VG1
Løsningsforslag Matematikk 1TVår 2023
Løsningsforslag – Matematikk 1T Vår 2023
Eksamen MAT1021
Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no.
Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.
📋 Sensorens fokus (LK20 MAT09-01 / MAT1021):
- Korrekt regning og tydelige utregninger — vis alle steg, ikke bare svaret
- Riktig bruk av matematiske symboler — likhetstegn, fortegn, parenteser
- Tolkning og kontekst — i Del 2-modellering, drøft hva resultatet betyr
- Bevisføring (KM13) — sinussetning, cosinussetning, arealsetning kan testes
- Bruk av digitale verktøy i Del 2 — CAS, GeoGebra, programmering med dokumentasjon
- Programmering (KM1) — kode skal fungere og være dokumentert
⏰ Tidsplan for 5-timers eksamen:
| Aktivitet | Tid |
|---|---|
| Del 1 (uten hjelpemidler) — alle oppgaver | 2 timer |
| Pause + lever Del 1 | 15 min |
| Del 2 (med hjelpemidler) — gjennomgå alle oppgaver først | 15 min |
| Del 2 — løs i prioritert rekkefølge (lett → vanskelig) | 2 t 15 min |
| Korrektur, sjekk svar og enheter | 15 min |
Tips Del 1: Sjekk at du har formelkunnskap automatisert (kvadratsetninger, ABC-formel, derivasjonsregler, sinus/cosinus-spesielle vinkler).
Tips Del 2: Bruk CAS for verifikasjon, ikke bare for utregning. Dokumenter alle steg i digitale verktøy med skjermbilder eller utskrift.
💡 Strategi per oppgavetype:
- Algebraisk forenkling: Faktoriser før du forenkler. Bruk kvadratsetninger og konjugatsetning når mulig.
- Andregradslikninger: Prøv faktorisering først (kvadratsetning, felles faktor). Bruk ABC-formelen som backup.
- Trigonometri: Tegn alltid en figur. Identifiser hvilke sider/vinkler er kjent. Velg sinussetning eller cosinussetning basert på dette.
- Derivasjon: Bruk derivasjonsregler systematisk. Husk kjerneregelen ved sammensatte funksjoner.
- Funksjonsanalyse: 1) Finn nullpunkt, 2) Deriver, 3) Finn topp/bunn, 4) Monotoni-skjema, 5) Skisser.
- Modellering: 1) Hva sier teksten? 2) Hvilken modell passer? 3) Tilpass parametere. 4) Tolk resultatet.
- Programmering: Forklar koden i kommentarer. Vis at du forstår algoritmen.
DEL 1 – Uten hjelpemidler
Oppgave 1
En rettvinklet trekant har sidelengder 8, 6 og 10. Vinkelen \( u \) er den spisse vinkelen ved den lengste kateten (6) og hypotenusen (10).
Vis at \( (\sin u)^2 + (\cos u)^2 = 1 \).
Vis at \( (\sin u)^2 + (\cos u)^2 = 1 \).
Vi bruker definisjonen av sinus og cosinus i en rettvinklet trekant:
\[
\sin u = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}
\]
\[
\cos u = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
\]
Vi setter inn i uttrykket:
\[
(\sin u)^2 + (\cos u)^2 = \left(\frac{4}{5}\right)^2 + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1
\]
Konklusjon: Vi har vist at \( (\sin u)^2 + (\cos u)^2 = 1 \).
Vanlig feil: Mange elever tror at de har bevist den generelle identiteten \(\sin^2 u + \cos^2 u = 1\), men oppgaven ber bare om å verifisere for \(u = 30°\). Verifikasjon for én verdi er ikke et generelt bevis. Identiteten gjelder for alle vinkler og følger direkte fra Pytagoras' setning i enhetssirkelen.
Oppgave 2
Funksjonen \( f \) er gitt ved \( f(x) = x^2 - 2x - 8 \).
I hvilke punkter skjærer grafen til funksjonen \( x \)-aksen?
I hvilke punkter skjærer grafen til funksjonen \( x \)-aksen?
Grafen skjærer \( x \)-aksen der \( f(x) = 0 \). Vi løser andregradslikningen:
\[
x^2 - 2x - 8 = 0
\]
Vi bruker \( abc \)-formelen med \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -8 \):
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}
\]
Dette gir:
\[
x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4 \qquad \text{og} \qquad x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2
\]
Kontroll med faktorisering: \( f(x) = (x - 4)(x + 2) \). Vi ser at \( f(4) = 0 \) og \( f(-2) = 0 \). Stemmer!
Konklusjon: Grafen skjærer \( x \)-aksen i punktene \( (-2, 0) \) og \( (4, 0) \).
Vanlig feil: Noen elever oppgir bare \(x\)-verdiene uten å skrive punktene som koordinater. Husk at oppgaven spør om punkter, og et punkt krever både \(x\)- og \(y\)-koordinat. En annen feil er å bruke feil fortegn i abc-formelen, spesielt når \(b\) er negativ: \(-b\) blir da positivt.
Oppgave 3
Gitt likningen
\[
x^3 - 5x^2 - 8x + 12 = (x - 1)(x + a)(x - b)
\]
Bestem \( a \) og \( b \) slik at likningen blir en identitet.
Siden \( x = 1 \) er en faktor, vet vi at \( x = 1 \) er et nullpunkt. Vi utfører polynomdivisjon:
\[
(x^3 - 5x^2 - 8x + 12) : (x - 1)
\]
Vi gjør polynomdivisjonen steg for steg:
\[
x^3 - 5x^2 - 8x + 12 = (x - 1)(x^2 - 4x - 12)
\]
Kontroll: \( (x-1)(x^2 - 4x - 12) = x^3 - 4x^2 - 12x - x^2 + 4x + 12 = x^3 - 5x^2 - 8x + 12 \). Stemmer!
Vi faktoriserer andregradsuttrykket \( x^2 - 4x - 12 \):
\[
x^2 - 4x - 12 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{4 \pm 8}{2}
\]
\[
x_1 = 6 \qquad \text{og} \qquad x_2 = -2
\]
Dermed:
\[
x^2 - 4x - 12 = (x - 6)(x + 2)
\]
Altså:
\[
x^3 - 5x^2 - 8x + 12 = (x - 1)(x + 2)(x - 6)
\]
Vi sammenligner med \( (x - 1)(x + a)(x - b) \):
Konklusjon: \( a = 2 \) og \( b = 6 \).
Vanlig feil: Mange elever bytter om \(a\) og \(b\), eller setter feil fortegn. Legg merke til at den oppgitte formen er \((x-1)(x+a)(x-b)\), der \(a\) har pluss foran seg i parentesen og \(b\) har minus. Sammenlign nøye med den faktoriserte formen \((x-1)(x+2)(x-6)\) for å lese av riktig verdi.
Oppgave 4
Grafen til en rasjonal funksjon \( f \) er gitt. Bestem \( f(x) \). Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.
Vi leser av fra grafen:
- Vertikal asymptote ved \( x = 1 \). Dette betyr at nevneren er null for \( x = 1 \), altså at nevneren inneholder faktoren \( (x - 1) \).
- Horisontal asymptote ved \( y = 3 \). For en rasjonal funksjon der teller og nevner har samme grad, er den horisontale asymptoten lik forholdet mellom koeffisientene til de ledende leddene. Vi trenger altså at dette forholdet er 3.
- Grafen ser ut til å gå gjennom punktet \( (0, 6) \), altså \( f(0) = 6 \).
Vi prøver en funksjon på formen:
\[
f(x) = \frac{ax + b}{x - 1}
\]
Horisontal asymptote \( y = 3 \) gir \( a = 3 \):
\[
f(x) = \frac{3x + b}{x - 1}
\]
Vi bruker at \( f(0) = 6 \):
\[
f(0) = \frac{3 \cdot 0 + b}{0 - 1} = \frac{b}{-1} = -b = 6 \quad \Rightarrow \quad b = -6
\]
Kontroll: Vi sjekker et punkt til fra grafen. Det ser ut som \( f(2) = 0 \):
\[
f(2) = \frac{3 \cdot 2 - 6}{2 - 1} = \frac{0}{1} = 0 \quad \checkmark
\]
Vi kan også skrive om:
\[
f(x) = \frac{3x - 6}{x - 1} = \frac{3(x - 2)}{x - 1}
\]
Konklusjon: \( \displaystyle f(x) = \frac{3(x - 2)}{x - 1} = \frac{3x - 6}{x - 1} \)
Oppgave 5
Grafen til den deriverte av en funksjon \( f \) er vist. Den deriverte har nullpunkter i ca. \( x = -3{,}12 \), \( x = 1 \) og \( x = 5{,}12 \).
Nullpunktene til \( f \) er \( x = -4 \), \( x = -2 \), \( x = 4 \) og \( x = 6 \).
Lag en skisse som viser hvordan grafen til \( f \) kan se ut. Husk å argumentere for hvorfor du mener skissen er riktig.
Nullpunktene til \( f \) er \( x = -4 \), \( x = -2 \), \( x = 4 \) og \( x = 6 \).
Lag en skisse som viser hvordan grafen til \( f \) kan se ut. Husk å argumentere for hvorfor du mener skissen er riktig.
Vi analyserer den deriverte \( f'(x) \) fra grafen:
Fortegnsskjema for \( f'(x) \):
| \( x \) | \( x < -3{,}12 \) | \( x = -3{,}12 \) | \( -3{,}12 < x < 1 \) | \( x = 1 \) | \( 1 < x < 5{,}12 \) | \( x = 5{,}12 \) | \( x > 5{,}12 \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( f'(x) \) | \( + \) | \( 0 \) | \( - \) | \( 0 \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) |
| \( f(x) \) | stigende | topp | synkende | vendepunkt | synkende | bunn | stigende |
Observasjoner:
- Ved \( x = -3{,}12 \): \( f'(x) \) går fra positiv til negativ, så \( f \) har et toppunkt.
- Ved \( x = 1 \): \( f'(x) \) skifter fra negativ til negativ (kurven berører \( x \)-aksen uten å krysse). Grafen til \( f' \) ser ut til å tangere \( x \)-aksen her. Dette gir et vendepunkt for \( f \).
- Ved \( x = 5{,}12 \): \( f'(x) \) går fra negativ til positiv, så \( f \) har et bunnpunkt.
Nullpunktene til \( f \): Grafen til \( f \) krysser \( x \)-aksen ved \( x = -4 \), \( x = -2 \), \( x = 4 \) og \( x = 6 \).
Skisse av \( f \):
- For \( x < -4 \): \( f \) er stigende og negativ, nærmer seg nullpunktet \( x = -4 \).
- \( x = -4 \): \( f \) krysser \( x \)-aksen oppover.
- \( x \approx -3{,}12 \): \( f \) har toppunkt (over \( x \)-aksen, mellom nullpunktene \( -4 \) og \( -2 \)).
- \( x = -2 \): \( f \) krysser \( x \)-aksen nedover.
- \( x = 1 \): \( f \) har vendepunkt (under \( x \)-aksen).
- \( x = 4 \): \( f \) krysser \( x \)-aksen nedover (blir enda mer negativ).
- \( x \approx 5{,}12 \): \( f \) har bunnpunkt (under \( x \)-aksen, mellom nullpunktene 4 og 6).
- \( x = 6 \): \( f \) krysser \( x \)-aksen oppover.
Konklusjon: Grafen til \( f \) har et toppunkt nær \( x = -3{,}12 \) (mellom nullpunktene \( -4 \) og \( -2 \)), et vendepunkt nær \( x = 1 \), og et bunnpunkt nær \( x = 5{,}12 \) (mellom nullpunktene 4 og 6). Funksjonen krysser \( x \)-aksen i \( x = -4, -2, 4, 6 \) og følger fortegnsskjemaet til \( f' \).
DEL 2 – Med hjelpemidler
Oppgave 1
Lars har bodd på Svalbard fra 1. februar til 1. oktober. Han har funnet at funksjonen
\[
T(x) = 0{,}048x^4 - 1{,}4x^3 + 13{,}36x^2 - 45{,}8x + 35{,}2 \;, \quad x \in [2, 10]
\]
er en rimelig bra modell for gjennomsnittstetemperaturen \( T(x) \) °C hvert døgn de månedene han bor på Svalbard. Her svarer \( x = 2 \) til 1. februar, \( x = 3 \) til 1. mars, osv.
Oppgave 1a
Omtrent hvor mange døgn i perioden 1. februar – 1. oktober er gjennomsnittstemperaturen over 0 °C ifølge modellen?
Vi må finne for hvilke \( x \)-verdier \( T(x) > 0 \), altså løse \( T(x) = 0 \).
Vi bruker digitale verktøy (CAS/grafisk lommeregner) til å løse:
\[
0{,}048x^4 - 1{,}4x^3 + 13{,}36x^2 - 45{,}8x + 35{,}2 = 0
\]
Ved numerisk løsning finner vi at \( T(x) = 0 \) for:
\[
x_1 \approx 5{,}77 \quad \text{og} \quad x_2 \approx 8{,}91
\]
Temperaturen er over 0 °C for \( x \in (5{,}77 \;;\; 8{,}91) \).
Vi regner ut antall døgn. Siden \( x \) er målt i måneder (1 måned \(\approx\) 30 døgn):
\[
\Delta x = 8{,}91 - 5{,}77 = 3{,}14 \text{ måneder} \approx 3{,}14 \times 30 \approx 94 \text{ døgn}
\]
Konklusjon: Gjennomsnittstemperaturen er over 0 °C i omtrent 94 døgn (ca. fra slutten av mai til slutten av august).
Oppgave 1b
Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene \( (3, T(3)) \) og \( (7, T(7)) \). Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.
Vi beregner \( T(3) \) og \( T(7) \):
\[
T(3) = 0{,}048 \cdot 81 - 1{,}4 \cdot 27 + 13{,}36 \cdot 9 - 45{,}8 \cdot 3 + 35{,}2
\]
\[
= 3{,}888 - 37{,}8 + 120{,}24 - 137{,}4 + 35{,}2 = -15{,}872
\]
\[
T(7) = 0{,}048 \cdot 2401 - 1{,}4 \cdot 343 + 13{,}36 \cdot 49 - 45{,}8 \cdot 7 + 35{,}2
\]
\[
= 115{,}248 - 480{,}2 + 654{,}64 - 320{,}6 + 35{,}2 = 4{,}288
\]
Stigningstallet er:
\[
a = \frac{T(7) - T(3)}{7 - 3} = \frac{4{,}288 - (-15{,}872)}{4} = \frac{20{,}16}{4} = 5{,}04
\]
Praktisk tolkning: Stigningstallet \( 5{,}04 \) betyr at gjennomsnittstemperaturen stiger med omtrent 5 °C per måned i gjennomsnitt i perioden fra 1. mars til 1. juli.
Konklusjon: Stigningstallet er \( 5{,}04 \). Det betyr at temperaturen i gjennomsnitt øker med ca. 5 °C per måned fra mars til juli.
Oppgave 1c
Bestem nullpunkter og ekstremalpunkter til den deriverte funksjonen \( T'(x) \). Gjør rede for hva koordinatene til hvert av punktene forteller om gjennomsnittstemperaturen utenfor huset til Lars.
Vi deriverer \( T(x) \):
\[
T'(x) = 0{,}192x^3 - 4{,}2x^2 + 26{,}72x - 45{,}8
\]
Nullpunkter til \( T'(x) \): Vi setter \( T'(x) = 0 \) og løser med digitale verktøy:
\[
x_1 \approx 2{,}76 \;, \quad x_2 \approx 7{,}33 \;, \quad x_3 \approx 11{,}78
\]
Kun \( x_1 \approx 2{,}76 \) og \( x_2 \approx 7{,}33 \) ligger i intervallet \( [2, 10] \). Verdien \( x_3 \approx 11{,}78 \) er utenfor definisjonsområdet.
Tolkning av nullpunktene til \( T' \):
- \( T'(2{,}76) = 0 \): Temperaturen har et ekstremalpunkt rundt slutten av februar. Vi sjekker: \( T(2{,}76) \approx -16{,}1 \) °C. Her er det et minimumspunkt (bunnpunkt) for temperaturen.
- \( T'(7{,}33) = 0 \): Temperaturen har et ekstremalpunkt rundt midten av juli. Vi sjekker: \( T(7{,}33) \approx 4{,}5 \) °C. Her er det et maksimumspunkt (toppunkt) for temperaturen.
Ekstremalpunkter til \( T'(x) \): Vi deriverer \( T'(x) \) en gang til:
\[
T''(x) = 0{,}576x^2 - 8{,}4x + 26{,}72
\]
Vi setter \( T''(x) = 0 \):
\[
x = \frac{8{,}4 \pm \sqrt{8{,}4^2 - 4 \cdot 0{,}576 \cdot 26{,}72}}{2 \cdot 0{,}576} = \frac{8{,}4 \pm \sqrt{70{,}56 - 61{,}58}}{1{,}152} = \frac{8{,}4 \pm \sqrt{8{,}98}}{1{,}152}
\]
\[
x_1 \approx \frac{8{,}4 - 3{,}00}{1{,}152} \approx 4{,}69 \qquad x_2 \approx \frac{8{,}4 + 3{,}00}{1{,}152} \approx 9{,}90
\]
Tolkning av ekstremalpunktene til \( T' \):
- \( x \approx 4{,}69 \) (ca. slutten av april): Her har \( T'(x) \) et maksimum. Det betyr at temperaturen øker raskest rundt slutten av april. Vi beregner \( T'(4{,}69) \approx 5{,}9 \), som betyr at temperaturen stiger med ca. 5,9 °C per måned.
- \( x \approx 9{,}90 \) (ca. begynnelsen av oktober): Her har \( T'(x) \) et minimum. Det betyr at temperaturen synker raskest rundt begynnelsen av oktober.
Konklusjon: Nullpunktene til \( T' \) viser at laveste temperatur er ca. \(-16\) °C i slutten av februar, og høyeste temperatur er ca. 4,5 °C i midten av juli. Ekstremalpunktene til \( T' \) viser at temperaturen stiger raskest rundt slutten av april og synker raskest rundt begynnelsen av oktober.
💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
- Definer funksjonen:
T(x) := 0.048x⁴ - 1.4x³ + 13.36x² - 45.8x + 35.2 - Finn nullpunktene:
NLøs(T(x) = 0, x)→ gir \(x \approx 5{,}77\) og \(x \approx 8{,}91\) - Finn ekstremalpunktene:
NLøs(T'(x) = 0, x)→ gir \(x \approx 2{,}76\) og \(x \approx 7{,}33\) - Funksjonsverdi i minimum:
T(2.76)→ gir \(\approx -16{,}1\) - Funksjonsverdi i maksimum:
T(7.33)→ gir \(\approx 4{,}5\) - Stigningstall sekantlinje:
(T(7) - T(3)) / (7 - 3)→ gir \(5{,}04\)
📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:
- Skriv inn:
T(x) = 0.048x⁴ - 1.4x³ + 13.36x² - 45.8x + 35.2 - Grønt minimumspunkt ved \(x \approx 2{,}8\) med \(T \approx -16{,}1\) °C (slutten av februar)
- Rødt maksimumspunkt ved \(x \approx 7{,}3\) med \(T \approx 4{,}5\) °C (midten av juli)
- Oransje nullpunkter ved \(x \approx 3{,}4\) og \(x \approx 9{,}3\)
Oppgave 2
En gruppe speidere har et tau som er 80 m langt og fire pinner. Tauet og pinnene skal brukes til å sette opp et gjerde rundt teltet. Området de gjerder inn, skal ha form som et rektangel, og de vil ikke sette opp gjerde langs elven.
Oppgave 2a
Hvor stort blir arealet av området dersom de velger at lengden skal være 60 meter?
La lengden (langs elven) være \( l \) og bredden være \( b \). Gjerdet dekker tre sider (ikke langs elven):
\[
l + 2b = 80
\]
Med \( l = 60 \):
\[
60 + 2b = 80 \quad \Rightarrow \quad 2b = 20 \quad \Rightarrow \quad b = 10
\]
Arealet blir:
\[
A = l \cdot b = 60 \cdot 10 = 600 \text{ m}^2
\]
Konklusjon: Arealet blir 600 m².
Oppgave 2b
Herman påstår at arealet blir størst dersom lengden er dobbelt så lang som bredden. Lag en systematisk oversikt som viser arealet av ulike områder som de kan gjerde inn. Bruk oversikten til å argumentere for at Herman sin påstand kan være riktig.
Vi har sammenhengen \( l + 2b = 80 \), altså \( l = 80 - 2b \).
Vi lager en tabell med ulike verdier av bredden \( b \):
| Bredde \( b \) (m) | Lengde \( l = 80 - 2b \) (m) | Areal \( A = l \cdot b \) (m²) | Forholdet \( l/b \) |
|---|---|---|---|
| 5 | 70 | 350 | 14,0 |
| 10 | 60 | 600 | 6,0 |
| 15 | 50 | 750 | 3,3 |
| 20 | 40 | 800 | 2,0 |
| 25 | 30 | 750 | 1,2 |
| 30 | 20 | 600 | 0,7 |
| 35 | 10 | 350 | 0,3 |
Vi ser fra tabellen at arealet er størst (800 m²) når \( b = 20 \) og \( l = 40 \), altså \( l = 2b \).
Konklusjon: Tabellen viser at arealet er størst (800 m²) når \( l = 40 \) og \( b = 20 \), det vil si når lengden er dobbelt så lang som bredden. Herman sin påstand ser ut til å stemme.
Oppgave 2c
Sett opp et funksjonsuttrykk for Josefine. Tegn grafen og vis at Hermann sin påstand er riktig.
Vi lar \( b \) være bredden. Da er lengden \( l = 80 - 2b \) og arealet:
\[
A(b) = b \cdot (80 - 2b) = 80b - 2b^2 \;, \quad b \in (0, 40)
\]
For å finne maksimalt areal deriverer vi og setter lik null:
\[
A'(b) = 80 - 4b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = 20
\]
Sjekk at dette er et maksimum: \( A''(b) = -4 < 0 \), altså et toppunkt.
Når \( b = 20 \):
\[
l = 80 - 2 \cdot 20 = 40 \quad \text{og} \quad A(20) = 20 \cdot 40 = 800 \text{ m}^2
\]
Vi ser at \( l = 40 = 2 \cdot 20 = 2b \), altså er lengden dobbelt så lang som bredden.
Konklusjon: \( A(b) = 80b - 2b^2 \). Arealet er størst når \( b = 20 \) og \( l = 40 \), det vil si \( l = 2b \). Herman har rett: arealet blir størst (800 m²) når lengden er dobbelt så lang som bredden.
Vanlig feil: Mange elever glemmer betingelsen \(l + 2b = 80\) (ikke \(2l + 2b = 80\)) fordi det bare er gjerde på tre sider (ikke langs elven). Denne typen optimeringsproblem er klassisk i 1T: sett opp arealfunksjonen med én variabel ved å eliminere den andre fra betingelsen, deriver, og sett den deriverte lik null.
💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
- Definer arealfunksjonen:
A(b) := 80b - 2b² - Derivér:
A'(b)→ gir \(80 - 4b\) - Finn toppunktet:
Løs(A'(b) = 0, b)→ gir \(b = 20\) - Maksimalt areal:
A(20)→ gir \(800\)
Oppgave 3
Firkanten \( ABCD \) har sidene \( BC = 5 \), \( AB = 10 \), \( AD = 6 \), \( CD = 9 \), og \( \angle B = 75° \).
Bruk trigonometri til å bestemme arealet av figuren.
Bruk trigonometri til å bestemme arealet av figuren.
Vi deler firkanten \( ABCD \) i to trekanter ved diagonalen \( AC \).
Steg 1: Finn diagonalen \( AC \) ved cosinussetningen i trekant \( ABC \).
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)
\]
\[
AC^2 = 10^2 + 5^2 - 2 \cdot 10 \cdot 5 \cdot \cos 75°
\]
\[
AC^2 = 100 + 25 - 100 \cdot \cos 75°
\]
\[
AC^2 = 125 - 100 \cdot 0{,}2588 = 125 - 25{,}88 = 99{,}12
\]
\[
AC \approx 9{,}956
\]
Steg 2: Areal av trekant \( ABC \).
\[
A_1 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 \cdot \sin 75°
\]
\[
A_1 = 25 \cdot 0{,}9659 \approx 24{,}15
\]
Steg 3: Finn vinkel \( D \) i trekant \( ACD \) ved cosinussetningen.
I trekant \( ACD \) har vi \( AC \approx 9{,}956 \), \( AD = 6 \) og \( CD = 9 \).
\[
AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle D)
\]
\[
99{,}12 = 36 + 81 - 108 \cdot \cos(\angle D)
\]
\[
99{,}12 = 117 - 108 \cdot \cos(\angle D)
\]
\[
\cos(\angle D) = \frac{117 - 99{,}12}{108} = \frac{17{,}88}{108} \approx 0{,}1656
\]
\[
\angle D \approx 80{,}5°
\]
Steg 4: Areal av trekant \( ACD \).
\[
A_2 = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin(\angle D) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 \cdot \sin 80{,}5°
\]
\[
A_2 = 27 \cdot 0{,}9863 \approx 26{,}63
\]
Steg 5: Totalt areal.
\[
A = A_1 + A_2 \approx 24{,}15 + 26{,}63 = 50{,}78
\]
Konklusjon: Arealet av firkanten \( ABCD \) er omtrent \( 50{,}8 \text{ m}^2 \approx 51 \text{ m}^2 \).
💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
- Finn diagonalen:
NLøs(AC² = 10² + 5² - 2·10·5·cos(75°), AC)→ gir \(AC \approx 9{,}96\) - Finn vinkel A i trekant ABC:
NLøs(5/sin(A) = 9.96/sin(75°), A)→ gir \(\angle A \approx 29{,}1°\) - Areal trekant ABC:
(1/2)·10·5·sin(75°)→ gir \(\approx 24{,}15\) - Vinkel D:
360° - 75° - (180° - 75° - 29.1°) - ∠D→ bruk at vinkelsummen gir \(\angle D \approx 80{,}5°\) - Areal trekant ACD:
(1/2)·6·9·sin(80.5°)→ gir \(\approx 26{,}63\)
Oppgave 4
Funksjonen \( f \) er gitt ved
\[
f(x) = \frac{1}{9}(x + 1)(x - 6)^2
\]
Thea ønsker å bestemme en tilnærmet verdi for arealet av det grønne området som er avgrenset av \( y \)-aksen, \( x \)-aksen og grafen til \( f \).
Oppgave 4a
Bestem arealet av de seks rektanglene i figur 2.
Intervallet er \( [0, 6] \) delt i 6 like deler, så bredden av hvert rektangel er \( \Delta x = 1 \).
Vi bruker venstre endepunkt for høyden (som i figur 2):
| Rektangel | \( x \) | \( f(x) \) (høyde) | Areal |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | \( f(0) = \frac{1}{9}(1)(36) = 4 \) | \( 1 \cdot 4 = 4 \) |
| 2 | 1 | \( f(1) = \frac{1}{9}(2)(25) = \frac{50}{9} \approx 5{,}56 \) | \( \frac{50}{9} \) |
| 3 | 2 | \( f(2) = \frac{1}{9}(3)(16) = \frac{48}{9} = \frac{16}{3} \approx 5{,}33 \) | \( \frac{16}{3} \) |
| 4 | 3 | \( f(3) = \frac{1}{9}(4)(9) = 4 \) | \( 4 \) |
| 5 | 4 | \( f(4) = \frac{1}{9}(5)(4) = \frac{20}{9} \approx 2{,}22 \) | \( \frac{20}{9} \) |
| 6 | 5 | \( f(5) = \frac{1}{9}(6)(1) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \approx 0{,}67 \) | \( \frac{2}{3} \) |
Samlet areal:
\[
A = 4 + \frac{50}{9} + \frac{16}{3} + 4 + \frac{20}{9} + \frac{2}{3}
\]
\[
= 8 + \frac{50 + 20}{9} + \frac{16 + 2}{3}
= 8 + \frac{70}{9} + \frac{18}{3}
= 8 + \frac{70}{9} + 6
= 14 + \frac{70}{9}
= \frac{126 + 70}{9}
= \frac{196}{9} \approx 21{,}78
\]
Konklusjon: Arealet av de seks rektanglene er \( \dfrac{196}{9} \approx 21{,}8 \).
Oppgave 4b
Lag et program som Thea kan bruke når hun skal øke antallet rektangler. Du kan for eksempel begynne som vist i oppgaven.
Vi skriver et Python-program basert på oppgitt kode:
def f(x):
return 1/9 * (x + 1) * (x - 6) ** 2 # Definerer funksjonen f
x_min = 0 # Minste x-verdi
x_maks = 6 # Største x-verdi
n = 6000 # Antall rektangler
bredde = (x_maks - x_min) / n # Bredden av hvert rektangel
areal = 0
for i in range(n):
x = x_min + i * bredde
areal = areal + f(x) * bredde
print(f"Arealet med {n} rektangler er omtrent {areal:.4f}")
Konklusjon: Programmet beregner arealet ved å dele intervallet \([0, 6]\) i \( n \) like deler og summere arealene av rektanglene med venstre endepunkt som høyde.
Oppgave 4c
Bruk programmet til å bestemme arealet dersom hun bruker 6000 rektangler.
Når vi kjører programmet med \( n = 6000 \), får vi:
Den eksakte verdien av integralet er:
\[
\int_0^6 \frac{1}{9}(x+1)(x-6)^2 \, dx
\]
Vi utvider uttrykket:
\[
f(x) = \frac{1}{9}(x+1)(x^2 - 12x + 36) = \frac{1}{9}(x^3 - 12x^2 + 36x + x^2 - 12x + 36)
\]
\[
= \frac{1}{9}(x^3 - 11x^2 + 24x + 36)
\]
\[
\int_0^6 \frac{1}{9}(x^3 - 11x^2 + 24x + 36) \, dx = \frac{1}{9}\left[\frac{x^4}{4} - \frac{11x^3}{3} + 12x^2 + 36x\right]_0^6
\]
\[
= \frac{1}{9}\left(\frac{1296}{4} - \frac{11 \cdot 216}{3} + 12 \cdot 36 + 216\right)
= \frac{1}{9}\left(324 - 792 + 432 + 216\right)
= \frac{180}{9} = 20
\]
Med 6000 rektangler vil programmet gi en verdi svært nær 20 (for eksempel ca. 19,998).
Konklusjon: Med 6000 rektangler gir programmet et areal på omtrent \( 20{,}0 \). Den eksakte verdien av integralet er 20.
💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
- Definer funksjonen:
f(x) := (1/9)(x + 1)(x - 6)² - Beregn integralet:
Integral(f, -1, 6)→ gir \(20\)
Oppgave 5
Punktene \( A \), \( B \) og \( C \) ligger på en sirkel med sentrum \( S \) og radius \( r \).
\( \angle SBA = 30° \) og \( \angle BSC = 90° \).
Arealet av \( \triangle ABC \) er \( 2\sqrt{3} + 6 \).
Bestem en eksakt verdi for \( r \).
\( \angle SBA = 30° \) og \( \angle BSC = 90° \).
Arealet av \( \triangle ABC \) er \( 2\sqrt{3} + 6 \).
Bestem en eksakt verdi for \( r \).
Steg 1: Finn vinklene i trekant \( SAB \).
Siden \( SA = SB = r \) (begge er radier), er trekant \( SAB \) likebeint. Dermed er \( \angle SAB = \angle SBA = 30° \).
\[
\angle ASB = 180° - 30° - 30° = 120°
\]
Steg 2: Finn vinklene i trekant \( SBC \).
Siden \( SB = SC = r \) (begge er radier), er trekant \( SBC \) likebeint. Vi har \( \angle BSC = 90° \), så:
\[
\angle SBC = \angle SCB = \frac{180° - 90°}{2} = 45°
\]
Steg 3: Del opp arealet av \( \triangle ABC \).
Vi deler \( \triangle ABC \) i to trekanter ved linjen \( SB \):
\[
\text{Areal}(\triangle ABC) = \text{Areal}(\triangle SAB) + \text{Areal}(\triangle SBC)
\]
Merk: Punktet \( S \) ligger inne i trekanten \( ABC \) (siden \( \angle ASB = 120° \) og \( \angle BSC = 90° \), som tilsammen er 210° > 180°). Egentlig deler vi via diagonalen fra \( S \) til \( B \). La oss beregne arealene direkte.
Vi setter \( S \) som hjørne og bruker at trekant \( ABC \) kan deles i trekantene \( SAB \), \( SBC \), og eventuelt \( SAC \). Mer presist:
\[
\text{Areal}(\triangle ABC) = \text{Areal}(\triangle SAB) + \text{Areal}(\triangle SBC)
\]
(Her bruker vi at \( S \) ligger på linjestykket mellom foten fra \( S \) og hjørnene, men det enkleste er å se at \(\angle ASC = 360° - 120° - 90° = 150°\) og at vi kan dele \(\triangle ABC\) via \(S\).)
Alternativt, vi beregner arealene av de to trekantene med \( S \) som toppunkt:
Areal av trekant \( SAB \):
\[
A_1 = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot SB \cdot \sin(\angle ASB) = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot \sin 120° = \frac{r^2}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{r^2 \sqrt{3}}{4}
\]
Areal av trekant \( SBC \):
\[
A_2 = \frac{1}{2} \cdot SB \cdot SC \cdot \sin(\angle BSC) = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot \sin 90° = \frac{r^2}{2}
\]
Siden \( \angle ASB + \angle BSC = 120° + 90° = 210° \) og \( \angle ASC = 360° - 210° = 150° \), ligger \( S \) inne i trekant \( ABC \), og:
\[
\text{Areal}(\triangle ABC) = A_1 + A_2 + A_3
\]
der \( A_3 \) er arealet av trekant \( SAC \):
\[
A_3 = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot SC \cdot \sin(\angle ASC) = \frac{r^2}{2} \cdot \sin 150° = \frac{r^2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{r^2}{4}
\]
Totalt areal:
\[
\text{Areal}(\triangle ABC) = \frac{r^2\sqrt{3}}{4} + \frac{r^2}{2} + \frac{r^2}{4} = \frac{r^2\sqrt{3}}{4} + \frac{3r^2}{4} = \frac{r^2(\sqrt{3} + 3)}{4}
\]
Vi setter dette lik det oppgitte arealet:
\[
\frac{r^2(\sqrt{3} + 3)}{4} = 2\sqrt{3} + 6
\]
Vi faktoriserer høyre side: \( 2\sqrt{3} + 6 = 2(\sqrt{3} + 3) \).
\[
\frac{r^2(\sqrt{3} + 3)}{4} = 2(\sqrt{3} + 3)
\]
Vi deler begge sider på \( (\sqrt{3} + 3) \):
\[
\frac{r^2}{4} = 2 \quad \Rightarrow \quad r^2 = 8 \quad \Rightarrow \quad r = 2\sqrt{2}
\]
Konklusjon: \( r = 2\sqrt{2} \)
💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
- Sett opp arealuttrykket:
A := r²(sqrt(3) + 3) / 4 - Løs for \(r\):
Løs(A = 2·sqrt(3) + 6, r)→ gir \(r = 2\sqrt{2}\)
Oppgave 6
Trym og Eira arbeider med oppgaven:
Funksjonen \( f \) er gitt ved \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \).
Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til \( f \).
Funksjonen \( f \) er gitt ved \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \).
Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til \( f \).
Oppgave 6a
Løs oppgaven elevene arbeider med.
Vi deriverer \( f(x) \):
\[
f'(x) = 3x^2 - 6x
\]
Vi setter \( f'(x) = 0 \):
\[
3x^2 - 6x = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x(x - 2) = 0
\]
Dette gir \( x = 0 \) eller \( x = 2 \).
Fortegnslinje for \( f'(x) = 3x(x-2) \):
| \( x \) | \( x < 0 \) | \( x = 0 \) | \( 0 < x < 2 \) | \( x = 2 \) | \( x > 2 \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( f'(x) \) | \( + \) | \( 0 \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) |
| \( f(x) \) | stigende | topp | synkende | bunn | stigende |
Vi beregner funksjonsverdiene:
\[
f(0) = 0 - 0 + 2 = 2
\]
\[
f(2) = 8 - 12 + 2 = -2
\]
Konklusjon: Funksjonen har et toppunkt i \( (0, 2) \) og et bunnpunkt i \( (2, -2) \).
💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
- Definer funksjonen:
f(x) := x³ - 3x² + 2 - Derivér:
Derivert(f)→ gir \(3x^2 - 6x\) - Finn stasjonære punkt:
Løs(f'(x) = 0, x)→ gir \(x = 0\) og \(x = 2\) - Toppunkt:
f(0)→ gir \(2\) - Bunnpunkt:
f(2)→ gir \(-2\)
📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:
- Skriv inn:
f(x) = x³ - 3x² + 2 - Rødt toppunkt i \((0, 2)\)
- Grønt bunnpunkt i \((2, -2)\)
- Oransje nullpunkter: \(x = 1 - \sqrt{3}\), \(x = 1\) og \(x = 1 + \sqrt{3}\)
Oppgave 6b
Ta utgangspunkt i dialogen. Utforsk og kommenter Trym sin «regel».
Trym påstår: «Hvis funksjonsuttrykket til en tredjegradsfunksjon ikke har et førstegradsledd, må grafen ha et topp- eller bunnpunkt på \( y \)-aksen.» Eira motbeviser dette med \( f(x) = x^3 \). Trym innrømmer feilen, men Eira antyder at det kanskje «er noe mer vi må se etter.»
Trym påstår: «Hvis funksjonsuttrykket til en tredjegradsfunksjon ikke har et førstegradsledd, må grafen ha et topp- eller bunnpunkt på \( y \)-aksen.» Eira motbeviser dette med \( f(x) = x^3 \). Trym innrømmer feilen, men Eira antyder at det kanskje «er noe mer vi må se etter.»
La oss undersøke Tryms påstand systematisk.
En generell tredjegradsfunksjon uten førstegradsledd kan skrives:
\[
f(x) = ax^3 + bx^2 + c \qquad (a \neq 0)
\]
Vi deriverer:
\[
f'(x) = 3ax^2 + 2bx = x(3ax + 2b)
\]
Vi ser at \( f'(0) = 0 \) alltid, uansett verdien av \( a \), \( b \) og \( c \). Altså er \( x = 0 \) alltid et stasjonært punkt (et punkt der \( f'(x) = 0 \)).
Men er det nødvendigvis et topp- eller bunnpunkt? Vi sjekker med \( f(x) = x^3 \) (der \( b = 0, c = 0 \)):
\[
f'(x) = 3x^2 \geq 0 \text{ for alle } x
\]
\( f'(x) = 0 \) kun for \( x = 0 \), men funksjonen er stigende på begge sider. Dermed er \( x = 0 \) et terrassepunkt (vendepunkt med horisontal tangent), ikke et topp- eller bunnpunkt.
Når blir \( x = 0 \) et ekte topp- eller bunnpunkt?
Vi bruker andrederiverten:
\[
f''(x) = 6ax + 2b \quad \Rightarrow \quad f''(0) = 2b
\]
- Dersom \( b \neq 0 \): \( f''(0) = 2b \neq 0 \), og \( x = 0 \) er et ekte topp- eller bunnpunkt.
- Dersom \( b = 0 \): \( f(x) = ax^3 + c \), og \( x = 0 \) er et terrassepunkt (som for \( x^3 \)).
Kommentar til Trym sin regel: Tryms observasjon er nesten riktig. Det stemmer at dersom en tredjegradsfunksjon mangler førstegradsleddet, har den alltid et stasjonært punkt på \( y \)-aksen. Men dette er bare et ekte topp- eller bunnpunkt dersom andregradsleddet også er til stede (\( b \neq 0 \)). Hvis også andregradsleddet mangler (slik som for \( x^3 \)), blir det et terrassepunkt i stedet.
Konklusjon: For en tredjegradsfunksjon \( f(x) = ax^3 + bx^2 + c \) (uten førstegradsledd) gjelder: \( f'(0) = 0 \) alltid, så det er et stasjonært punkt på \( y \)-aksen. Det er et ekte topp- eller bunnpunkt hvis og bare hvis \( b \neq 0 \). Hvis \( b = 0 \), er det et terrassepunkt.
🎯 Karakterskillet 4 → 6:
| 4 (god) | 6 (svært god) |
|---|---|
| Kommer fram til riktig svar i de fleste oppgaver | Riktig svar med tydelige utregninger og forklaringer |
| Bruker formler korrekt | Velger riktig metode + viser forståelse av når metoden gjelder |
| Algebraisk forenkling stort sett korrekt | Effektiv algebraisk teknikk + faktoriserer før unødvendig regning |
| Modelleringsoppgaver: regner riktig, tolkning kort | Modellering: drøfter modellens gyldighet, kontekstualiserer svaret |
| Programmering fungerer, men sparsom dokumentasjon | Programmering med klare kommentarer + forklaring av algoritmen |
| Trigonometri-oppgaver: bruker setninger riktig | Trigonometri: kan utlede/bevise sinussetning og cosinussetning (KM13) |
⚠️ Vanlige feil å unngå:
- Glemme parenteser ved minustegn i kvadratsetninger ($(a-b)^2 \neq a^2 - b^2$)
- Bruke $a/b + c/d = (a+c)/(b+d)$ — du må finne fellesnevner
- Glemme kjerneregelen ved derivasjon av sammensatte funksjoner
- Bruke radianer der gradeer kreves (eller omvendt) i trigonometri
- I sinussetningen: forveksle hvilken vinkel som hører til hvilken side
- I Del 2: ikke dokumentere CAS/GeoGebra-bruk — sensor må kunne følge tankene
- Programmering: kjøre kode uten å forklare hva den gjør
- Modellering: glemme å tolke resultatet i kontekst (svaret har en betydning!)
- Funksjonsanalyse: glemme å oppgi definisjonsmengde og verdimengde
- Andregradsulikheter: glemme fortegnsskjema