage 17 figurer. Han har 1279 klosser igjen.

Oppgave 3

Oppgave: Gitt firkanten $ABCD$ der $DC = 2a$, $CB = 2a$, $\angle D = 120°$, $\angle B = 75°$ og $\angle A = 45°$.
a) Bestem et eksakt uttrykk for omkretsen av firkanten.
b) Vis at forholdet mellom arealet av $\triangle ABD$ og arealet av $\triangle BCD$ er $2\sqrt{3}$.

Oppgave 3a

Strategi: Vi finner først den ukjente vinkelen $\angle C$ fra vinkelsum i firkanten. Så trekker vi diagonalen $BD$ og bruker cosinussetningen og sinusregelen i de to trekantene som dannes.

Steg 1: Finn $\angle C$

Summen av vinklene i en firkant er $360°$:

\[\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360°\]

\[45° + 75° + \angle C + 120° = 360° \quad \Rightarrow \quad \angle C = 120°\]

Steg 2: Finn $BD$ i trekant $BCD$

I trekant $BCD$ kjenner vi $DC = CB = 2a$ og $\angle BCD = 120°$. Vi bruker cosinussetningen:

\[BD^2 = DC^2 + CB^2 - 2 \cdot DC \cdot CB \cdot \cos(\angle C)\]

\[BD^2 = (2a)^2 + (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 2a \cdot \cos 120°\]

\[BD^2 = 4a^2 + 4a^2 - 8a^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 8a^2 + 4a^2 = 12a^2\]

\[BD = 2a\sqrt{3}\]

Steg 3: Finn vinkler i trekant $BCD$

Siden $DC = CB = 2a$, er trekant $BCD$ likebeint, og de to like vinklene er:

\[\angle BDC = \angle DBC = \frac{180° - 120°}{2} = 30°\]

Steg 4: Analyser trekant $ABD$

Vinkelen $\angle ADB = \angle ADC - \angle BDC = 120° - 30° = 90°$.

Vinkelen $\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 75° - 30° = 45°$.

Kontroll av vinkelsum i trekant ABD: $45° + 45° + 90° = 180°$ ✔

Trekant $ABD$ er rettvinklet i $D$ med $\angle A = \angle ABD = 45°$. Det er en likebeint rettvinklet trekant, så $AD = BD = 2a\sqrt{3}$.

Vi finner $AB$ med sinusregelen (eller direkte fra Pytagoras):

\[AB = \frac{BD}{\sin 45°} \cdot \sin 90° = \frac{2a\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \cdot 1 = \frac{4a\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2a\sqrt{6}\]

Steg 5: Beregn omkretsen

\[O = AB + BC + CD + DA = 2a\sqrt{6} + 2a + 2a + 2a\sqrt{3}\]

Svar: Omkretsen er \[O = 2a\!\left(\sqrt{6} + \sqrt{3} + 2\right)\]

Oppgave 3b

Strategi: Vi beregner arealene av de to trekantene separat og finner forholdet. Trekant $ABD$ er rettvinklet, og trekant $BCD$ har to kjente sider og mellomliggende vinkel.

Areal av $\triangle ABD$:

Trekanten er rettvinklet i $D$ med kateter $AD = BD = 2a\sqrt{3}$:

\[A_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 2a\sqrt{3} \cdot 2a\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 4a^2 \cdot 3 = 6a^2\]

Areal av $\triangle BCD$:

Vi har $DC = CB = 2a$ og $\angle BCD = 120°$:

\[A_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot CB \cdot \sin(\angle C) = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot 2a \cdot \sin 120°\]

\[A_{\triangle BCD} = 2a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = a^2\sqrt{3}\]

Forholdet:

\[\frac{A_{\triangle ABD}}{A_{\triangle BCD}} = \frac{6a^2}{a^2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\]

Svar: Vi har vist at \[\frac{A_{\triangle ABD}}{A_{\triangle BCD}} = 2\sqrt{3}\]

Oppgave 4

Oppgave: Da Eline og Malene kom til hytta, var temperaturen i stua $2{,}0$ °C. De skrudde på varmen og stilte termostaten på $20$ °C.

Tabell 1 viser temperaturen $x$ minutter etter at de skrudde på varmen:

Tid (min)	1	5	10	20	30	50	80	120
Temp (°C)	2,0	3,7	5,3	8,0	10,2	13,4	16,4	18,4

Tabell 2 viser korrigerte temperaturer (temperatur minus 20):

Tid (min)	1	5	10	20	30	50	80	120
Korr. (°C)	−18,0	−16,3	−14,7	−12,0	−9,8	−6,6	−3,6	−1,6

Oppgave 4a

Oppgave: Eline og Malene lager modellen $T_1(x) = a \cdot x^b$ (potensregresjon på tabell 1). Bestem $a$ og $b$.

Strategi: Vi bruker potensregresjon på datapunktene i tabell 1 med et digitalt verktøy.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

Åpne Regneark-visningen
Legg inn tidsverdiene i kolonne A: 1, 5, 10, 20, 30, 50, 80, 120
Legg inn temperaturverdiene i kolonne B: 2.0, 3.7, 5.3, 8.0, 10.2, 13.4, 16.4, 18.4
Marker alle cellene, høyreklikk og velg Lag liste med punkt
I CAS eller inntastingsfeltet: RegPot(<liste>)
Resultatet gir $a \approx 1{,}96$ og $b \approx 0{,}47$

GeoGebra CAS: T1(x) = 1.96 x^0.47, T1(1) = 1.96, T1(120) ≈ 18.6

Kontroll med noen verdier:

$T_1(1) = 1{,}96 \cdot 1^{0{,}47} = 1{,}96$ (målt: $2{,}0$) – nær
$T_1(10) = 1{,}96 \cdot 10^{0{,}47} \approx 1{,}96 \cdot 2{,}95 \approx 5{,}8$ (målt: $5{,}3$) – rimelig
$T_1(120) = 1{,}96 \cdot 120^{0{,}47} \approx 19{,}3$ (målt: $18{,}4$) – rimelig

Svar: $a \approx 1{,}96$ og $b \approx 0{,}47$, slik at $T_1(x) \approx 1{,}96 \cdot x^{0{,}47}$.

Oppgave 4b

Oppgave: Vurder gyldighetsområdet til modellen $T_1$.

Strategi: Vi undersøker hva som skjer med modellen utenfor de malte datapunktene – både ved $x = 0$ og for store $x$.

Modellen $T_1(x) = 1{,}96 \cdot x^{0{,}47}$ har flere svakheter:

Ved $x = 0$: $T_1(0) = 0$, men den faktiske starttemperaturen er $2{,}0$ °C. Modellen treffer ikke startbetingelsen.
For store $x$: $T_1$ vokser uten begrensning. Men temperaturen vil i virkeligheten nærme seg termostattemperaturen $20$ °C og aldri overstige den. For eksempel gir $T_1(200) \approx 22{,}8$, noe som er urealistisk.
For $x < 0$: Negative tider gir ikke mening i konteksten.

Svar: Modellen er rimelig for $x$ fra ca. 1 til ca. 120 minutter. Den er ikke god for $x = 0$ (gir 0 i stedet for 2) og heller ikke for store $x$-verdier (gir temperaturer over 20 °C, noe som er urealistisk ettersom termostaten er stilt på 20 °C).

Oppgave 4c

Oppgave: Tabell 2 viser korrigerte temperaturer (temperatur minus 20). Lag en eksponentialfunksjon $f$ som passer godt til tallene i tabell 2.

Strategi: Alle verdiene i tabell 2 er negative og nærmer seg 0 (når temperaturen nærmer seg 20 °C). Vi bruker eksponentialregresjon.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

Legg inn tidsverdiene og de korrigerte temperaturverdiene i regnearket
Lag en punktliste
Bruk: RegEks(<liste>) (eksponentialregresjon)
Resultatet gir $f(x) \approx -18{,}2 \cdot 0{,}980^x$

GeoGebra CAS: g(x) = −18.2 · 0.980^x (eksponentialregresjon)

Kontroll:

$f(1) \approx -18{,}2 \cdot 0{,}980 \approx -17{,}8$ (tabell: $-18{,}0$) – nær
$f(30) \approx -18{,}2 \cdot 0{,}980^{30} \approx -18{,}2 \cdot 0{,}545 \approx -9{,}9$ (tabell: $-9{,}8$) – nær
$f(120) \approx -18{,}2 \cdot 0{,}980^{120} \approx -18{,}2 \cdot 0{,}088 \approx -1{,}6$ (tabell: $-1{,}6$) – nær

Svar: $f(x) \approx -18{,}2 \cdot 0{,}980^x$.

Oppgave 4d

Oppgave: Tegn grafen til $T_1$ og grafen til $f$ i samme koordinatsystem. Beskriv forskjeller mellom de to grafene.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

Skriv: T1(x) = 1.96 * x^0.47
Skriv: f(x) = -18.2 * 0.980^x
Begge grafene vises i samme koordinatsystem

GeoGebra-graf: Potensmodellen T1 (rød) og eksponentialmodellen T2 (grønn) tegnet sammen med datapunktene

De viktigste forskjellene:

$T_1$ er en potensfunksjon med positive verdier. Den starter i $(0{,}\ 0)$ og vokser ubegrenset. Den beskriver temperaturen direkte.
$f$ er en eksponentialfunksjon med negative verdier. Den starter nær $-18$ og øker mot 0. Den beskriver avviket fra termostattemperaturen 20 °C.
$T_1$-grafen ligger i 1. kvadrant (positiv $x$, positiv $y$), mens $f$-grafen ligger i 4. kvadrant (positiv $x$, negativ $y$).
$T_1$ vokser saktere og saktere, men stopper aldri – den vil overstige 20 °C etter lang tid. $f$ nærmer seg asymptotisk verdien 0, noe som betyr at avviket fra 20 °C går mot null.

Svar: $T_1$ er en stigende potensfunksjon med positive verdier som vokser uten grense, mens $f$ er en stigende eksponentialfunksjon med negative verdier som nærmer seg 0. Grafene ligger på helt forskjellige $y$-nivåer. Modellen $f$ gir en mer realistisk oppførsel for store $x$ fordi den nærmer seg en grenseverdi.

Oppgave 4e

Oppgave: Bruk funksjonen $f$, og lag en modell $T_2$ ved å løfte grafen til $f$ opp 20 °C. Hva vil temperaturen i stua være etter 4 timer ifølge modellen $T_2$?

Strategi: Ved å løfte $f$ opp 20 enheter får vi en modell for den faktiske temperaturen (ikke avviket). Denne modellen vil automatisk ha 20 °C som asymptote – svaret nae termostaten.

\[T_2(x) = f(x) + 20 = -18{,}2 \cdot 0{,}980^x + 20\]

Kontroll av startverdi: $T_2(0) = -18{,}2 \cdot 1 + 20 = 1{,}8 \approx 2{,}0$ ✔

Temperaturen etter 4 timer = 240 minutter:

\[T_2(240) = -18{,}2 \cdot 0{,}980^{240} + 20\]

Vi regner ut $0{,}980^{240}$:

\[0{,}980^{240} \approx 0{,}0078\]

\[T_2(240) \approx -18{,}2 \cdot 0{,}0078 + 20 \approx -0{,}14 + 20 \approx 19{,}9\]

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

Definer: T2(x) = -18.2 * 0.980^x + 20
Skriv: T2(240) → gir ca. 19,9

GeoGebra CAS: T2(x) = g(x) + 20, T2(0) = 1.8, T2(120) ≈ 18.4, T2(240) ≈ 19.9

Svar: Modellen er $T_2(x) = -18{,}2 \cdot 0{,}980^x + 20$. Etter 4 timer (240 minutter) vil temperaturen være ca. $19{,}9$ °C – nesten 20 °C. Modellen gir et realistisk resultat: temperaturen nærmer seg termostattemperaturen uten å overstige den.

Oppgave 5

Oppgave: Grafen til en andregradsfunksjon $f$ har

en tangent i punktet $(1{,}\ f(1))$ med stigningstall 0
en tangent i punktet $(4{,}\ f(4))$ med stigningstall 6

a) Bestem $f'(x)$.

Grafen til $f$ skjærer $y$-aksen i punktet $(0{,}\ 4)$.
b) Bestem $f(x)$.

Oppgave 5a

Strategi: Siden $f$ er en andregradsfunksjon, er $f'(x)$ lineær (førstegradsfunksjon). Vi bruker de to opplysningene om stigningstall for å bestemme $f'(x)$.

Vi setter $f'(x) = ax + b$ og bruker de gitte opplysningene:

$f'(1) = 0$: $\quad a + b = 0$
$f'(4) = 6$: $\quad 4a + b = 6$

Vi trekker den første likningen fra den andre:

\[(4a + b) - (a + b) = 6 - 0 \quad \Rightarrow \quad 3a = 6 \quad \Rightarrow \quad a = 2\]

\[b = -a = -2\]

Svar: $f'(x) = 2x - 2$.

Oppgave 5b

Strategi: Vi «antideriverer» $f'(x)$ for å finne $f(x)$, og bruker at grafen går gjennom $(0{,}\ 4)$ for å bestemme konstanten.

Vi integrerer (antideriverer) $f'(x) = 2x - 2$:

\[f(x) = x^2 - 2x + C\]

Vi bruker at $f(0) = 4$:

\[f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 + C = C = 4\]

Kontroll: $f'(1) = 2 \cdot 1 - 2 = 0$ ✔ og $f'(4) = 2 \cdot 4 - 2 = 6$ ✔. I tillegg: $f(0) = 0 - 0 + 4 = 4$ ✔.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

Skriv inn: f(x) = x^2 - 2x + 4
Tegn tangentene: Tangent((1, f(1)), f) og Tangent((4, f(4)), f)
Kontroller at stigningstallene er 0 og 6

GeoGebra CAS: f(x) = x² − 2x + 4, f(0) = 4, Tangent i (1, f(1)) gir y = 3, Tangent i (4, f(4)) gir y = 6x − 12

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

Skriv inn: f(x) = x^2 - 2x + 4
Tegn tangentene: Tangent((1, f(1)), f) og Tangent((4, f(4)), f)

GeoGebra-graf: f(x) = x² − 2x + 4 med horisontal tangent i (1, 3) og tangent med stigningstall 6 i (4, 12)

Svar: $f(x) = x^2 - 2x + 4$.

Oppgave 6

Oppgave: Funksjonen $f$ er gitt ved \[f(x) = x^3 - 2b \cdot x^2 + (b^2 + 3) \cdot x \quad \text{der } b \in \mathbb{R}\] a) Vis at $f$ bare har ett nullpunkt uavhengig av verdien av $b$.
b) Løs likningen $f'(x) = 0$. For hvilke verdier av $b$ har grafen til $f$ bare ett stasjonært punkt?
c) Dersom $b \neq 0$ har grafen til $f$ to tangenter med stigningstall 3. Bestem likningene for disse tangentene.

Oppgave 6a

Strategi: Vi faktoriserer $f(x)$ ved å trekke ut $x$. Resten er et andregradsuttrykk. Vi undersøker diskriminanten for å vise at det ikke har reelle nullpunkter.

Vi faktoriserer ut $x$:

\[f(x) = x^3 - 2bx^2 + (b^2 + 3)x = x\!\left(x^2 - 2bx + b^2 + 3\right)\]

Vi ser at $x = 0$ alltid er et nullpunkt. Vi undersøker om andregradsuttrykket $x^2 - 2bx + b^2 + 3$ har nullpunkter:

\[\Delta = (-2b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (b^2 + 3) = 4b^2 - 4b^2 - 12 = -12\]

Diskriminanten er $\Delta = -12 < 0$ for alle verdier av $b$. Ledd med $b^2$ kansellerer, så diskriminanten er konstant negativ – uavhengig av $b$.

Svar: Siden diskriminanten til $x^2 - 2bx + b^2 + 3$ er $-12 < 0$ uansett verdi av $b$, har dette uttrykket ingen reelle nullpunkter. Dermed er $x = 0$ det eneste nullpunktet til $f$.

Oppgave 6b

Strategi: Vi deriverer $f(x)$, setter $f'(x) = 0$, og undersøker når andregradslikningen har nøyaktig en løsning (diskriminant lik null).

Vi deriverer:

\[f'(x) = 3x^2 - 4bx + b^2 + 3\]

Vi løser $f'(x) = 0$ med abc-formelen:

\[x = \frac{4b \pm \sqrt{16b^2 - 12(b^2 + 3)}}{6} = \frac{4b \pm \sqrt{4b^2 - 36}}{6} = \frac{4b \pm 2\sqrt{b^2 - 9}}{6} = \frac{2b \pm \sqrt{b^2 - 9}}{3}\]

Antall stasjonære punkter avhenger av diskriminanten $b^2 - 9$:

Når $b^2 - 9 > 0$, dvs. $|b| > 3$: to løsninger → to stasjonære punkter
Når $b^2 - 9 = 0$, dvs. $b = \pm 3$: en dobbeltrot → ett stasjonært punkt (terrassepunkt)
Når $b^2 - 9 < 0$, dvs. $|b| < 3$: ingen reelle løsninger → ingen stasjonære punkter (funksjonen er strengt monoton)

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

Opprett en glider: b = Glider(-5, 5, 0.1)
Definer: f(x) = x^3 - 2b*x^2 + (b^2 + 3)*x
Dra glideren og observer når grafen har ett, to eller ingen stasjonære punkter

Svar: \[f'(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x = \frac{2b \pm \sqrt{b^2 - 9}}{3}\] Grafen har bare ett stasjonært punkt når $b = 3$ eller $b = -3$.

Oppgave 6c

Oppgave: Dersom $b \neq 0$ har grafen til $f$ to tangenter med stigningstall 3. Bestem likningene for disse tangentene.

GeoGebra-graf: Kubisk funksjon f med to tangentlinjer med stigningstall 3, tangentpunkter A og B merket

Strategi: Tangentens stigningstall er $f'(x)$. Vi løser $f'(x) = 3$ for å finne tangentpunktene, og setter deretter opp tangentlinjene.

Steg 1: Finn $x$-verdiene der $f'(x) = 3$

\[3x^2 - 4bx + b^2 + 3 = 3\]

\[3x^2 - 4bx + b^2 = 0\]

\[x = \frac{4b \pm \sqrt{16b^2 - 12b^2}}{6} = \frac{4b \pm \sqrt{4b^2}}{6} = \frac{4b \pm 2|b|}{6}\]

For $b > 0$ (altså $|b| = b$):

\[x_1 = \frac{4b + 2b}{6} = b \qquad \text{og} \qquad x_2 = \frac{4b - 2b}{6} = \frac{b}{3}\]

For $b < 0$ (altså $|b| = -b$):

\[x_1 = \frac{4b - 2b}{6} = \frac{b}{3} \qquad \text{og} \qquad x_2 = \frac{4b + 2b}{6} = b\]

I begge tilfeller er tangentpunktene ved $x = b$ og $x = \frac{b}{3}$.

Steg 2: Finn $y$-verdiene

For $x = b$:

\[f(b) = b^3 - 2b \cdot b^2 + (b^2+3) \cdot b = b^3 - 2b^3 + b^3 + 3b = 3b\]

For $x = \frac{b}{3}$:

\[f\!\left(\frac{b}{3}\right) = \left(\frac{b}{3}\right)^3 - 2b\left(\frac{b}{3}\right)^2 + (b^2+3) \cdot \frac{b}{3}\]

\[= \frac{b^3}{27} - \frac{2b^3}{9} + \frac{b^3}{3} + b\]

\[= \frac{b^3}{27} - \frac{6b^3}{27} + \frac{9b^3}{27} + b = \frac{4b^3}{27} + b\]

Steg 3: Sett opp tangentlinjene

Tangentlinjen i $(x_0{,}\ f(x_0))$ med stigningstall 3 er $y = 3(x - x_0) + f(x_0) = 3x - 3x_0 + f(x_0)$.

Tangent 1 (i $x = b$):

\[y = 3(x - b) + 3b = 3x - 3b + 3b = 3x\]

Tangent 2 (i $x = \frac{b}{3}$):

\[y = 3\!\left(x - \frac{b}{3}\right) + \frac{4b^3}{27} + b = 3x - b + \frac{4b^3}{27} + b = 3x + \frac{4b^3}{27}\]

Kontroll: Tangent 1 går gjennom $(b{,}\ 3b)$ med stigningstall 3: $y = 3b$. ✔
Tangent 2 går gjennom $\left(\frac{b}{3}{,}\ \frac{4b^3}{27} + b\right)$ med stigningstall 3: $y = 3 \cdot \frac{b}{3} + \frac{4b^3}{27} = b + \frac{4b^3}{27}$. ✔

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

Sett $b$ til en konkret verdi, f.eks. b = 2
Definer: f(x) = x^3 - 2*b*x^2 + (b^2 + 3)*x
Skriv: y = 3x og y = 3x + 4*b^3/27
Verifiser at linjene er tangenter til grafen

Svar: De to tangentene med stigningstall 3 er: \[y = 3x \qquad \text{og} \qquad y = 3x + \frac{4b^3}{27}\]

🎯 Karakterskillet 4 → 6:

4 (god)	6 (svært god)
Kommer fram til riktig svar i de fleste oppgaver	Riktig svar med tydelige utregninger og forklaringer
Bruker formler korrekt	Velger riktig metode + viser forståelse av når metoden gjelder
Algebraisk forenkling stort sett korrekt	Effektiv algebraisk teknikk + faktoriserer før unødvendig regning
Modelleringsoppgaver: regner riktig, tolkning kort	Modellering: drøfter modellens gyldighet, kontekstualiserer svaret
Programmering fungerer, men sparsom dokumentasjon	Programmering med klare kommentarer + forklaring av algoritmen
Trigonometri-oppgaver: bruker setninger riktig	Trigonometri: kan utlede/bevise sinussetning og cosinussetning (KM13)

⚠️ Vanlige feil å unngå:

Glemme parenteser ved minustegn i kvadratsetninger ($(a-b)^2 \neq a^2 - b^2$)
Bruke $a/b + c/d = (a+c)/(b+d)$ — du må finne fellesnevner
Glemme kjerneregelen ved derivasjon av sammensatte funksjoner
Bruke radianer der gradeer kreves (eller omvendt) i trigonometri
I sinussetningen: forveksle hvilken vinkel som hører til hvilken side
I Del 2: ikke dokumentere CAS/GeoGebra-bruk — sensor må kunne følge tankene
Programmering: kjøre kode uten å forklare hva den gjør
Modellering: glemme å tolke resultatet i kontekst (svaret har en betydning!)
Funksjonsanalyse: glemme å oppgi definisjonsmengde og verdimengde
Andregradsulikheter: glemme fortegnsskjema

Løsningsforslag – Matematikk 1T Vår 2022

Eksamen MAT1021

Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no. Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.

📋 Sensorens fokus (LK20 MAT09-01 / MAT1021):

Korrekt regning og tydelige utregninger — vis alle steg, ikke bare svaret
Riktig bruk av matematiske symboler — likhetstegn, fortegn, parenteser
Tolkning og kontekst — i Del 2-modellering, drøft hva resultatet betyr
Bevisføring (KM13) — sinussetning, cosinussetning, arealsetning kan testes
Bruk av digitale verktøy i Del 2 — CAS, GeoGebra, programmering med dokumentasjon
Programmering (KM1) — kode skal fungere og være dokumentert

⏰ Tidsplan for 5-timers eksamen:

Aktivitet	Tid
Del 1 (uten hjelpemidler) — alle oppgaver	2 timer
Pause + lever Del 1	15 min
Del 2 (med hjelpemidler) — gjennomgå alle oppgaver først	15 min
Del 2 — løs i prioritert rekkefølge (lett → vanskelig)	2 t 15 min
Korrektur, sjekk svar og enheter	15 min

Tips Del 1: Sjekk at du har formelkunnskap automatisert (kvadratsetninger, ABC-formel, derivasjonsregler, sinus/cosinus-spesielle vinkler).

Tips Del 2: Bruk CAS for verifikasjon, ikke bare for utregning. Dokumenter alle steg i digitale verktøy med skjermbilder eller utskrift.

💡 Strategi per oppgavetype:

Algebraisk forenkling: Faktoriser før du forenkler. Bruk kvadratsetninger og konjugatsetning når mulig.
Andregradslikninger: Prøv faktorisering først (kvadratsetning, felles faktor). Bruk ABC-formelen som backup.
Trigonometri: Tegn alltid en figur. Identifiser hvilke sider/vinkler er kjent. Velg sinussetning eller cosinussetning basert på dette.
Derivasjon: Bruk derivasjonsregler systematisk. Husk kjerneregelen ved sammensatte funksjoner.
Funksjonsanalyse: 1) Finn nullpunkt, 2) Deriver, 3) Finn topp/bunn, 4) Monotoni-skjema, 5) Skisser.
Modellering: 1) Hva sier teksten? 2) Hvilken modell passer? 3) Tilpass parametere. 4) Tolk resultatet.
Programmering: Forklar koden i kommentarer. Vis at du forstår algoritmen.

DEL 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1a

Oppgave: Løs likningen \[(x - 2)(x + 1) = 0\]

Strategi: Når et produkt av to faktorer er lik null, må minst en av faktorene være lik null. Dette kalles nullpunktregelen.

Vi setter hver faktor lik null:

\[x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2\]

\[x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1\]

Svar: Likningen har løsningene $x = 2$ og $x = -1$.

Oppgave 1b

Oppgave: Sett opp en ulikhet som har løsning $x \in \langle\leftarrow, -1\rangle \cup \langle 2, \rightarrow\rangle$. Husk å begrunne svaret.

Strategi: Løsningen sier at $x < -1$ eller $x > 2$. Vi kan bruke uttrykket fra oppgave 1a og undersøke når produktet er positivt.

Fra oppgave 1a vet vi at $(x - 2)(x + 1) = 0$ har nullpunktene $x = -1$ og $x = 2$. Vi lager en fortegnslinje for å se når produktet er positivt:

Intervall	$x+1$	$x-2$	$(x-2)(x+1)$
$x < -1$	$-$	$-$	$+$
$-1 < x < 2$	$+$	$-$	$-$
$x > 2$	$+$	$+$	$+$

Produktet $(x-2)(x+1)$ er positivt nettopp når $x < -1$ eller $x > 2$. Det er akkurat den oppgitte løsningen.

Svar: Ulikheten $(x - 2)(x + 1) > 0$ har løsning $x \in \langle\leftarrow, -1\rangle \cup \langle 2, \rightarrow\rangle$.

Oppgave 2

Oppgave: Bestem $r$ og $s$ slik at sammenhengen nedenfor blir en identitet: \[9x^2 - 30x + r = (3x - s)^2\]

Strategi: Vi utvider høyre side med andre kvadratsetning og sammenlikner koeffisientene på begge sider.

Høyre side utvides med andre kvadratsetning $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

\[(3x - s)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot s + s^2 = 9x^2 - 6sx + s^2\]

Vi sammenlikner med venstre side $9x^2 - 30x + r$:

Koeffisienten foran $x$:

\[-6s = -30 \quad \Rightarrow \quad s = 5\]

Konstantleddet:

\[r = s^2 = 5^2 = 25\]

Kontroll: Vi sjekker: $(3x - 5)^2 = 9x^2 - 30x + 25$. Stemmer med venstre side når $r = 25$. ✔

Svar: $r = 25$ og $s = 5$.

Oppgave 3

Oppgave: Om en rettvinklet trekant $ABC$ får du vite at $\tan \angle B = \dfrac{3}{4}$.

Kan det være riktig at $\sin \angle B = \dfrac{3}{10}$?
Kan det være riktig at den ene kateten er 6 og den andre kateten er 8?
Kan det være riktig at hypotenusen er kortere enn 4?

Husk å begrunne alle tre svarene.

Med motstående katet $= 3k$ og hosliggende katet $= 4k$ gir Pytagoras' setning:

\[c = \sqrt{(3k)^2 + (4k)^2} = \sqrt{9k^2 + 16k^2} = \sqrt{25k^2} = 5k\]

Delspørsmål 1: Kan $\sin \angle B = \frac{3}{10}$?

Vi beregner $\sin \angle B$:

\[\sin \angle B = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenuse}} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}\]

Verdien $\frac{3}{5}$ er ikke lik $\frac{3}{10}$. Legg merke til at $\sin \angle B$ er uavhengig av $k$ – forholdet er alltid $\frac{3}{5}$.

Svar: Nei, $\sin \angle B = \frac{3}{5}$, ikke $\frac{3}{10}$. Tangens bestemmer sinus entydig (gitt at vinkelen er spiss).

Delspørsmål 2: Kan katetene være 6 og 8?

Hvis motstående katet $= 6$ og hosliggende katet $= 8$, setter vi $3k = 6$ og $4k = 8$, som begge gir $k = 2$. Da er:

\[\tan \angle B = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \quad \checkmark\]

Svar: Ja, katetene kan være 6 og 8. Med $k = 2$ får vi kateter 6 og 8 og hypotenuse 10.

Delspørsmål 3: Kan hypotenusen være kortere enn 4?

Hypotenusen er $c = 5k$. For at $c < 4$ trenger vi:

\[5k < 4 \quad \Rightarrow \quad k < \frac{4}{5} = 0{,}8\]

Siden $k$ kan være et hvilket som helst positivt tall, kan vi for eksempel velge $k = 0{,}5$. Da får vi:

Kateter: $1{,}5$ og $2$
Hypotenuse: $2{,}5 < 4$ ✔

Svar: Ja, hypotenusen kan være kortere enn 4. For eksempel gir $k = 0{,}5$ kateter $1{,}5$ og $2$ og hypotenuse $2{,}5$.

Oppgave 4

Oppgave: Forklar hva som skjer når programmet nedenfor kjøres. Hva blir resultatet?

def f(x):
    return x ** 2    # f(x) = x^2

x = 1

while f(x) <= 400:
    print(f(x))
    x = x + 1

Strategi: Vi leser programmet linje for linje og følger flyten. Nøkkelspørsmål: hva gjør while-løkken, og når stopper den?

Linje 1–2: Definerer funksjonen $f(x) = x^2$.

Linje 4: Setter startverdien $x = 1$.

Linje 6–8: En while-løkke som gjentar så lenge $f(x) = x^2 \leq 400$:

Skriver ut verdien $f(x) = x^2$
Øker $x$ med 1

Gjennomgang av de første og siste iterasjonene:

$x$	$f(x) = x^2$	$x^2 \leq 400$?	Skrives ut
1	1	Ja	1
2	4	Ja	4
3	9	Ja	9
4	16	Ja	16
...
19	361	Ja	361
20	400	Ja	400
21	441	Nei	–

Når $x = 21$ er $f(21) = 441 > 400$, så betingelsen i while-løkken er ikke oppfylt, og løkken stopper.

Oppgave 5

Oppgave: En rasjonal funksjon $f$ har vertikal asymptote $x = -2$ og horisontal asymptote $y = 3$. Bestem to mulige funksjonsuttrykk for $f$. Husk å forklare hvordan du tenker.

Forslag 1: Vi prøver den enkleste formen:

\[f(x) = \frac{3x}{x + 2}\]

Kontroll: Vertikal asymptote når $x + 2 = 0$, dvs. $x = -2$. ✔
Horisontal asymptote: $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{3x}{x+2} = \frac{3}{1} = 3$. ✔

Forslag 2: Vi legger til en konstant i telleren for å fa en annen funksjon:

\[f(x) = \frac{3x + 1}{x + 2}\]

Kontroll: Vertikal asymptote når $x = -2$. ✔
Horisontal asymptote: $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{3x + 1}{x+2} = \frac{3}{1} = 3$. ✔

Svar: To mulige funksjonsuttrykk er: \[f(x) = \frac{3x}{x + 2} \qquad \text{og} \qquad f(x) = \frac{3x + 1}{x + 2}\]

Oppgave 6

Oppgave 6a

Strategi: Divisjonen $f(x) : (x-3)$ går opp dersom $f(3) = 0$ (faktorteoremet). Vi kan også utføre polynomdivisjonen for å finne kvotienten.

Vi sjekker om $f(3) = 0$:

\[f(3) = 2 \cdot 3^3 + 3^2 - 18 \cdot 3 - 9 = 2 \cdot 27 + 9 - 54 - 9 = 54 + 9 - 54 - 9 = 0\]

Siden $f(3) = 0$, er $(x - 3)$ en faktor i $f(x)$, og divisjonen går opp.

Vi utfører polynomdivisjonen for å finne kvotienten:

\[(2x^3 + x^2 - 18x - 9) : (x - 3) = 2x^2 + 7x + 3\]

Kontroll: Vi ganger tilbake: \[(x - 3)(2x^2 + 7x + 3) = 2x^3 + 7x^2 + 3x - 6x^2 - 21x - 9 = 2x^3 + x^2 - 18x - 9 \;\checkmark\]

Svar: Siden $f(3) = 0$, går divisjonen $f(x) : (x - 3)$ opp. Vi har $f(x) = (x - 3)(2x^2 + 7x + 3)$.

Oppgave 6b

Strategi: Vi faktoriserer videre for å finne alle nullpunktene. Sammen med ledende koeffisient og $y$-skjæring kan vi avgjøre hvilken graf som passer.

Vi løser $2x^2 + 7x + 3 = 0$ med abc-formelen:

\[x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-7 \pm 5}{4}\]

\[x_1 = \frac{-7 + 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \qquad \text{og} \qquad x_2 = \frac{-7 - 5}{4} = \frac{-12}{4} = -3\]

Fullstendig faktorisering:

\[f(x) = (x - 3)(2x + 1)(x + 3)\]

Viktige egenskaper for å identifisere grafen:

Nullpunkter: $x = -3$, $x = -\frac{1}{2}$ og $x = 3$ – to negative og ett positivt
Skjaering med $y$-aksen: $f(0) = -9$, altså punktet $(0{,}\ {-9})$ – under $x$-aksen
Ledende koeffisient: $2 > 0$, så $f(x) \to -\infty$ når $x \to -\infty$ og $f(x) \to +\infty$ når $x \to +\infty$

DEL 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1

Oppgave 1a

Oppgave: Bestem $V(0)$. Gi en praktisk tolkning av svaret.

Strategi: Vi setter inn $x = 0$ i formelen og tolker resultatet i kontekst.

\[V(0) = 2000 - 2000 \cdot \left(1 - \frac{0}{40}\right)^2 = 2000 - 2000 \cdot 1^2 = 2000 - 2000 = 0\]

Svar: $V(0) = 0$.
Praktisk tolkning: Når tappingen starter ($x = 0$ minutter), er det ennå ikke tappet ut noe vann.

Oppgave 1b

Oppgave: Bestem verdimengden til $V$.

Strategi: Vi undersøker hva som skjer med $V(x)$ når $x$ går fra 0 til 40. Er funksjonen stigende på hele intervallet?

Vi setter $u = 1 - \frac{x}{40}$. Når $x$ går fra 0 til 40, går $u$ fra 1 ned til 0, og $u^2$ går fra 1 ned til 0.

\[V = 2000 - 2000u^2\]

Når $u = 1$ ($x = 0$): $V = 2000 - 2000 = 0$
Når $u = 0$ ($x = 40$): $V = 2000 - 0 = 2000$

Funksjonen $V(x)$ er voksende på hele intervallet $[0{,}\ 40]$ fordi den deriverte er ikke-negativ (vi viser dette i oppgave 1e). Dermed tar $V$ alle verdier mellom 0 og 2000.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

Skriv inn: V(x) = 2000 - 2000*(1 - x/40)^2
Les av at grafen starter i $(0{,}\ 0)$ og slutter i $(40{,}\ 2000)$

Svar: Verdimengden til $V$ er $[0{,}\ 2000]$.

Oppgave 1c

Oppgave: Hvor lang tid vil det ta for halvparten av vannet er tappet ut av tanken?

Strategi: Totalt vann er 2000 liter (fra 1b). Halvparten er 1000 liter. Vi løser $V(x) = 1000$.

\[2000 - 2000\left(1 - \frac{x}{40}\right)^2 = 1000\]

\[2000\left(1 - \frac{x}{40}\right)^2 = 1000\]

\[\left(1 - \frac{x}{40}\right)^2 = \frac{1}{2}\]

\[1 - \frac{x}{40} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

(Vi velger positiv rot fordi $0 \leq x \leq 40$ gir $1 - \frac{x}{40} \geq 0$.)

\[\frac{x}{40} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[x = 40\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 40 - 20\sqrt{2} \approx 40 - 28{,}28 \approx 11{,}72\]

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

Definer funksjonen: V(x) = 2000 - 2000*(1 - x/40)^2
Skriv: Løs(V(x) = 1000, x)
GeoGebra gir $x \approx 11{,}72$

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

Skriv inn: V(x) = 2000 - 2000*(1 - x/40)^2
Tegn linjen: y = 1000
Skjæringspunktet viser $x \approx 11{,}7$

Svar: Det tar omtrent $11{,}7$ minutter for halvparten av vannet er tappet ut.

Oppgave 1d

Oppgave: Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(0{,}\ V(0))$ og $(30{,}\ V(30))$. Gi en praktisk tolkning av svaret.

Strategi: Stigningstallet er den gjennomsnittlige endringsraten – differansen i funksjonsverdier delt på differansen i tid.

Vi har $V(0) = 0$ fra oppgave 1a. Vi beregner $V(30)$:

\[V(30) = 2000 - 2000\left(1 - \frac{30}{40}\right)^2 = 2000 - 2000\left(\frac{10}{40}\right)^2 = 2000 - 2000 \cdot \frac{1}{16}\]

\[V(30) = 2000 - 125 = 1875\]

Stigningstallet er:

\[a = \frac{V(30) - V(0)}{30 - 0} = \frac{1875 - 0}{30} = 62{,}5\]

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

Skriv inn: V(x) = 2000 - 2000*(1 - x/40)^2
Tegn punktene: A = (0, V(0)) og D = (30, V(30))
Tegn sekantlinjen: Linje(A, D)
Stigningstallet til sekanten er $62{,}5$ liter/min

Svar: Stigningstallet er $62{,}5$ liter per minutt.
Praktisk tolkning: I gjennomsnitt tappes det ut $62{,}5$ liter vann per minutt i løpet av de første 30 minuttene.

Oppgave 1e

Oppgave: Undersok om det noen gang vil tappes ut mer enn 105 liter vann i løpet av ett minutt.

Strategi: Den momentane utstrømmingshastigheten er den deriverte $V'(x)$. Vi finner $V'(x)$ og undersøker maksimalverdien.

Vi deriverer med kjerneregelen. Sett $u = 1 - \frac{x}{40}$, da $u' = -\frac{1}{40}$:

\[V'(x) = -2000 \cdot 2\!\left(1 - \frac{x}{40}\right) \cdot \left(-\frac{1}{40}\right) = \frac{4000}{40}\left(1 - \frac{x}{40}\right) = 100\left(1 - \frac{x}{40}\right)\]

$V'(x)$ er størst når $x$ er minst, altså ved $x = 0$:

\[V'(0) = 100 \cdot (1 - 0) = 100\]

For $x > 0$ er $V'(x) < 100$, og $V'(x)$ avtar mot 0 når $x \to 40$. Den deriverte er en lineært avtagende funksjon, så den største verdien er $V'(0) = 100$.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

Definer: V(x) = 2000 - 2000*(1 - x/40)^2
Skriv: V'(x) for å fa den deriverte
Les av at $V'(0) = 100$ er maksimalverdien

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

Skriv inn: V(x) = 2000 - 2000*(1 - x/40)^2
Tegn tangentlinjen i origo: y = 100x
Tangenten har stigningstall $V'(0) = 100$, som er mindre enn 105

Oppgave 2

Oppgave: Tre figurer er satt sammen av klosser etter et mønster:

Figur 1: 1 kloss
Figur 2: 5 klosser
Figur 3: 14 klosser

Vi undersøker mønsteret:

Figur 1: $1^2 = 1$ kloss
Figur 2: $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$ klosser
Figur 3: $1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$ klosser

Generelt for figur $n$:

\[a_n = \sum_{k=1}^{n}k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

Kontroll: $a_1 = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1$ ✔, $a_2 = \frac{2 \cdot 3 \cdot 5}{6} = 5$ ✔, $a_3 = \frac{3 \cdot 4 \cdot 7}{6} = 14$ ✔

Oppgave 2a

\[a_5 = \frac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} = \frac{330}{6} = 55\]

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

I CAS: a(n) := n*(n+1)*(2n+1)/6
Skriv: a(5) → gir 55

Svar: Roar trenger 55 klosser for å lage figur 5.

Oppgave 2b

Strategi: Vi summerer $a_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ for $n = 1$ til $n = 10$. Vi bruker formelen for summen av kvadratpyramidetall.

Vi skal finne:

\[S_{10} = \sum_{n=1}^{10} a_n = \sum_{n=1}^{10} \sum_{k=1}^{n} k^2\]

Vi kan omskrive dette. Leddet $k^2$ opptrer i $a_n$ for alle $n \geq k$, altså $(10 - k + 1)$ ganger:

\[S_{10} = \sum_{k=1}^{10} (11 - k) \cdot k^2 = 11\sum_{k=1}^{10}k^2 - \sum_{k=1}^{10}k^3\]

Vi bruker kjente summeformler:

\[\sum_{k=1}^{10}k^2 = \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = 385\]

\[\sum_{k=1}^{10}k^3 = \left(\frac{10 \cdot 11}{2}\right)^2 = 55^2 = 3025\]

\[S_{10} = 11 \cdot 385 - 3025 = 4235 - 3025 = 1210\]

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

I CAS: Sum(k*(k+1)*(2k+1)/6, k, 1, 10)
GeoGebra gir 1210

Svar: Roar trenger til sammen 1210 klosser for å lage de 10 første figurene.

Oppgave 2c

Strategi: Vi summerer antall klosser figur for figur til vi har brukt opp 10 000 klosser. Dette gjøres enklest med CAS eller programmering.

Vi beregner den kumulative summen $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ og finner største $n$ slik at $S_n \leq 10\,000$:

$n$	$a_n$ (klosser i figur $n$)	$S_n$ (totalt)
1	1	1
2	5	6
3	14	20
5	55	105
10	385	1210
15	1240	5440
16	1496	6936
17	1785	8721
18	2109	10830

Vi ser at $S_{17} = 8721 \leq 10\,000$ og $S_{18} = 10\,830 > 10\,000$.

Antall klosser igjen:

\[10\,000 - 8721 = 1279\]

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

Definer: a(n) := n*(n+1)*(2n+1)/6
Lag en liste: liste = Følge(Sum(Følge(a(k), k, 1, n)), n, 1, 20)
Finn $n$ der summen overskrider 10 000

Svar: Roar kan lage 17 figurer. Han har 1279 klosser igjen.

Oppgave 3

Oppgave 3a

Strategi: Vi finner først den ukjente vinkelen $\angle C$ fra vinkelsum i firkanten. Så trekker vi diagonalen $BD$ og bruker cosinussetningen og sinusregelen i de to trekantene som dannes.

Steg 1: Finn $\angle C$

Summen av vinklene i en firkant er $360°$:

\[\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360°\]

\[45° + 75° + \angle C + 120° = 360° \quad \Rightarrow \quad \angle C = 120°\]

Steg 2: Finn $BD$ i trekant $BCD$

I trekant $BCD$ kjenner vi $DC = CB = 2a$ og $\angle BCD = 120°$. Vi bruker cosinussetningen:

\[BD^2 = DC^2 + CB^2 - 2 \cdot DC \cdot CB \cdot \cos(\angle C)\]

\[BD^2 = (2a)^2 + (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 2a \cdot \cos 120°\]

\[BD^2 = 4a^2 + 4a^2 - 8a^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 8a^2 + 4a^2 = 12a^2\]

\[BD = 2a\sqrt{3}\]

Steg 3: Finn vinkler i trekant $BCD$

Siden $DC = CB = 2a$, er trekant $BCD$ likebeint, og de to like vinklene er:

\[\angle BDC = \angle DBC = \frac{180° - 120°}{2} = 30°\]

Steg 4: Analyser trekant $ABD$

Vinkelen $\angle ADB = \angle ADC - \angle BDC = 120° - 30° = 90°$.

Vinkelen $\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 75° - 30° = 45°$.

Kontroll av vinkelsum i trekant ABD: $45° + 45° + 90° = 180°$ ✔

Trekant $ABD$ er rettvinklet i $D$ med $\angle A = \angle ABD = 45°$. Det er en likebeint rettvinklet trekant, så $AD = BD = 2a\sqrt{3}$.

Vi finner $AB$ med sinusregelen (eller direkte fra Pytagoras):

\[AB = \frac{BD}{\sin 45°} \cdot \sin 90° = \frac{2a\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \cdot 1 = \frac{4a\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2a\sqrt{6}\]

Steg 5: Beregn omkretsen

\[O = AB + BC + CD + DA = 2a\sqrt{6} + 2a + 2a + 2a\sqrt{3}\]

Svar: Omkretsen er \[O = 2a\!\left(\sqrt{6} + \sqrt{3} + 2\right)\]

Oppgave 3b

Strategi: Vi beregner arealene av de to trekantene separat og finner forholdet. Trekant $ABD$ er rettvinklet, og trekant $BCD$ har to kjente sider og mellomliggende vinkel.

Areal av $\triangle ABD$:

Trekanten er rettvinklet i $D$ med kateter $AD = BD = 2a\sqrt{3}$:

\[A_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 2a\sqrt{3} \cdot 2a\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 4a^2 \cdot 3 = 6a^2\]

Areal av $\triangle BCD$:

Vi har $DC = CB = 2a$ og $\angle BCD = 120°$:

\[A_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot CB \cdot \sin(\angle C) = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot 2a \cdot \sin 120°\]

\[A_{\triangle BCD} = 2a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = a^2\sqrt{3}\]

Forholdet:

\[\frac{A_{\triangle ABD}}{A_{\triangle BCD}} = \frac{6a^2}{a^2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\]

Svar: Vi har vist at \[\frac{A_{\triangle ABD}}{A_{\triangle BCD}} = 2\sqrt{3}\]

Oppgave 4

Oppgave: Da Eline og Malene kom til hytta, var temperaturen i stua $2{,}0$ °C. De skrudde på varmen og stilte termostaten på $20$ °C.

Tabell 1 viser temperaturen $x$ minutter etter at de skrudde på varmen:

Tid (min)	1	5	10	20	30	50	80	120
Temp (°C)	2,0	3,7	5,3	8,0	10,2	13,4	16,4	18,4

Tabell 2 viser korrigerte temperaturer (temperatur minus 20):

Tid (min)	1	5	10	20	30	50	80	120
Korr. (°C)	−18,0	−16,3	−14,7	−12,0	−9,8	−6,6	−3,6	−1,6

Oppgave 4a

Oppgave: Eline og Malene lager modellen $T_1(x) = a \cdot x^b$ (potensregresjon på tabell 1). Bestem $a$ og $b$.

Strategi: Vi bruker potensregresjon på datapunktene i tabell 1 med et digitalt verktøy.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

Åpne Regneark-visningen
Legg inn tidsverdiene i kolonne A: 1, 5, 10, 20, 30, 50, 80, 120
Legg inn temperaturverdiene i kolonne B: 2.0, 3.7, 5.3, 8.0, 10.2, 13.4, 16.4, 18.4
Marker alle cellene, høyreklikk og velg Lag liste med punkt
I CAS eller inntastingsfeltet: RegPot(<liste>)
Resultatet gir $a \approx 1{,}96$ og $b \approx 0{,}47$

Kontroll med noen verdier:

$T_1(1) = 1{,}96 \cdot 1^{0{,}47} = 1{,}96$ (målt: $2{,}0$) – nær
$T_1(10) = 1{,}96 \cdot 10^{0{,}47} \approx 1{,}96 \cdot 2{,}95 \approx 5{,}8$ (målt: $5{,}3$) – rimelig
$T_1(120) = 1{,}96 \cdot 120^{0{,}47} \approx 19{,}3$ (målt: $18{,}4$) – rimelig

Svar: $a \approx 1{,}96$ og $b \approx 0{,}47$, slik at $T_1(x) \approx 1{,}96 \cdot x^{0{,}47}$.

Oppgave 4b

Oppgave: Vurder gyldighetsområdet til modellen $T_1$.

Strategi: Vi undersøker hva som skjer med modellen utenfor de malte datapunktene – både ved $x = 0$ og for store $x$.

Modellen $T_1(x) = 1{,}96 \cdot x^{0{,}47}$ har flere svakheter:

Ved $x = 0$: $T_1(0) = 0$, men den faktiske starttemperaturen er $2{,}0$ °C. Modellen treffer ikke startbetingelsen.
For store $x$: $T_1$ vokser uten begrensning. Men temperaturen vil i virkeligheten nærme seg termostattemperaturen $20$ °C og aldri overstige den. For eksempel gir $T_1(200) \approx 22{,}8$, noe som er urealistisk.
For $x < 0$: Negative tider gir ikke mening i konteksten.

Oppgave 4c

Oppgave: Tabell 2 viser korrigerte temperaturer (temperatur minus 20). Lag en eksponentialfunksjon $f$ som passer godt til tallene i tabell 2.

Strategi: Alle verdiene i tabell 2 er negative og nærmer seg 0 (når temperaturen nærmer seg 20 °C). Vi bruker eksponentialregresjon.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

Legg inn tidsverdiene og de korrigerte temperaturverdiene i regnearket
Lag en punktliste
Bruk: RegEks(<liste>) (eksponentialregresjon)
Resultatet gir $f(x) \approx -18{,}2 \cdot 0{,}980^x$

Kontroll:

$f(1) \approx -18{,}2 \cdot 0{,}980 \approx -17{,}8$ (tabell: $-18{,}0$) – nær
$f(30) \approx -18{,}2 \cdot 0{,}980^{30} \approx -18{,}2 \cdot 0{,}545 \approx -9{,}9$ (tabell: $-9{,}8$) – nær
$f(120) \approx -18{,}2 \cdot 0{,}980^{120} \approx -18{,}2 \cdot 0{,}088 \approx -1{,}6$ (tabell: $-1{,}6$) – nær

Svar: $f(x) \approx -18{,}2 \cdot 0{,}980^x$.

Oppgave 4d

Oppgave: Tegn grafen til $T_1$ og grafen til $f$ i samme koordinatsystem. Beskriv forskjeller mellom de to grafene.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

Skriv: T1(x) = 1.96 * x^0.47
Skriv: f(x) = -18.2 * 0.980^x
Begge grafene vises i samme koordinatsystem

De viktigste forskjellene:

$T_1$ er en potensfunksjon med positive verdier. Den starter i $(0{,}\ 0)$ og vokser ubegrenset. Den beskriver temperaturen direkte.
$f$ er en eksponentialfunksjon med negative verdier. Den starter nær $-18$ og øker mot 0. Den beskriver avviket fra termostattemperaturen 20 °C.
$T_1$-grafen ligger i 1. kvadrant (positiv $x$, positiv $y$), mens $f$-grafen ligger i 4. kvadrant (positiv $x$, negativ $y$).
$T_1$ vokser saktere og saktere, men stopper aldri – den vil overstige 20 °C etter lang tid. $f$ nærmer seg asymptotisk verdien 0, noe som betyr at avviket fra 20 °C går mot null.

Oppgave 4e

Oppgave: Bruk funksjonen $f$, og lag en modell $T_2$ ved å løfte grafen til $f$ opp 20 °C. Hva vil temperaturen i stua være etter 4 timer ifølge modellen $T_2$?

Strategi: Ved å løfte $f$ opp 20 enheter får vi en modell for den faktiske temperaturen (ikke avviket). Denne modellen vil automatisk ha 20 °C som asymptote – svaret nae termostaten.

\[T_2(x) = f(x) + 20 = -18{,}2 \cdot 0{,}980^x + 20\]

Kontroll av startverdi: $T_2(0) = -18{,}2 \cdot 1 + 20 = 1{,}8 \approx 2{,}0$ ✔

Temperaturen etter 4 timer = 240 minutter:

\[T_2(240) = -18{,}2 \cdot 0{,}980^{240} + 20\]

Vi regner ut $0{,}980^{240}$:

\[0{,}980^{240} \approx 0{,}0078\]

\[T_2(240) \approx -18{,}2 \cdot 0{,}0078 + 20 \approx -0{,}14 + 20 \approx 19{,}9\]

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

Definer: T2(x) = -18.2 * 0.980^x + 20
Skriv: T2(240) → gir ca. 19,9

Oppgave 5

Oppgave: Grafen til en andregradsfunksjon $f$ har

en tangent i punktet $(1{,}\ f(1))$ med stigningstall 0
en tangent i punktet $(4{,}\ f(4))$ med stigningstall 6

a) Bestem $f'(x)$.

Grafen til $f$ skjærer $y$-aksen i punktet $(0{,}\ 4)$.
b) Bestem $f(x)$.

Oppgave 5a

Strategi: Siden $f$ er en andregradsfunksjon, er $f'(x)$ lineær (førstegradsfunksjon). Vi bruker de to opplysningene om stigningstall for å bestemme $f'(x)$.

Vi setter $f'(x) = ax + b$ og bruker de gitte opplysningene:

$f'(1) = 0$: $\quad a + b = 0$
$f'(4) = 6$: $\quad 4a + b = 6$

Vi trekker den første likningen fra den andre:

\[(4a + b) - (a + b) = 6 - 0 \quad \Rightarrow \quad 3a = 6 \quad \Rightarrow \quad a = 2\]

\[b = -a = -2\]

Svar: $f'(x) = 2x - 2$.

Oppgave 5b

Strategi: Vi «antideriverer» $f'(x)$ for å finne $f(x)$, og bruker at grafen går gjennom $(0{,}\ 4)$ for å bestemme konstanten.

Vi integrerer (antideriverer) $f'(x) = 2x - 2$:

\[f(x) = x^2 - 2x + C\]

Vi bruker at $f(0) = 4$:

\[f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 + C = C = 4\]

Kontroll: $f'(1) = 2 \cdot 1 - 2 = 0$ ✔ og $f'(4) = 2 \cdot 4 - 2 = 6$ ✔. I tillegg: $f(0) = 0 - 0 + 4 = 4$ ✔.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

Skriv inn: f(x) = x^2 - 2x + 4
Tegn tangentene: Tangent((1, f(1)), f) og Tangent((4, f(4)), f)
Kontroller at stigningstallene er 0 og 6

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

Skriv inn: f(x) = x^2 - 2x + 4
Tegn tangentene: Tangent((1, f(1)), f) og Tangent((4, f(4)), f)

Svar: $f(x) = x^2 - 2x + 4$.

Oppgave 6

Oppgave 6a

Strategi: Vi faktoriserer $f(x)$ ved å trekke ut $x$. Resten er et andregradsuttrykk. Vi undersøker diskriminanten for å vise at det ikke har reelle nullpunkter.

Vi faktoriserer ut $x$:

\[f(x) = x^3 - 2bx^2 + (b^2 + 3)x = x\!\left(x^2 - 2bx + b^2 + 3\right)\]

Vi ser at $x = 0$ alltid er et nullpunkt. Vi undersøker om andregradsuttrykket $x^2 - 2bx + b^2 + 3$ har nullpunkter:

\[\Delta = (-2b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (b^2 + 3) = 4b^2 - 4b^2 - 12 = -12\]

Diskriminanten er $\Delta = -12 < 0$ for alle verdier av $b$. Ledd med $b^2$ kansellerer, så diskriminanten er konstant negativ – uavhengig av $b$.

Svar: Siden diskriminanten til $x^2 - 2bx + b^2 + 3$ er $-12 < 0$ uansett verdi av $b$, har dette uttrykket ingen reelle nullpunkter. Dermed er $x = 0$ det eneste nullpunktet til $f$.

Oppgave 6b

Strategi: Vi deriverer $f(x)$, setter $f'(x) = 0$, og undersøker når andregradslikningen har nøyaktig en løsning (diskriminant lik null).

Vi deriverer:

\[f'(x) = 3x^2 - 4bx + b^2 + 3\]

Vi løser $f'(x) = 0$ med abc-formelen:

\[x = \frac{4b \pm \sqrt{16b^2 - 12(b^2 + 3)}}{6} = \frac{4b \pm \sqrt{4b^2 - 36}}{6} = \frac{4b \pm 2\sqrt{b^2 - 9}}{6} = \frac{2b \pm \sqrt{b^2 - 9}}{3}\]

Antall stasjonære punkter avhenger av diskriminanten $b^2 - 9$:

Når $b^2 - 9 > 0$, dvs. $|b| > 3$: to løsninger → to stasjonære punkter
Når $b^2 - 9 = 0$, dvs. $b = \pm 3$: en dobbeltrot → ett stasjonært punkt (terrassepunkt)
Når $b^2 - 9 < 0$, dvs. $|b| < 3$: ingen reelle løsninger → ingen stasjonære punkter (funksjonen er strengt monoton)

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

Opprett en glider: b = Glider(-5, 5, 0.1)
Definer: f(x) = x^3 - 2b*x^2 + (b^2 + 3)*x
Dra glideren og observer når grafen har ett, to eller ingen stasjonære punkter

Svar: \[f'(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x = \frac{2b \pm \sqrt{b^2 - 9}}{3}\] Grafen har bare ett stasjonært punkt når $b = 3$ eller $b = -3$.

Oppgave 6c

Oppgave: Dersom $b \neq 0$ har grafen til $f$ to tangenter med stigningstall 3. Bestem likningene for disse tangentene.

Strategi: Tangentens stigningstall er $f'(x)$. Vi løser $f'(x) = 3$ for å finne tangentpunktene, og setter deretter opp tangentlinjene.

Steg 1: Finn $x$-verdiene der $f'(x) = 3$

\[3x^2 - 4bx + b^2 + 3 = 3\]

\[3x^2 - 4bx + b^2 = 0\]

\[x = \frac{4b \pm \sqrt{16b^2 - 12b^2}}{6} = \frac{4b \pm \sqrt{4b^2}}{6} = \frac{4b \pm 2|b|}{6}\]

For $b > 0$ (altså $|b| = b$):

\[x_1 = \frac{4b + 2b}{6} = b \qquad \text{og} \qquad x_2 = \frac{4b - 2b}{6} = \frac{b}{3}\]

For $b < 0$ (altså $|b| = -b$):

\[x_1 = \frac{4b - 2b}{6} = \frac{b}{3} \qquad \text{og} \qquad x_2 = \frac{4b + 2b}{6} = b\]

I begge tilfeller er tangentpunktene ved $x = b$ og $x = \frac{b}{3}$.

Steg 2: Finn $y$-verdiene

For $x = b$:

\[f(b) = b^3 - 2b \cdot b^2 + (b^2+3) \cdot b = b^3 - 2b^3 + b^3 + 3b = 3b\]

For $x = \frac{b}{3}$:

\[f\!\left(\frac{b}{3}\right) = \left(\frac{b}{3}\right)^3 - 2b\left(\frac{b}{3}\right)^2 + (b^2+3) \cdot \frac{b}{3}\]

\[= \frac{b^3}{27} - \frac{2b^3}{9} + \frac{b^3}{3} + b\]

\[= \frac{b^3}{27} - \frac{6b^3}{27} + \frac{9b^3}{27} + b = \frac{4b^3}{27} + b\]

Steg 3: Sett opp tangentlinjene

Tangentlinjen i $(x_0{,}\ f(x_0))$ med stigningstall 3 er $y = 3(x - x_0) + f(x_0) = 3x - 3x_0 + f(x_0)$.

Tangent 1 (i $x = b$):

\[y = 3(x - b) + 3b = 3x - 3b + 3b = 3x\]

Tangent 2 (i $x = \frac{b}{3}$):

\[y = 3\!\left(x - \frac{b}{3}\right) + \frac{4b^3}{27} + b = 3x - b + \frac{4b^3}{27} + b = 3x + \frac{4b^3}{27}\]

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

Sett $b$ til en konkret verdi, f.eks. b = 2
Definer: f(x) = x^3 - 2*b*x^2 + (b^2 + 3)*x
Skriv: y = 3x og y = 3x + 4*b^3/27
Verifiser at linjene er tangenter til grafen

Svar: De to tangentene med stigningstall 3 er: \[y = 3x \qquad \text{og} \qquad y = 3x + \frac{4b^3}{27}\]

🎯 Karakterskillet 4 → 6:

4 (god)	6 (svært god)
Kommer fram til riktig svar i de fleste oppgaver	Riktig svar med tydelige utregninger og forklaringer
Bruker formler korrekt	Velger riktig metode + viser forståelse av når metoden gjelder
Algebraisk forenkling stort sett korrekt	Effektiv algebraisk teknikk + faktoriserer før unødvendig regning
Modelleringsoppgaver: regner riktig, tolkning kort	Modellering: drøfter modellens gyldighet, kontekstualiserer svaret
Programmering fungerer, men sparsom dokumentasjon	Programmering med klare kommentarer + forklaring av algoritmen
Trigonometri-oppgaver: bruker setninger riktig	Trigonometri: kan utlede/bevise sinussetning og cosinussetning (KM13)

⚠️ Vanlige feil å unngå:

Glemme parenteser ved minustegn i kvadratsetninger ($(a-b)^2 \neq a^2 - b^2$)
Bruke $a/b + c/d = (a+c)/(b+d)$ — du må finne fellesnevner
Glemme kjerneregelen ved derivasjon av sammensatte funksjoner
Bruke radianer der gradeer kreves (eller omvendt) i trigonometri
I sinussetningen: forveksle hvilken vinkel som hører til hvilken side
I Del 2: ikke dokumentere CAS/GeoGebra-bruk — sensor må kunne følge tankene
Programmering: kjøre kode uten å forklare hva den gjør
Modellering: glemme å tolke resultatet i kontekst (svaret har en betydning!)
Funksjonsanalyse: glemme å oppgi definisjonsmengde og verdimengde
Andregradsulikheter: glemme fortegnsskjema

Intervall	\(x+1\)	\(x-2\)	\((x-2)(x+1)\)
\(x < -1\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)
\(-1 < x < 2\)	\(+\)	\(-\)	\(-\)
\(x > 2\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)

Intervall	\(x+1\)	\(x-2\)	\((x-2)(x+1)\)
\(x < -1\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)
\(-1 < x < 2\)	\(+\)	\(-\)	\(-\)
\(x > 2\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)

Løsningsforslag Matematikk 1TVår 2022

Løsningsforslag – Matematikk 1T Vår 2022

Oppgave 1a

Oppgave 1b

Oppgave 2

Oppgave 3

Delspørsmål 1: Kan \(\sin \angle B = \frac{3}{10}\)?

Delspørsmål 2: Kan katetene være 6 og 8?

Delspørsmål 3: Kan hypotenusen være kortere enn 4?

Oppgave 4

Oppgave 5

Oppgave 6

Oppgave 6a

Oppgave 6b

Oppgave 1

Oppgave 1a

Oppgave 1b

Oppgave 1c

Oppgave 1d

Oppgave 1e

Oppgave 2

Oppgave 2a

Oppgave 2b

Oppgave 2c

Oppgave 3

Oppgave 3a

Oppgave 3b

Oppgave 4

Oppgave 4a

Oppgave 4b

Oppgave 4c

Oppgave 4d

Oppgave 4e

Oppgave 5

Oppgave 5a

Oppgave 5b

Oppgave 6

Oppgave 6a

Oppgave 6b

Oppgave 6c

Løsningsforslag Matematikk 1TVår 2022

Løsningsforslag – Matematikk 1T Vår 2022

Oppgave 1a

Oppgave 1b

Oppgave 2

Oppgave 3

Delspørsmål 1: Kan \(\sin \angle B = \frac{3}{10}\)?

Delspørsmål 2: Kan katetene være 6 og 8?

Delspørsmål 3: Kan hypotenusen være kortere enn 4?

Oppgave 4

Oppgave 5

Oppgave 6

Oppgave 6a

Oppgave 6b

Oppgave 1

Oppgave 1a

Oppgave 1b

Oppgave 1c

Oppgave 1d

Oppgave 1e

Oppgave 2

Oppgave 2a

Oppgave 2b

Oppgave 2c

Oppgave 3

Oppgave 3a

Oppgave 3b

Oppgave 4

Oppgave 4a

Oppgave 4b

Oppgave 4c

Oppgave 4d

Oppgave 4e

Oppgave 5

Oppgave 5a

Oppgave 5b

Oppgave 6

Oppgave 6a

Oppgave 6b

Oppgave 6c