Løsningsforslag – Matematikk 1T Høst 2024

Eksamen MAT1021

Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no. Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.

📋 Sensorens fokus (LK20 MAT09-01 / MAT1021):

Korrekt regning og tydelige utregninger — vis alle steg, ikke bare svaret
Riktig bruk av matematiske symboler — likhetstegn, fortegn, parenteser
Tolkning og kontekst — i Del 2-modellering, drøft hva resultatet betyr
Bevisføring (KM13) — sinussetning, cosinussetning, arealsetning kan testes
Bruk av digitale verktøy i Del 2 — CAS, GeoGebra, programmering med dokumentasjon
Programmering (KM1) — kode skal fungere og være dokumentert

⏰ Tidsplan for 5-timers eksamen:

Aktivitet	Tid
Del 1 (uten hjelpemidler) — alle oppgaver	2 timer
Pause + lever Del 1	15 min
Del 2 (med hjelpemidler) — gjennomgå alle oppgaver først	15 min
Del 2 — løs i prioritert rekkefølge (lett → vanskelig)	2 t 15 min
Korrektur, sjekk svar og enheter	15 min

Tips Del 1: Sjekk at du har formelkunnskap automatisert (kvadratsetninger, ABC-formel, derivasjonsregler, sinus/cosinus-spesielle vinkler).

Tips Del 2: Bruk CAS for verifikasjon, ikke bare for utregning. Dokumenter alle steg i digitale verktøy med skjermbilder eller utskrift.

💡 Strategi per oppgavetype:

Algebraisk forenkling: Faktoriser før du forenkler. Bruk kvadratsetninger og konjugatsetning når mulig.
Andregradslikninger: Prøv faktorisering først (kvadratsetning, felles faktor). Bruk ABC-formelen som backup.
Trigonometri: Tegn alltid en figur. Identifiser hvilke sider/vinkler er kjent. Velg sinussetning eller cosinussetning basert på dette.
Derivasjon: Bruk derivasjonsregler systematisk. Husk kjerneregelen ved sammensatte funksjoner.
Funksjonsanalyse: 1) Finn nullpunkt, 2) Deriver, 3) Finn topp/bunn, 4) Monotoni-skjema, 5) Skisser.
Modellering: 1) Hva sier teksten? 2) Hvilken modell passer? 3) Tilpass parametere. 4) Tolk resultatet.
Programmering: Forklar koden i kommentarer. Vis at du forstår algoritmen.

Oppgave 1 - Løsning

Oppgave: Vis at formelen $2 \cdot \sin(u) \cdot \cos(u) = \sin(2u)$ gjelder når $u = 30°$, ved å bruke den gitte trekanten.

Steg 1: Finn trigonometriske verdier fra trekanten

Fra den rettvinklede trekanten med vinkler 30°, 60° og 90°:

For vinkelen $u = 30°$:

\[\sin(30°) = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{1}{2}\]

\[\cos(30°) = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Steg 2: Regn ut venstre side

\[2 \cdot \sin(30°) \cdot \cos(30°) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Steg 3: Regn ut høyre side

Når $u = 30°$, blir $2u = 60°$.

Fra trekanten:

\[\sin(60°) = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Steg 4: Sammenlign

\[\text{Venstre side: } 2 \cdot \sin(30°) \cdot \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[\text{Høyre side: } \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Konklusjon: Venstre side = Høyre side = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Formelen $2 \cdot \sin(u) \cdot \cos(u) = \sin(2u)$ er verifisert for $u = 30°$.

Vanlig feil: Noen elever prøver å bruke kalkulatoren direkte uten å vise utregningen steg for steg. Oppgaven ber deg bruke trekanten, altså lese av sinus- og cosinusverdier fra sidelengdene. Husk at i en 30-60-90-trekant med hypotenus 2 er katetene 1 og $\sqrt{3}$, noe som gir $\sin 30° = \frac{1}{2}$ og $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Oppgave 2 - Løsning

Oppgave: Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = (x-1)(x+3)$. Bestem koordinatene til bunnpunktet på grafen til $f$.

Metode: Bruk nullpunktene

For en andregradsfunksjon på formen $f(x) = (x - x_1)(x - x_2)$ ligger bunnpunktet (eller toppunktet) midt mellom nullpunktene.

Steg 1: Finn nullpunktene

Fra den faktoriserte formen $f(x) = (x-1)(x+3)$ kan vi lese av nullpunktene direkte:

\[x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 1\]

\[x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = -3\]

Steg 2: Finn x-koordinaten til bunnpunktet

x-koordinaten til bunnpunktet er gjennomsnittet av nullpunktene:

\[x_b = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]

Steg 3: Finn y-koordinaten til bunnpunktet

Sett $x = -1$ inn i funksjonen:

\[f(-1) = ((-1) - 1)((-1) + 3) = (-2) \cdot 2 = -4\]

Svar: Bunnpunktet har koordinatene $\boxed{(-1, -4)}$

Vanlig feil: Noen elever finner $x$-koordinaten til bunnpunktet men regner feil funksjonsverdi. Husk at $x_b$ ligger midt mellom nullpunktene, og du må sette denne verdien tilbake i funksjonsuttrykket for å finne $y_b$. En annen metode er å fullstendigkvadrere: $(x-1)(x+3) = x^2 + 2x - 3 = (x+1)^2 - 4$, som direkte viser bunnpunktet $(-1, -4)$.

Oppgave 3 - Løsning

Oppgave: Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = x^3 + 7x^2 + 4x - 12$. Løs ulikheten $f(x) < 0$ og illustrer løsningen grafisk ved å lage en skisse.

Steg 1: Faktoriser polynomet

Vi prøver å finne en rot ved å teste enkle verdier:

\[f(1) = 1^3 + 7 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 - 12 = 1 + 7 + 4 - 12 = 0 \quad \checkmark\]

Siden $f(1) = 0$, er $x = 1$ en rot, og $(x-1)$ er en faktor.

Steg 2: Polynomdivisjon

Vi deler $x^3 + 7x^2 + 4x - 12$ på $(x-1)$:

\[(x^3 + 7x^2 + 4x - 12) \div (x - 1) = x^2 + 8x + 12\]

\[ \begin{array}{r@{}r@{}r@{}r} \underline{x^3} & \underline{{} + 7x^2} & \underline{{} + 4x} & \underline{{} - 12} \\[2pt] -(x^3 & {} - x^2) & & \\[2pt] \hline & 8x^2 & {} + 4x & {} - 12 \\[2pt] & -(8x^2 & {} - 8x) & \\[2pt] \hline & & 12x & {} - 12 \\[2pt] & & -(12x & {} - 12) \\[2pt] \hline & & & 0 \end{array} \]

Resultat:

\[x^3 + 7x^2 + 4x - 12 = (x-1)(x^2 + 8x + 12)\]

Steg 3: Faktoriser andregradsuttrykket

\[x^2 + 8x + 12 = (x+2)(x+6)\]

Fullstendig faktorisering:

\[f(x) = (x-1)(x+2)(x+6)\]

Steg 4: Finn nullpunktene

Nullpunktene er: $x = 1$, $x = -2$, og $x = -6$

Steg 5: Fortegnsskjema

For et tredjegradspolynom med positiv ledende koeffisient:

$x$	$x < -6$	$-6$	$-6 < x < -2$	$-2$	$-2 < x < 1$	$1$	$x > 1$
$f(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Steg 6: Grafisk illustrasjon

Røde områder viser hvor $f(x) < 0$

Svar: $f(x) < 0$ når \[\boxed{x < -6 \quad \text{eller} \quad -2 < x < 1}\] På intervallform: $x \in \langle \leftarrow, -6 \rangle \cup \langle -2, 1 \rangle$

Oppgave 4 - Løsning

Oppgave: I koordinatsystemet har vi en sirkel med radius $r = 1$. Punktet $P(0{,}64 \, , \, 0{,}77)$ ligger på sirkelen ved vinkelen $50°$.

a) Er $\tan 50° > 1$? Husk å begrunne svaret ditt.
b) Er $\tan 130° > 0$? Husk å begrunne svaret ditt.

Bakgrunn: Enhetssirkelen

For enhetssirkelen (radius = 1) gjelder:

$\cos(\theta) = x$-koordinaten
$\sin(\theta) = y$-koordinaten
$\tan(\theta) = \dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \dfrac{y}{x}$

Fra figuren: $P(0{,}64 \, , \, 0{,}77)$ ligger ved $50°$, så $\cos(50°) = 0{,}64$ og $\sin(50°) = 0{,}77$.

a) Er tan 50° > 1?

\[\tan(50°) = \frac{\sin(50°)}{\cos(50°)} = \frac{0{,}77}{0{,}64} \approx 1{,}20\]

Siden $\sin(50°) = 0{,}77 > 0{,}64 = \cos(50°)$, blir brøken større enn 1.

Svar a): Ja, $\tan 50° > 1$ fordi $\sin(50°) > \cos(50°)$.

Vanlig feil: Mange elever husker ikke hva tangens betyr geometrisk. I enhetssirkelen er $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$. Når $\theta > 45°$ (i første kvadrant), er sinus større enn cosinus, og dermed er tangens større enn 1. For $\theta = 45°$ er $\tan 45° = 1$ nøyaktig.

b) Er tan 130° > 0?

$130°$ ligger i andre kvadrant (mellom $90°$ og $180°$).

I andre kvadrant:

$\sin(130°) > 0$ (y-koordinaten er positiv)
$\cos(130°) < 0$ (x-koordinaten er negativ)

\[\tan(130°) = \frac{\sin(130°)}{\cos(130°)} = \frac{\text{positiv}}{\text{negativ}} = \text{negativ}\]

Svar b): Nei, $\tan 130° < 0$ fordi i andre kvadrant er sinus positiv og cosinus negativ, noe som gir negativ tangens.

Oppgave 5 - Løsning

Oppgave: Vis at $(s+t)^2 + (s-t)^2 = 2(s^2 + t^2)$.

Vi utvider venstre side ved hjelp av kvadratsetningene:

\[(s+t)^2 = s^2 + 2st + t^2\]

\[(s-t)^2 = s^2 - 2st + t^2\]

Vi legger sammen:

\[(s+t)^2 + (s-t)^2 = (s^2 + 2st + t^2) + (s^2 - 2st + t^2)\]

\[= s^2 + 2st + t^2 + s^2 - 2st + t^2\]

\[= 2s^2 + 2t^2 = 2(s^2 + t^2)\]

Svar: Vi har vist at $(s+t)^2 + (s-t)^2 = 2(s^2 + t^2)$. Leddene $+2st$ og $-2st$ kansellerer hverandre når vi legger sammen de to kvadratene.

Vanlig feil: Mange elever gjør fortegnsfeil når de utvider $(s-t)^2$ og skriver $s^2 - st + t^2$ i stedet for $s^2 - 2st + t^2$. Nøkkelen til dette beviset er at kryssleddene $+2st$ og $-2st$ kansellerer hverandre. Denne identiteten har en fin geometrisk tolkning: summen av arealene av to kvadrater med sider $s+t$ og $s-t$ er alltid det dobbelte av summen av arealene av kvadratene med sider $s$ og $t$.

DEL 2
Med hjelpemidler

Oppgave 1 - Løsning

Oppgave: Funksjonen $P(x) = 3600 \cdot 0{,}85^x + 600$ viser antall personer som abonnerer på papirutgaven av en avis $x$ år etter 2010.

a) Antall abonnenter i 2010 (to metoder)

Metode 1: Sett inn x = 0

I 2010 er $x = 0$:

\[P(0) = 3600 \cdot 0{,}85^0 + 600 = 3600 \cdot 1 + 600 = 4200\]

Metode 2: Tolkning av funksjonsuttrykket

Funksjonen $P(x) = 3600 \cdot 0{,}85^x + 600$ er på formen $a \cdot b^x + c$.

Startverdien (når $x = 0$) er $a + c = 3600 + 600 = 4200$.

Svar a): Det var 4200 abonnenter på papirutgaven i 2010.

b) Stigningstall til sekanten

Vi finner først funksjonsverdiene:

\[P(4) = 3600 \cdot 0{,}85^4 + 600 = 3600 \cdot 0{,}522 + 600 \approx 2479\]

\[P(14) = 3600 \cdot 0{,}85^{14} + 600 = 3600 \cdot 0{,}103 + 600 \approx 971\]

Stigningstallet til linjen gjennom $(4, P(4))$ og $(14, P(14))$:

\[a = \frac{P(14) - P(4)}{14 - 4} = \frac{971 - 2479}{10} = \frac{-1508}{10} = -150{,}8\]

Svar b): Stigningstallet er $\approx -151$.

Praktisk tolkning: I gjennomsnitt mistet papirutgaven ca. 151 abonnenter per år i perioden fra 2014 til 2024.

c) Momentan vekstfart når x = 10

Vi deriverer $P(x)$:

\[P'(x) = 3600 \cdot 0{,}85^x \cdot \ln(0{,}85) = 3600 \cdot \ln(0{,}85) \cdot 0{,}85^x\]

Vi setter inn $x = 10$:

\[P'(10) = 3600 \cdot \ln(0{,}85) \cdot 0{,}85^{10} \approx 3600 \cdot (-0{,}1625) \cdot 0{,}1969 \approx -115{,}2\]

Svar c): Den momentane vekstfarten når $x = 10$ er $\approx -115$.

Praktisk tolkning: I 2020 (når $x = 10$) minket antall papirabonnenter med ca. 115 personer per år.

d) Når overstiger digital papir?

Digital i 2019: 1000 abonnenter. Vokser med 5,5% per år.

Modell for digital ($t$ = år etter 2019):

\[D(t) = 1000 \cdot 1{,}055^t\]

Vi må sammenligne med papir. År 2019 tilsvarer $x = 9$ i P(x).

For år $t$ etter 2019 (dvs. $x = 9 + t$):

\[P(9 + t) = 3600 \cdot 0{,}85^{9+t} + 600\]

Vi løser $D(t) = P(9 + t)$:

\[1000 \cdot 1{,}055^t = 3600 \cdot 0{,}85^{9+t} + 600\]

Ved numerisk løsning (CAS/grafisk) får vi $t \approx 3{,}1$.

År: $2019 + 3{,}1 \approx 2022$

Svar d): Det var for første gang flere digitale abonnenter enn papirabonnenter i 2022.

Vanlig feil: Mange elever glemmer å justere variabelen $t$ riktig når de sammenligner to modeller med ulike starttidspunkt. Her starter papirmodellen $P(x)$ fra 2010, mens digitalmodellen $D(t)$ starter fra 2019, altså $x = 9 + t$. Pass på at du sammenlikner funksjonene for samme tidspunkt.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer funksjonen: P(x) := 3600 * 0.85^x + 600
Skriv: P(4) → gir $\approx 2479$
Skriv: P(14) → gir $\approx 970$
Stigningstall: (P(14) - P(4)) / (14 - 4) → gir $\approx -151$
Derivert: Derivert(P, x)

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

Skriv inn: P(x) = 3600 * 0.85^x + 600 (blå kurve)
Skriv inn: D(x) = 1000 * 1.055^(x - 9) (rød kurve)
Punkt A og B for sekantlinjen, skjæringspunkt I rundt $x \approx 12$

Oppgave 2 - Løsning

Oppgave: Maria lager en stjerne av 12 likesidede trekanter med sidelengde 4. Ved Pytagoras har hun funnet at arealet er $48\sqrt{3}$. Vis at du kan komme fram til samme resultat ved å bruke trigonometri.

Løsning med trigonometri

For en likesidet trekant med side $s$ er alle vinkler $60°$.

Arealformel med trigonometri:

\[A = \frac{1}{2} \cdot s \cdot s \cdot \sin(60°) = \frac{1}{2} s^2 \sin(60°)\]

Med $s = 4$:

\[A_{\text{én trekant}} = \frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot \sin(60°) = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\]

Totalt areal for 12 trekanter:

\[A_{\text{total}} = 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3}\]

Svar: Ved å bruke arealformelen $A = \frac{1}{2}ab\sin(C)$ får vi arealet $\boxed{48\sqrt{3}}$, som stemmer med Marias svar.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Areal av én trekant: 1/2 * 4^2 * sin(60°) → gir $4\sqrt{3}$
Totalt areal: 12 * 4 * sqrt(3) → gir $48\sqrt{3}$

Oppgave 3 - Løsning

Oppgave: En rasjonal funksjon $f$ har asymptotene $x = 2$ og $y = 4$. Nullpunktet er $x = -3$. Bestem et mulig funksjonsuttrykk $f(x)$.

Resonnement

Vertikal asymptote $x = 2$: Nevneren må ha en faktor $(x - 2)$.

Horisontal asymptote $y = 4$: Forholdet mellom ledende koeffisienter i teller og nevner må være 4.

Nullpunkt $x = -3$: Telleren må ha en faktor $(x + 3)$.

Konstruksjon av funksjonen

Vi starter med grunnformen:

\[f(x) = \frac{a(x + 3)}{x - 2}\]

For at den horisontale asymptoten skal være $y = 4$, må $a = 4$:

\[f(x) = \frac{4(x + 3)}{x - 2} = \frac{4x + 12}{x - 2}\]

Verifisering

Vertikal asymptote: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ ✓
Horisontal asymptote: $\lim_{x \to \infty} \frac{4x + 12}{x - 2} = \frac{4}{1} = 4$ ✓
Nullpunkt: $4x + 12 = 0 \Rightarrow x = -3$ ✓

Svar: Et mulig funksjonsuttrykk er $\boxed{f(x) = \frac{4(x + 3)}{x - 2} = \frac{4x + 12}{x - 2}}$

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

Skriv inn: f(x) = 4(x + 3) / (x - 2)
Vertikal asymptote: x = 2 (stiplet)
Horisontal asymptote: y = 4 (stiplet)
Nullpunktet N = (-3, 0) og y-skjæringen (0, -6) vises tydelig

Oppgave 4 - Løsning

Oppgave: $n!$ (n fakultet) er produktet av alle naturlige tall fra 1 til n.
a) Lag et program som regner ut $n!$. Bruk det til å regne ut 5!, 10! og 15!
b) Gjør rede for hvilke faktorer som gjør at det er 24 nuller i slutten av 100!

a) Program for n!

def fakultet(n):
    resultat = 1
    for i in range(1, n + 1):
        resultat = resultat * i
    return resultat

print("5! =", fakultet(5))
print("10! =", fakultet(10))
print("15! =", fakultet(15))

Resultater:

\[5! = 120\] \[10! = 3\,628\,800\] \[15! = 1\,307\,674\,368\,000\]

Svar a): $5! = 120$, $10! = 3\,628\,800$, $15! = 1\,307\,674\,368\,000$

b) Antall nuller i 100!

En null på slutten kommer fra faktoren $10 = 2 \times 5$.

Det er mange flere faktorer av 2 enn 5 i 100!, så antall nuller bestemmes av antall faktorer av 5.

Vi teller faktorer av 5:

Tall delelig med 5: $\lfloor 100/5 \rfloor = 20$ (gir 20 faktorer av 5)
Tall delelig med 25: $\lfloor 100/25 \rfloor = 4$ (gir 4 ekstra faktorer av 5)
Tall delelig med 125: $\lfloor 100/125 \rfloor = 0$

Totalt antall faktorer av 5:

\[20 + 4 + 0 = 24\]

Svar b): 100! har 24 nuller på slutten fordi det er 24 faktorer av 5 i produktet. Tallene 5, 10, 15, ..., 100 bidrar med én faktor av 5 hver (20 stk), og tallene 25, 50, 75, 100 bidrar med én ekstra faktor av 5 hver (4 stk).

Oppgave 5 - Løsning

Oppgave: Tredjegradsfunksjonen $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ oppfyller:

Grafen går gjennom punktet $(2, 6)$
Punktet $(-2, 8)$ er et toppunkt
Tangenten i punktet $(3, f(3))$ har stigningstall 4

Bestem $a$, $b$, $c$ og $d$.

Setter opp likningssystem

Den deriverte er $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$.

Likning 1: Grafen går gjennom punktet $(2, 6)$, derfor er $f(2) = 6$:

\[a \cdot 2^3 + b \cdot 2^2 + c \cdot 2 + d = 6 \quad \Rightarrow \quad 8a + 4b + 2c + d = 6\]

Likning 2: Punktet $(-2, 8)$ er et toppunkt, så grafen går gjennom dette punktet. Derfor er $f(-2) = 8$:

\[a \cdot (-2)^3 + b \cdot (-2)^2 + c \cdot (-2) + d = 8 \quad \Rightarrow \quad -8a + 4b - 2c + d = 8\]

Likning 3: Siden $(-2, 8)$ er et toppunkt, er tangenten horisontal der. Derfor er $f'(-2) = 0$:

\[3a \cdot (-2)^2 + 2b \cdot (-2) + c = 0 \quad \Rightarrow \quad 12a - 4b + c = 0\]

Likning 4: Tangenten i punktet $(3, f(3))$ har stigningstall 4, derfor er $f'(3) = 4$:

\[3a \cdot 3^2 + 2b \cdot 3 + c = 4 \quad \Rightarrow \quad 27a + 6b + c = 4\]

Løser likningssystemet med CAS

Vi bruker GeoGebra CAS til å løse likningssystemet:

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Skriv: Løs({8a + 4b + 2c + d = 6, -8a + 4b - 2c + d = 8, 12a - 4b + c = 0, 27a + 6b + c = 4}, {a, b, c, d})

Svar: $\boxed{a = \frac{3}{20}, \quad b = \frac{7}{40}, \quad c = -\frac{11}{10}, \quad d = \frac{63}{10}}$

Oppgave 6 - Løsning

Oppgave: Figuren ABCD har $AD = 6{,}0$, $BC = 10{,}0$, $AC = 16{,}4$, $DC = 12{,}0$, $AB = 8{,}0$.
a) Isabel: Bruk sidelengdene til å finne arealet.
b) Anniken: Bruk vinklene $\angle A = 62{,}5°$, $\angle C = 38{,}3°$, $\angle ABD = 45{,}5°$, $\angle CBD = 85{,}5°$ til å finne arealet.

a) Isabels metode (med sidelengder)

Kjent informasjon fra oppgaven:

$AD = 6{,}0$, $BC = 10{,}0$, $AC = 16{,}4$, $DC = 12{,}0$, $AB = 8{,}0$

Vi deler firkanten i to trekanter ved diagonalen $AC$: trekant $\triangle ADC$ og trekant $\triangle ABC$.

Cosinussetningen

For en trekant med sider $a$, $b$, $c$ og vinkel $C$ (motsatt side $c$) gjelder:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\]

Arealsetningen

Arealet av en trekant med to sider $a$ og $b$ og mellomliggende vinkel $C$ er:

\[\text{Areal} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)\]

Beregning med GeoGebra CAS

Trekant ADC:

Vi definerer sidelengdene og bruker cosinussetningen til å finne vinkel $D$:

Fra CAS: $AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos(D)$ gir $D = 128{,}154°$

Arealet av $\triangle ADC$ med arealsetningen:

\[\text{Areal}_1 = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DC \cdot \sin(128{,}154°) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 12 \cdot \sin(128{,}154°) \approx 28{,}31\]

Trekant ABC:

Vi bruker samme fremgangsmåte for trekant $ABC$:

Fra CAS: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(B)$ gir $B = 130{,}996°$

\[\text{Areal}_2 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(130{,}996°) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin(130{,}996°) \approx 30{,}19\]

Totalt areal:

Svar a): Arealet er $\text{Areal}_1 + \text{Areal}_2 \approx 28{,}31 + 30{,}19 = \boxed{58{,}5}$

b) Annikens metode (med vinkler)

Kjent informasjon:

Fra figuren: $AB = 8{,}0$ og $DC = 12{,}0$
Vinkler: $\angle DAB = 62{,}5°$, $\angle BCD = 38{,}3°$, $\angle ABD = 45{,}5°$, $\angle DBC = 85{,}5°$

Vi deler firkanten i to trekanter ved diagonalen $BD$.

Sinussetningen

For en trekant med sider $a$, $b$, $c$ og motstående vinkler $A$, $B$, $C$ gjelder:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

Beregning med GeoGebra CAS

Trekant ABD:

Vinkelsummen gir: $\angle ADB = 180° - 62{,}5° - 45{,}5° = 72°$

Vi bruker sinussetningen til å finne $AD$:

Areal av $\triangle ABD$ med arealsetningen:

\[A_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle DAB) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 \cdot \sin(62{,}5°) \approx 21{,}29\]

Trekant BCD:

Vinkelsummen gir: $\angle BDC = 180° - 38{,}3° - 85{,}5° = 56{,}2°$

Vi bruker sinussetningen til å finne $BC$:

Areal av $\triangle BCD$ med arealsetningen:

\[A_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot BC \cdot \sin(\angle BCD) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 \cdot \sin(38{,}3°) \approx 37{,}19\]

Totalt areal:

Svar b): Arealet er $A_{ABD} + A_{BCD} \approx 21{,}29 + 37{,}19 = \boxed{58{,}5}$

Oppgave 7 - Løsning

Oppgave: Else skal lage en grønnsakhage med tre områder: et rektangel i midten og to likebeinte rettvinklede trekanter på sidene. Hun har 100 m gjerde totalt.

Oppsett av problemet

La $x$ være katetene i trekantene og $y$ være bredden på rektangelet. Høyden på rektangelet er da også $x$.

Gjerde (alle linjer):

Bunn: $x + y + x = 2x + y$
To hypotenuser: $2 \cdot x\sqrt{2} = 2\sqrt{2}x$
Topp av rektangel: $y$
To indre vertikale vegger: $2x$

Total gjerde:

\[2x + y + 2\sqrt{2}x + y + 2x = (4 + 2\sqrt{2})x + 2y = 100\]

Vi løser for $y$:

\[y = \frac{100 - (4 + 2\sqrt{2})x}{2} = 50 - (2 + \sqrt{2})x\]

Areal:

\[A = \text{rektangel} + \text{2 trekanter} = xy + 2 \cdot \frac{x^2}{2} = xy + x^2\]

a) Areal når x = 8 m

Først finner vi $y$:

\[y = 50 - (2 + \sqrt{2}) \cdot 8 = 50 - (2 + 1{,}414) \cdot 8 = 50 - 27{,}31 = 22{,}69 \text{ m}\]

Arealet blir:

\[A = xy + x^2 = 8 \cdot 22{,}69 + 8^2 = 181{,}5 + 64 = 245{,}5 \text{ m}^2\]

Svar a): Arealet blir $\boxed{245{,}5 \text{ m}^2}$ når katetene er 8 m.

b) Oversikt over areal for ulike verdier av x

$x$ (m)	$y$ (m)	$A$ (m²)
4	36,3	161,4
6	29,5	213,1
8	22,7	245,5
10	15,9	258,6
12	9,0	252,5
14	2,2	227,1

Svar b): Tabellen viser at arealet er størst når $x \approx 10$ m.

c) Modell for arealet A(x)

Vi setter uttrykket for $y$ inn i arealformelen:

\[A(x) = x \cdot \left(50 - (2 + \sqrt{2})x\right) + x^2\]

\[A(x) = 50x - (2 + \sqrt{2})x^2 + x^2 = 50x - (1 + \sqrt{2})x^2\]

Svar c): Modellen er $\boxed{A(x) = 50x - (1 + \sqrt{2})x^2}$

d) Maksimalt areal

Vi deriverer og setter lik null:

\[A'(x) = 50 - 2(1 + \sqrt{2})x = 0\]

\[x = \frac{50}{2(1 + \sqrt{2})} = \frac{25}{1 + \sqrt{2}}\]

Vi rasjonaliserer nevneren:

\[x = \frac{25}{1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = \frac{25(1 - \sqrt{2})}{1 - 2} = \frac{25(1 - \sqrt{2})}{-1} = 25(\sqrt{2} - 1)\]

\[x = 25(\sqrt{2} - 1) \approx 25 \cdot 0{,}414 \approx 10{,}36 \text{ m}\]

Svar d): Katetlengden som gir størst areal er $\boxed{x = 25(\sqrt{2} - 1) \approx 10{,}4 \text{ m}}$

e) Gyldighetsområde

Vi må ha:

$x > 0$ (katetene må ha positiv lengde)
$y > 0$ (rektangelet må ha positiv bredde)

Fra $y > 0$:

\[50 - (2 + \sqrt{2})x > 0\]

\[x < \frac{50}{2 + \sqrt{2}} = \frac{50}{3{,}414} \approx 14{,}64\]

Svar e): Gyldighetsområdet er $\boxed{0 < x < \frac{50}{2 + \sqrt{2}} \approx 14{,}6 \text{ m}}$

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer: A(x) := 50x - (1 + sqrt(2)) * x^2
Derivert: 50 - 2(1 + sqrt(2)) * x
Toppunkt: $x = 25(\sqrt{2} - 1) \approx 10{,}36$
Maks areal: A(25(sqrt(2) - 1)) → gir $\approx 259 \text{ m}^2$

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

Skriv inn: A(x) = 50x - (1 + sqrt(2)) * x^2
Toppunktet M ved $x \approx 10{,}4$ med $A \approx 259$
Gyldighetsområdet er $0 < x < 14{,}6$

🎯 Karakterskillet 4 → 6:

4 (god)	6 (svært god)
Kommer fram til riktig svar i de fleste oppgaver	Riktig svar med tydelige utregninger og forklaringer
Bruker formler korrekt	Velger riktig metode + viser forståelse av når metoden gjelder
Algebraisk forenkling stort sett korrekt	Effektiv algebraisk teknikk + faktoriserer før unødvendig regning
Modelleringsoppgaver: regner riktig, tolkning kort	Modellering: drøfter modellens gyldighet, kontekstualiserer svaret
Programmering fungerer, men sparsom dokumentasjon	Programmering med klare kommentarer + forklaring av algoritmen
Trigonometri-oppgaver: bruker setninger riktig	Trigonometri: kan utlede/bevise sinussetning og cosinussetning (KM13)

⚠️ Vanlige feil å unngå:

Glemme parenteser ved minustegn i kvadratsetninger ($(a-b)^2 \neq a^2 - b^2$)
Bruke $a/b + c/d = (a+c)/(b+d)$ — du må finne fellesnevner
Glemme kjerneregelen ved derivasjon av sammensatte funksjoner
Bruke radianer der gradeer kreves (eller omvendt) i trigonometri
I sinussetningen: forveksle hvilken vinkel som hører til hvilken side
I Del 2: ikke dokumentere CAS/GeoGebra-bruk — sensor må kunne følge tankene
Programmering: kjøre kode uten å forklare hva den gjør
Modellering: glemme å tolke resultatet i kontekst (svaret har en betydning!)
Funksjonsanalyse: glemme å oppgi definisjonsmengde og verdimengde
Andregradsulikheter: glemme fortegnsskjema

Løsningsforslag – Matematikk 1T Høst 2024

Eksamen MAT1021

Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no. Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.

📋 Sensorens fokus (LK20 MAT09-01 / MAT1021):

Korrekt regning og tydelige utregninger — vis alle steg, ikke bare svaret
Riktig bruk av matematiske symboler — likhetstegn, fortegn, parenteser
Tolkning og kontekst — i Del 2-modellering, drøft hva resultatet betyr
Bevisføring (KM13) — sinussetning, cosinussetning, arealsetning kan testes
Bruk av digitale verktøy i Del 2 — CAS, GeoGebra, programmering med dokumentasjon
Programmering (KM1) — kode skal fungere og være dokumentert

⏰ Tidsplan for 5-timers eksamen:

Aktivitet	Tid
Del 1 (uten hjelpemidler) — alle oppgaver	2 timer
Pause + lever Del 1	15 min
Del 2 (med hjelpemidler) — gjennomgå alle oppgaver først	15 min
Del 2 — løs i prioritert rekkefølge (lett → vanskelig)	2 t 15 min
Korrektur, sjekk svar og enheter	15 min

Tips Del 1: Sjekk at du har formelkunnskap automatisert (kvadratsetninger, ABC-formel, derivasjonsregler, sinus/cosinus-spesielle vinkler).

Tips Del 2: Bruk CAS for verifikasjon, ikke bare for utregning. Dokumenter alle steg i digitale verktøy med skjermbilder eller utskrift.

💡 Strategi per oppgavetype:

Algebraisk forenkling: Faktoriser før du forenkler. Bruk kvadratsetninger og konjugatsetning når mulig.
Andregradslikninger: Prøv faktorisering først (kvadratsetning, felles faktor). Bruk ABC-formelen som backup.
Trigonometri: Tegn alltid en figur. Identifiser hvilke sider/vinkler er kjent. Velg sinussetning eller cosinussetning basert på dette.
Derivasjon: Bruk derivasjonsregler systematisk. Husk kjerneregelen ved sammensatte funksjoner.
Funksjonsanalyse: 1) Finn nullpunkt, 2) Deriver, 3) Finn topp/bunn, 4) Monotoni-skjema, 5) Skisser.
Modellering: 1) Hva sier teksten? 2) Hvilken modell passer? 3) Tilpass parametere. 4) Tolk resultatet.
Programmering: Forklar koden i kommentarer. Vis at du forstår algoritmen.

Oppgave 1 - Løsning

Oppgave: Vis at formelen $2 \cdot \sin(u) \cdot \cos(u) = \sin(2u)$ gjelder når $u = 30°$, ved å bruke den gitte trekanten.

Steg 1: Finn trigonometriske verdier fra trekanten

Fra den rettvinklede trekanten med vinkler 30°, 60° og 90°:

For vinkelen $u = 30°$:

\[\sin(30°) = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{1}{2}\]

\[\cos(30°) = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Steg 2: Regn ut venstre side

\[2 \cdot \sin(30°) \cdot \cos(30°) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Steg 3: Regn ut høyre side

Når $u = 30°$, blir $2u = 60°$.

Fra trekanten:

\[\sin(60°) = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Steg 4: Sammenlign

\[\text{Venstre side: } 2 \cdot \sin(30°) \cdot \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[\text{Høyre side: } \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Konklusjon: Venstre side = Høyre side = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Formelen $2 \cdot \sin(u) \cdot \cos(u) = \sin(2u)$ er verifisert for $u = 30°$.

Oppgave 2 - Løsning

Oppgave: Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = (x-1)(x+3)$. Bestem koordinatene til bunnpunktet på grafen til $f$.

Metode: Bruk nullpunktene

For en andregradsfunksjon på formen $f(x) = (x - x_1)(x - x_2)$ ligger bunnpunktet (eller toppunktet) midt mellom nullpunktene.

Steg 1: Finn nullpunktene

Fra den faktoriserte formen $f(x) = (x-1)(x+3)$ kan vi lese av nullpunktene direkte:

\[x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 1\]

\[x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = -3\]

Steg 2: Finn x-koordinaten til bunnpunktet

x-koordinaten til bunnpunktet er gjennomsnittet av nullpunktene:

\[x_b = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]

Steg 3: Finn y-koordinaten til bunnpunktet

Sett $x = -1$ inn i funksjonen:

\[f(-1) = ((-1) - 1)((-1) + 3) = (-2) \cdot 2 = -4\]

Svar: Bunnpunktet har koordinatene $\boxed{(-1, -4)}$

Oppgave 3 - Løsning

Oppgave: Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = x^3 + 7x^2 + 4x - 12$. Løs ulikheten $f(x) < 0$ og illustrer løsningen grafisk ved å lage en skisse.

Steg 1: Faktoriser polynomet

Vi prøver å finne en rot ved å teste enkle verdier:

\[f(1) = 1^3 + 7 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 - 12 = 1 + 7 + 4 - 12 = 0 \quad \checkmark\]

Siden $f(1) = 0$, er $x = 1$ en rot, og $(x-1)$ er en faktor.

Steg 2: Polynomdivisjon

Vi deler $x^3 + 7x^2 + 4x - 12$ på $(x-1)$:

\[(x^3 + 7x^2 + 4x - 12) \div (x - 1) = x^2 + 8x + 12\]

Resultat:

\[x^3 + 7x^2 + 4x - 12 = (x-1)(x^2 + 8x + 12)\]

Steg 3: Faktoriser andregradsuttrykket

\[x^2 + 8x + 12 = (x+2)(x+6)\]

Fullstendig faktorisering:

\[f(x) = (x-1)(x+2)(x+6)\]

Steg 4: Finn nullpunktene

Nullpunktene er: $x = 1$, $x = -2$, og $x = -6$

Steg 5: Fortegnsskjema

For et tredjegradspolynom med positiv ledende koeffisient:

$x$	$x < -6$	$-6$	$-6 < x < -2$	$-2$	$-2 < x < 1$	$1$	$x > 1$
$f(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Steg 6: Grafisk illustrasjon

Røde områder viser hvor $f(x) < 0$

Svar: $f(x) < 0$ når \[\boxed{x < -6 \quad \text{eller} \quad -2 < x < 1}\] På intervallform: $x \in \langle \leftarrow, -6 \rangle \cup \langle -2, 1 \rangle$

Oppgave 4 - Løsning

Bakgrunn: Enhetssirkelen

For enhetssirkelen (radius = 1) gjelder:

$\cos(\theta) = x$-koordinaten
$\sin(\theta) = y$-koordinaten
$\tan(\theta) = \dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \dfrac{y}{x}$

Fra figuren: $P(0{,}64 \, , \, 0{,}77)$ ligger ved $50°$, så $\cos(50°) = 0{,}64$ og $\sin(50°) = 0{,}77$.

a) Er tan 50° > 1?

\[\tan(50°) = \frac{\sin(50°)}{\cos(50°)} = \frac{0{,}77}{0{,}64} \approx 1{,}20\]

Siden $\sin(50°) = 0{,}77 > 0{,}64 = \cos(50°)$, blir brøken større enn 1.

Svar a): Ja, $\tan 50° > 1$ fordi $\sin(50°) > \cos(50°)$.

b) Er tan 130° > 0?

$130°$ ligger i andre kvadrant (mellom $90°$ og $180°$).

I andre kvadrant:

$\sin(130°) > 0$ (y-koordinaten er positiv)
$\cos(130°) < 0$ (x-koordinaten er negativ)

\[\tan(130°) = \frac{\sin(130°)}{\cos(130°)} = \frac{\text{positiv}}{\text{negativ}} = \text{negativ}\]

Svar b): Nei, $\tan 130° < 0$ fordi i andre kvadrant er sinus positiv og cosinus negativ, noe som gir negativ tangens.

Oppgave 5 - Løsning

Oppgave: Vis at $(s+t)^2 + (s-t)^2 = 2(s^2 + t^2)$.

Vi utvider venstre side ved hjelp av kvadratsetningene:

\[(s+t)^2 = s^2 + 2st + t^2\]

\[(s-t)^2 = s^2 - 2st + t^2\]

Vi legger sammen:

\[(s+t)^2 + (s-t)^2 = (s^2 + 2st + t^2) + (s^2 - 2st + t^2)\]

\[= s^2 + 2st + t^2 + s^2 - 2st + t^2\]

\[= 2s^2 + 2t^2 = 2(s^2 + t^2)\]

Svar: Vi har vist at $(s+t)^2 + (s-t)^2 = 2(s^2 + t^2)$. Leddene $+2st$ og $-2st$ kansellerer hverandre når vi legger sammen de to kvadratene.

DEL 2
Med hjelpemidler

Oppgave 1 - Løsning

Oppgave: Funksjonen $P(x) = 3600 \cdot 0{,}85^x + 600$ viser antall personer som abonnerer på papirutgaven av en avis $x$ år etter 2010.

a) Antall abonnenter i 2010 (to metoder)

Metode 1: Sett inn x = 0

I 2010 er $x = 0$:

\[P(0) = 3600 \cdot 0{,}85^0 + 600 = 3600 \cdot 1 + 600 = 4200\]

Metode 2: Tolkning av funksjonsuttrykket

Funksjonen $P(x) = 3600 \cdot 0{,}85^x + 600$ er på formen $a \cdot b^x + c$.

Startverdien (når $x = 0$) er $a + c = 3600 + 600 = 4200$.

Svar a): Det var 4200 abonnenter på papirutgaven i 2010.

b) Stigningstall til sekanten

Vi finner først funksjonsverdiene:

\[P(4) = 3600 \cdot 0{,}85^4 + 600 = 3600 \cdot 0{,}522 + 600 \approx 2479\]

\[P(14) = 3600 \cdot 0{,}85^{14} + 600 = 3600 \cdot 0{,}103 + 600 \approx 971\]

Stigningstallet til linjen gjennom $(4, P(4))$ og $(14, P(14))$:

\[a = \frac{P(14) - P(4)}{14 - 4} = \frac{971 - 2479}{10} = \frac{-1508}{10} = -150{,}8\]

Svar b): Stigningstallet er $\approx -151$.

Praktisk tolkning: I gjennomsnitt mistet papirutgaven ca. 151 abonnenter per år i perioden fra 2014 til 2024.

c) Momentan vekstfart når x = 10

Vi deriverer $P(x)$:

\[P'(x) = 3600 \cdot 0{,}85^x \cdot \ln(0{,}85) = 3600 \cdot \ln(0{,}85) \cdot 0{,}85^x\]

Vi setter inn $x = 10$:

\[P'(10) = 3600 \cdot \ln(0{,}85) \cdot 0{,}85^{10} \approx 3600 \cdot (-0{,}1625) \cdot 0{,}1969 \approx -115{,}2\]

Svar c): Den momentane vekstfarten når $x = 10$ er $\approx -115$.

Praktisk tolkning: I 2020 (når $x = 10$) minket antall papirabonnenter med ca. 115 personer per år.

d) Når overstiger digital papir?

Digital i 2019: 1000 abonnenter. Vokser med 5,5% per år.

Modell for digital ($t$ = år etter 2019):

\[D(t) = 1000 \cdot 1{,}055^t\]

Vi må sammenligne med papir. År 2019 tilsvarer $x = 9$ i P(x).

For år $t$ etter 2019 (dvs. $x = 9 + t$):

\[P(9 + t) = 3600 \cdot 0{,}85^{9+t} + 600\]

Vi løser $D(t) = P(9 + t)$:

\[1000 \cdot 1{,}055^t = 3600 \cdot 0{,}85^{9+t} + 600\]

Ved numerisk løsning (CAS/grafisk) får vi $t \approx 3{,}1$.

År: $2019 + 3{,}1 \approx 2022$

Svar d): Det var for første gang flere digitale abonnenter enn papirabonnenter i 2022.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer funksjonen: P(x) := 3600 * 0.85^x + 600
Skriv: P(4) → gir $\approx 2479$
Skriv: P(14) → gir $\approx 970$
Stigningstall: (P(14) - P(4)) / (14 - 4) → gir $\approx -151$
Derivert: Derivert(P, x)

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

Skriv inn: P(x) = 3600 * 0.85^x + 600 (blå kurve)
Skriv inn: D(x) = 1000 * 1.055^(x - 9) (rød kurve)
Punkt A og B for sekantlinjen, skjæringspunkt I rundt $x \approx 12$

Oppgave 2 - Løsning

Løsning med trigonometri

For en likesidet trekant med side $s$ er alle vinkler $60°$.

Arealformel med trigonometri:

\[A = \frac{1}{2} \cdot s \cdot s \cdot \sin(60°) = \frac{1}{2} s^2 \sin(60°)\]

Med $s = 4$:

\[A_{\text{én trekant}} = \frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot \sin(60°) = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\]

Totalt areal for 12 trekanter:

\[A_{\text{total}} = 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3}\]

Svar: Ved å bruke arealformelen $A = \frac{1}{2}ab\sin(C)$ får vi arealet $\boxed{48\sqrt{3}}$, som stemmer med Marias svar.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Areal av én trekant: 1/2 * 4^2 * sin(60°) → gir $4\sqrt{3}$
Totalt areal: 12 * 4 * sqrt(3) → gir $48\sqrt{3}$

Oppgave 3 - Løsning

Oppgave: En rasjonal funksjon $f$ har asymptotene $x = 2$ og $y = 4$. Nullpunktet er $x = -3$. Bestem et mulig funksjonsuttrykk $f(x)$.

Resonnement

Vertikal asymptote $x = 2$: Nevneren må ha en faktor $(x - 2)$.

Horisontal asymptote $y = 4$: Forholdet mellom ledende koeffisienter i teller og nevner må være 4.

Nullpunkt $x = -3$: Telleren må ha en faktor $(x + 3)$.

Konstruksjon av funksjonen

Vi starter med grunnformen:

\[f(x) = \frac{a(x + 3)}{x - 2}\]

For at den horisontale asymptoten skal være $y = 4$, må $a = 4$:

\[f(x) = \frac{4(x + 3)}{x - 2} = \frac{4x + 12}{x - 2}\]

Verifisering

Vertikal asymptote: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ ✓
Horisontal asymptote: $\lim_{x \to \infty} \frac{4x + 12}{x - 2} = \frac{4}{1} = 4$ ✓
Nullpunkt: $4x + 12 = 0 \Rightarrow x = -3$ ✓

Svar: Et mulig funksjonsuttrykk er $\boxed{f(x) = \frac{4(x + 3)}{x - 2} = \frac{4x + 12}{x - 2}}$

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

Skriv inn: f(x) = 4(x + 3) / (x - 2)
Vertikal asymptote: x = 2 (stiplet)
Horisontal asymptote: y = 4 (stiplet)
Nullpunktet N = (-3, 0) og y-skjæringen (0, -6) vises tydelig

Oppgave 4 - Løsning

a) Program for n!

def fakultet(n):
    resultat = 1
    for i in range(1, n + 1):
        resultat = resultat * i
    return resultat

print("5! =", fakultet(5))
print("10! =", fakultet(10))
print("15! =", fakultet(15))

Resultater:

\[5! = 120\] \[10! = 3\,628\,800\] \[15! = 1\,307\,674\,368\,000\]

Svar a): $5! = 120$, $10! = 3\,628\,800$, $15! = 1\,307\,674\,368\,000$

b) Antall nuller i 100!

En null på slutten kommer fra faktoren $10 = 2 \times 5$.

Det er mange flere faktorer av 2 enn 5 i 100!, så antall nuller bestemmes av antall faktorer av 5.

Vi teller faktorer av 5:

Tall delelig med 5: $\lfloor 100/5 \rfloor = 20$ (gir 20 faktorer av 5)
Tall delelig med 25: $\lfloor 100/25 \rfloor = 4$ (gir 4 ekstra faktorer av 5)
Tall delelig med 125: $\lfloor 100/125 \rfloor = 0$

Totalt antall faktorer av 5:

\[20 + 4 + 0 = 24\]

Oppgave 5 - Løsning

Oppgave: Tredjegradsfunksjonen $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ oppfyller:

Grafen går gjennom punktet $(2, 6)$
Punktet $(-2, 8)$ er et toppunkt
Tangenten i punktet $(3, f(3))$ har stigningstall 4