Løsningsforslag – Matematikk 1T Høst 2024

Eksamen MAT1021

Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no. Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.

Oppgave 1 - Løsning

Oppgave: Snorre har funnet formelen nedenfor i en matematikkbok \[2 \cdot \sin(u) \cdot \cos(u) = \sin(2u)\] Bruk trekanten til høyre og vis at formelen gjelder når $u = 30°$.

Steg 1: Finn trigonometriske verdier fra trekanten

Fra den rettvinklede trekanten med vinkler 30°, 60° og 90°:

For vinkelen $u = 30°$:

\[\sin(30°) = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{1}{2}\]

\[\cos(30°) = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Steg 2: Regn ut venstre side

\[2 \cdot \sin(30°) \cdot \cos(30°) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Steg 3: Regn ut høyre side

Når $u = 30°$, blir $2u = 60°$.

Fra trekanten:

\[\sin(60°) = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Steg 4: Sammenlign

\[\text{Venstre side: } 2 \cdot \sin(30°) \cdot \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[\text{Høyre side: } \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Konklusjon: Venstre side = Høyre side = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Formelen $2 \cdot \sin(u) \cdot \cos(u) = \sin(2u)$ er verifisert for $u = 30°$.

Vanlig feil: Noen elever prøver å bruke kalkulatoren direkte uten å vise utregningen steg for steg. Oppgaven ber deg bruke trekanten, altså lese av sinus- og cosinusverdier fra sidelengdene. Husk at i en 30-60-90-trekant med hypotenus 2 er katetene 1 og $\sqrt{3}$, noe som gir $\sin 30° = \frac{1}{2}$ og $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Oppgave 2 - Løsning

Oppgave: Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = (x-1)(x+3)$. Bestem koordinatene til bunnpunktet på grafen til $f$.

Metode: Bruk nullpunktene

For en andregradsfunksjon på formen $f(x) = (x - x_1)(x - x_2)$ ligger bunnpunktet (eller toppunktet) midt mellom nullpunktene.

Steg 1: Finn nullpunktene

Fra den faktoriserte formen $f(x) = (x-1)(x+3)$ kan vi lese av nullpunktene direkte:

\[x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 1\]

\[x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = -3\]

Steg 2: Finn x-koordinaten til bunnpunktet

x-koordinaten til bunnpunktet er gjennomsnittet av nullpunktene:

\[x_b = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]

Steg 3: Finn y-koordinaten til bunnpunktet

Sett $x = -1$ inn i funksjonen:

\[f(-1) = ((-1) - 1)((-1) + 3) = (-2) \cdot 2 = -4\]

Svar: Bunnpunktet har koordinatene $\boxed{(-1, -4)}$

Vanlig feil: Noen elever finner $x$-koordinaten til bunnpunktet men regner feil funksjonsverdi. Husk at $x_b$ ligger midt mellom nullpunktene, og du må sette denne verdien tilbake i funksjonsuttrykket for å finne $y_b$. En annen metode er å fullstendigkvadrere: $(x-1)(x+3) = x^2 + 2x - 3 = (x+1)^2 - 4$, som direkte viser bunnpunktet $(-1, -4)$.

Oppgave 3 - Løsning

Oppgave: Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = x^3 + 7x^2 + 4x - 12$. Løs ulikheten $f(x) < 0$ og illustrer løsningen grafisk ved å lage en skisse.

Steg 1: Faktoriser polynomet

Vi prøver å finne en rot ved å teste enkle verdier:

\[f(1) = 1^3 + 7 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 - 12 = 1 + 7 + 4 - 12 = 0 \quad \checkmark\]

Siden $f(1) = 0$, er $x = 1$ en rot, og $(x-1)$ er en faktor.

Steg 2: Polynomdivisjon

Vi deler $x^3 + 7x^2 + 4x - 12$ på $(x-1)$:

\[(x^3 + 7x^2 + 4x - 12) \div (x - 1) = x^2 + 8x + 12\]

\[ \begin{array}{r@{}r@{}r@{}r} \underline{x^3} & \underline{{} + 7x^2} & \underline{{} + 4x} & \underline{{} - 12} \\[2pt] -(x^3 & {} - x^2) & & \\[2pt] \hline & 8x^2 & {} + 4x & {} - 12 \\[2pt] & -(8x^2 & {} - 8x) & \\[2pt] \hline & & 12x & {} - 12 \\[2pt] & & -(12x & {} - 12) \\[2pt] \hline & & & 0 \end{array} \]

Resultat:

\[x^3 + 7x^2 + 4x - 12 = (x-1)(x^2 + 8x + 12)\]

Steg 3: Faktoriser andregradsuttrykket

\[x^2 + 8x + 12 = (x+2)(x+6)\]

Fullstendig faktorisering:

\[f(x) = (x-1)(x+2)(x+6)\]

Steg 4: Finn nullpunktene

Nullpunktene er: $x = 1$, $x = -2$, og $x = -6$

Steg 5: Fortegnsskjema

For et tredjegradspolynom med positiv ledende koeffisient:

$x$	$x < -6$	$-6$	$-6 < x < -2$	$-2$	$-2 < x < 1$	$1$	$x > 1$
$f(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Tallinje med fortegnene og løsningsområdet markert:

(Røde områder viser hvor f(x) < 0, dvs. løsningsmengden til ulikheten.)

Steg 6: Grafisk illustrasjon

Røde områder viser hvor $f(x) < 0$

Svar: $f(x) < 0$ når \[\boxed{x < -6 \quad \text{eller} \quad -2 < x < 1}\] På intervallform: $x \in \langle \leftarrow, -6 \rangle \cup \langle -2, 1 \rangle$

Oppgave 4 - Løsning

Oppgave: I koordinatsystemet har vi en sirkel med radius $r = 1$. Punktet $P(0{,}64 \, , \, 0{,}77)$ ligger på sirkelen ved vinkelen $50°$.

a) Er $\tan 50° > 1$? Husk å begrunne svaret ditt.
b) Er $\tan 130° > 0$? Husk å begrunne svaret ditt.

Bakgrunn: Enhetssirkelen

For enhetssirkelen (radius = 1) gjelder:

$\cos(\theta) = x$-koordinaten
$\sin(\theta) = y$-koordinaten
$\tan(\theta) = \dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \dfrac{y}{x}$

Fra figuren: $P(0{,}64 \, , \, 0{,}77)$ ligger ved $50°$, så $\cos(50°) = 0{,}64$ og $\sin(50°) = 0{,}77$.

a) Er tan 50° > 1?

\[\tan(50°) = \frac{\sin(50°)}{\cos(50°)} = \frac{0{,}77}{0{,}64} \approx 1{,}20\]

Siden $\sin(50°) = 0{,}77 > 0{,}64 = \cos(50°)$, blir brøken større enn 1.

Svar a): Ja, $\tan 50° > 1$ fordi $\sin(50°) > \cos(50°)$.

Vanlig feil: Mange elever husker ikke hva tangens betyr geometrisk. I enhetssirkelen er $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$. Når $\theta > 45°$ (i første kvadrant), er sinus større enn cosinus, og dermed er tangens større enn 1. For $\theta = 45°$ er $\tan 45° = 1$ nøyaktig.

b) Er tan 130° > 0?

$130°$ ligger i andre kvadrant (mellom $90°$ og $180°$).

I andre kvadrant:

$\sin(130°) > 0$ (y-koordinaten er positiv)
$\cos(130°) < 0$ (x-koordinaten er negativ)

\[\tan(130°) = \frac{\sin(130°)}{\cos(130°)} = \frac{\text{positiv}}{\text{negativ}} = \text{negativ}\]

Svar b): Nei, $\tan 130° < 0$ fordi i andre kvadrant er sinus positiv og cosinus negativ, noe som gir negativ tangens.

Oppgave 5 - Løsning

Oppgave: Ovenfor ser du et lite kvadrat og to rektangler som til sammen utgjør et stort kvadrat. Hver side i det lille kvadratet har lengde $s$. Hver side i det store kvadratet har lengde $s+t$. Sett opp en matematisk identitet med utgangspunkt i arealet av det store kvadratet.

Areal av det store kvadratet

Det store kvadratet har sidelengde $s + t$, så arealet er

\[A_{\text{stort}} = (s+t)^2\]

Areal som sum av delene

Det store kvadratet er satt sammen av tre deler (jf. figuren):

Det store rektangelet (grønt) til venstre har bredde $t$ og høyde $s+t$, altså areal $t(s+t) = st + t^2$.
Det øvre rektangelet (lilla) øverst til høyre har sidene $s$ og $t$, altså areal $s \cdot t = st$.
Det lille kvadratet nederst til høyre har side $s$, altså areal $s^2$.

Til sammen blir arealet:

\[A_{\text{stort}} = t(s+t) + st + s^2 = st + t^2 + st + s^2 = s^2 + 2st + t^2\]

Identiteten

De to uttrykkene for arealet av det store kvadratet må være like:

\[(s+t)^2 = s^2 + 2st + t^2\]

Svar: Ved å regne ut arealet av det store kvadratet på to måter får vi den matematiske identiteten (første kvadratsetning): \[\boxed{(s+t)^2 = s^2 + 2st + t^2}\]

Vanlig feil: Mange elever glemmer kryssleddet $2st$ og skriver $(s+t)^2 = s^2 + t^2$. Figuren viser tydelig hvorfor kryssleddet må være med: i tillegg til kvadratet $s^2$ og kvadratet $t^2$ (som ligger inne i det grønne rektangelet) dukker det opp to like rektangler med areal $st$, til sammen $2st$. Dette er den geometriske begrunnelsen for første kvadratsetning.

DEL 2
Med hjelpemidler

Oppgave 1 - Løsning

Oppgave: Funksjonen $P(x) = 3600 \cdot 0{,}85^x + 600$ viser antall personer som abonnerer på papirutgaven av en avis $x$ år etter 2010.

a) Antall abonnenter i 2010 (to metoder)

Metode 1: Sett inn x = 0

I 2010 er $x = 0$:

\[P(0) = 3600 \cdot 0{,}85^0 + 600 = 3600 \cdot 1 + 600 = 4200\]

Metode 2: Tolkning av funksjonsuttrykket

Funksjonen $P(x) = 3600 \cdot 0{,}85^x + 600$ er på formen $a \cdot b^x + c$.

Startverdien (når $x = 0$) er $a + c = 3600 + 600 = 4200$.

Svar a): Det var 4200 abonnenter på papirutgaven i 2010.

b) Stigningstall til sekanten

Vi finner først funksjonsverdiene:

\[P(4) = 3600 \cdot 0{,}85^4 + 600 = 3600 \cdot 0{,}522 + 600 \approx 2479\]

\[P(14) = 3600 \cdot 0{,}85^{14} + 600 = 3600 \cdot 0{,}103 + 600 \approx 971\]

Stigningstallet til linjen gjennom $(4, P(4))$ og $(14, P(14))$:

\[a = \frac{P(14) - P(4)}{14 - 4} = \frac{971 - 2479}{10} = \frac{-1508}{10} = -150{,}8\]

Svar b): Stigningstallet er $\approx -151$.

Praktisk tolkning: I gjennomsnitt mistet papirutgaven ca. 151 abonnenter per år i perioden fra 2014 til 2024.

c) Momentan vekstfart når x = 10

Vi deriverer $P(x)$:

\[P'(x) = 3600 \cdot 0{,}85^x \cdot \ln(0{,}85) = 3600 \cdot \ln(0{,}85) \cdot 0{,}85^x\]

Vi setter inn $x = 10$:

\[P'(10) = 3600 \cdot \ln(0{,}85) \cdot 0{,}85^{10} \approx 3600 \cdot (-0{,}1625) \cdot 0{,}1969 \approx -115{,}2\]

Svar c): Den momentane vekstfarten når $x = 10$ er $\approx -115$.

Praktisk tolkning: I 2020 (når $x = 10$) minket antall papirabonnenter med ca. 115 personer per år.

d) Når overstiger digital papir?

Digital i 2019: 1000 abonnenter. Vokser med 5,5% per år.

Modell for digital ($t$ = år etter 2019):

\[D(t) = 1000 \cdot 1{,}055^t\]

Vi må sammenligne med papir. År 2019 tilsvarer $x = 9$ i P(x).

For år $t$ etter 2019 (dvs. $x = 9 + t$):

\[P(9 + t) = 3600 \cdot 0{,}85^{9+t} + 600\]

Vi løser $D(t) = P(9 + t)$:

\[1000 \cdot 1{,}055^t = 3600 \cdot 0{,}85^{9+t} + 600\]

Ved numerisk løsning (CAS/grafisk) får vi $t \approx 2{,}6$, altså midt i 2021.

Sammenligner vi hele år, er det første hele året digital ligger over papir:

2021 ($t = 2$): $D \approx 1113$, $P \approx 1202$ → papir er fortsatt størst
2022 ($t = 3$): $D \approx 1174$, $P \approx 1112$ → digital er størst

Svar d): Det var for første gang flere digitale abonnenter enn papirabonnenter i 2022.

Vanlig feil: Mange elever glemmer å justere variabelen $t$ riktig når de sammenligner to modeller med ulike starttidspunkt. Her starter papirmodellen $P(x)$ fra 2010, mens digitalmodellen $D(t)$ starter fra 2019, altså $x = 9 + t$. Pass på at du sammenlikner funksjonene for samme tidspunkt.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer funksjonen: P(x) := 3600 * 0.85^x + 600
Skriv: P(4) → gir $\approx 2479$
Skriv: P(14) → gir $\approx 970$
Stigningstall: (P(14) - P(4)) / (14 - 4) → gir $\approx -151$
Derivert: Derivert(P, x)

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

Skriv inn: P(x) = 3600 * 0.85^x + 600 (blå kurve)
Skriv inn: D(x) = 1000 * 1.055^(x - 9) (rød kurve)
Punkt A og B for sekantlinjen, skjæringspunkt I rundt $x \approx 12$

Oppgave 2 - Løsning

Oppgave: Maria lager en stjerne av 12 likesidede trekanter med sidelengde 4. Ved Pytagoras har hun funnet at arealet er $48\sqrt{3}$. Vis at du kan komme fram til samme resultat ved å bruke trigonometri.

Løsning med trigonometri

For en likesidet trekant med side $s$ er alle vinkler $60°$.

Arealformel med trigonometri:

\[A = \frac{1}{2} \cdot s \cdot s \cdot \sin(60°) = \frac{1}{2} s^2 \sin(60°)\]

Med $s = 4$:

\[A_{\text{én trekant}} = \frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot \sin(60°) = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\]

Totalt areal for 12 trekanter:

\[A_{\text{total}} = 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3}\]

Svar: Ved å bruke arealformelen $A = \frac{1}{2}ab\sin(C)$ får vi arealet $\boxed{48\sqrt{3}}$, som stemmer med Marias svar.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Areal av én trekant: 1/2 * 4^2 * sin(60°) → gir $4\sqrt{3}$
Totalt areal: 12 * 4 * sqrt(3) → gir $48\sqrt{3}$

Oppgave 3 - Løsning

Oppgave: En rasjonal funksjon $f$ har asymptotene $x = 2$ og $y = 4$. Nullpunktet er $x = -3$. Bestem et mulig funksjonsuttrykk $f(x)$.

Resonnement

Vertikal asymptote $x = 2$: Nevneren må ha en faktor $(x - 2)$.

Horisontal asymptote $y = 4$: Forholdet mellom ledende koeffisienter i teller og nevner må være 4.

Nullpunkt $x = -3$: Telleren må ha en faktor $(x + 3)$.

Konstruksjon av funksjonen

Vi starter med grunnformen:

\[f(x) = \frac{a(x + 3)}{x - 2}\]

For at den horisontale asymptoten skal være $y = 4$, må $a = 4$:

\[f(x) = \frac{4(x + 3)}{x - 2} = \frac{4x + 12}{x - 2}\]

Verifisering

Vertikal asymptote: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ ✓
Horisontal asymptote: $\lim_{x \to \infty} \frac{4x + 12}{x - 2} = \frac{4}{1} = 4$ ✓
Nullpunkt: $4x + 12 = 0 \Rightarrow x = -3$ ✓

Svar: Et mulig funksjonsuttrykk er $\boxed{f(x) = \frac{4(x + 3)}{x - 2} = \frac{4x + 12}{x - 2}}$

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

Skriv inn: f(x) = 4(x + 3) / (x - 2)
Vertikal asymptote: x = 2 (stiplet)
Horisontal asymptote: y = 4 (stiplet)
Nullpunktet N = (-3, 0) og y-skjæringen (0, -6) vises tydelig

Oppgave 4 - Løsning

Oppgave: $n!$ (n fakultet) er produktet av alle naturlige tall fra 1 til n.
a) Lag et program som regner ut $n!$. Bruk det til å regne ut 5!, 10! og 15!
b) Gjør rede for hvilke faktorer som gjør at det er 24 nuller i slutten av 100!

a) Program for n!

def fakultet(n):
    resultat = 1
    for i in range(1, n + 1):
        resultat = resultat * i
    return resultat

print("5! =", fakultet(5))
print("10! =", fakultet(10))
print("15! =", fakultet(15))

Resultater:

\[5! = 120\] \[10! = 3\,628\,800\] \[15! = 1\,307\,674\,368\,000\]

Svar a): $5! = 120$, $10! = 3\,628\,800$, $15! = 1\,307\,674\,368\,000$

b) Antall nuller i 100!

En null på slutten kommer fra faktoren $10 = 2 \times 5$.

Det er mange flere faktorer av 2 enn 5 i 100!, så antall nuller bestemmes av antall faktorer av 5.

Vi teller faktorer av 5:

Tall delelig med 5: $\lfloor 100/5 \rfloor = 20$ (gir 20 faktorer av 5)
Tall delelig med 25: $\lfloor 100/25 \rfloor = 4$ (gir 4 ekstra faktorer av 5)
Tall delelig med 125: $\lfloor 100/125 \rfloor = 0$

Totalt antall faktorer av 5:

\[20 + 4 + 0 = 24\]

Svar b): 100! har 24 nuller på slutten fordi det er 24 faktorer av 5 i produktet. Tallene 5, 10, 15, ..., 100 bidrar med én faktor av 5 hver (20 stk), og tallene 25, 50, 75, 100 bidrar med én ekstra faktor av 5 hver (4 stk).

Oppgave 5 - Løsning

Oppgave: Tredjegradsfunksjonen $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ oppfyller:

Grafen går gjennom punktet $(2, 6)$
Punktet $(-2, 8)$ er et toppunkt
Tangenten i punktet $(3, f(3))$ har stigningstall 4

Bestem $a$, $b$, $c$ og $d$.

Setter opp likningssystem

Den deriverte er $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$.

Likning 1: Grafen går gjennom punktet $(2, 6)$, derfor er $f(2) = 6$:

\[a \cdot 2^3 + b \cdot 2^2 + c \cdot 2 + d = 6 \quad \Rightarrow \quad 8a + 4b + 2c + d = 6\]

Likning 2: Punktet $(-2, 8)$ er et toppunkt, så grafen går gjennom dette punktet. Derfor er $f(-2) = 8$:

\[a \cdot (-2)^3 + b \cdot (-2)^2 + c \cdot (-2) + d = 8 \quad \Rightarrow \quad -8a + 4b - 2c + d = 8\]

Likning 3: Siden $(-2, 8)$ er et toppunkt, er tangenten horisontal der. Derfor er $f'(-2) = 0$:

\[3a \cdot (-2)^2 + 2b \cdot (-2) + c = 0 \quad \Rightarrow \quad 12a - 4b + c = 0\]

Likning 4: Tangenten i punktet $(3, f(3))$ har stigningstall 4, derfor er $f'(3) = 4$:

\[3a \cdot 3^2 + 2b \cdot 3 + c = 4 \quad \Rightarrow \quad 27a + 6b + c = 4\]

Løser likningssystemet med CAS

Vi bruker GeoGebra CAS til å løse likningssystemet:

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Skriv: Løs({8a + 4b + 2c + d = 6, -8a + 4b - 2c + d = 8, 12a - 4b + c = 0, 27a + 6b + c = 4}, {a, b, c, d})

Svar: $\boxed{a = \frac{3}{20}, \quad b = \frac{7}{40}, \quad c = -\frac{11}{10}, \quad d = \frac{63}{10}}$

Oppgave 6 - Løsning

Oppgave: Klassen til Isabel og Anniken skal vise at de kan bruke trigonometri for å bestemme arealet av figuren nedenfor. $AB = 8{,}0$ og $DC = 12{,}0$.

Gruppen til Isabel har fått vite at $AD = 6{,}0$, $BC = 10{,}0$ og at diagonalen $AC = 16{,}4$.
a) Vis hvordan gruppen til Isabel kan bestemme arealet ved å bruke opplysningene de har tilgang til.

Gruppen til Anniken har fått vite at $\angle A = 62{,}5°$, $\angle C = 38{,}3°$, $\angle ABD = 45{,}5°$ og $\angle CBD = 85{,}5°$.
b) Vis hvordan gruppen til Anniken kan bestemme arealet ved å bruke opplysningene de har tilgang til.

a) Isabels metode (med sidelengder)

Kjent informasjon fra oppgaven:

$AD = 6{,}0$, $BC = 10{,}0$, $AC = 16{,}4$, $DC = 12{,}0$, $AB = 8{,}0$

Vi deler firkanten i to trekanter ved diagonalen $AC$: trekant $\triangle ADC$ og trekant $\triangle ABC$.

Cosinussetningen

For en trekant med sider $a$, $b$, $c$ og vinkel $C$ (motsatt side $c$) gjelder:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\]

Arealsetningen

Arealet av en trekant med to sider $a$ og $b$ og mellomliggende vinkel $C$ er:

\[\text{Areal} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)\]

Beregning med GeoGebra CAS

Trekant ADC:

Vi definerer sidelengdene og bruker cosinussetningen til å finne vinkel $D$:

Fra CAS: $AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos(D)$ gir $D = 128{,}154°$

Arealet av $\triangle ADC$ med arealsetningen:

\[\text{Areal}_1 = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DC \cdot \sin(128{,}154°) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 12 \cdot \sin(128{,}154°) \approx 28{,}31\]

Trekant ABC:

Vi bruker samme fremgangsmåte for trekant $ABC$:

Fra CAS: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(B)$ gir $B = 130{,}996°$

\[\text{Areal}_2 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(130{,}996°) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin(130{,}996°) \approx 30{,}19\]

Totalt areal:

Svar a): Arealet er $\text{Areal}_1 + \text{Areal}_2 \approx 28{,}31 + 30{,}19 = \boxed{58{,}5}$

b) Annikens metode (med vinkler)

Kjent informasjon:

Fra figuren: $AB = 8{,}0$ og $DC = 12{,}0$
Vinkler: $\angle DAB = 62{,}5°$, $\angle BCD = 38{,}3°$, $\angle ABD = 45{,}5°$, $\angle DBC = 85{,}5°$

Vi deler firkanten i to trekanter ved diagonalen $BD$.

Sinussetningen

For en trekant med sider $a$, $b$, $c$ og motstående vinkler $A$, $B$, $C$ gjelder:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

Beregning med GeoGebra CAS

Trekant ABD:

Vinkelsummen gir: $\angle ADB = 180° - 62{,}5° - 45{,}5° = 72°$

Vi bruker sinussetningen til å finne $AD$:

Areal av $\triangle ABD$ med arealsetningen:

\[A_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle DAB) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 \cdot \sin(62{,}5°) \approx 21{,}29\]

Trekant BCD:

Vinkelsummen gir: $\angle BDC = 180° - 38{,}3° - 85{,}5° = 56{,}2°$

Vi bruker sinussetningen til å finne $BC$:

Areal av $\triangle BCD$ med arealsetningen:

\[A_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot BC \cdot \sin(\angle BCD) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 \cdot \sin(38{,}3°) \approx 37{,}19\]

Totalt areal:

Svar b): Arealet er $A_{ABD} + A_{BCD} \approx 21{,}29 + 37{,}19 = \boxed{58{,}5}$

Oppgave 7 - Løsning

Oppgave: Else skal gjerde inn tre områder for å lage en grønnsakhage. Det største området skal ha form som et rektangel og de to minste som likebeinte rettvinklede trekanter. Se figuren nedenfor.

Else skal sette opp gjerde langs alle linjestykkene vist på figuren ovenfor. Hun har til sammen 100 m gjerde som hun vil bruke.
a) Hvor stort blir arealet av grønnsakhagen dersom hun velger at katetene i trekantene skal være 8 meter?
b) Lag en oversikt som viser hvordan arealet av grønnsakhagen endrer seg dersom hun velger andre lengder på katetene.
c) Lag en modell $A$ som Else kan bruke for å regne ut arealet $A(x)$ av grønnsakhagen for ulike verdier av $x$.
d) Bruk modellen til å finne den lengden av katetene som vil gi det største arealet.
e) Bestem modellens gyldighetsområde.

Oppsett av problemet

La $x$ være katetene i trekantene og $y$ være bredden på rektangelet. Høyden på rektangelet er da også $x$.

Gjerde (alle linjer):

Bunn: $x + y + x = 2x + y$
To hypotenuser: $2 \cdot x\sqrt{2} = 2\sqrt{2}x$
Topp av rektangel: $y$
To indre vertikale vegger: $2x$

Total gjerde:

\[2x + y + 2\sqrt{2}x + y + 2x = (4 + 2\sqrt{2})x + 2y = 100\]

Vi løser for $y$:

\[y = \frac{100 - (4 + 2\sqrt{2})x}{2} = 50 - (2 + \sqrt{2})x\]

Areal:

\[A = \text{rektangel} + \text{2 trekanter} = xy + 2 \cdot \frac{x^2}{2} = xy + x^2\]

a) Areal når x = 8 m

Først finner vi $y$:

\[y = 50 - (2 + \sqrt{2}) \cdot 8 = 50 - (2 + 1{,}414) \cdot 8 = 50 - 27{,}31 = 22{,}69 \text{ m}\]

Arealet blir:

\[A = xy + x^2 = 8 \cdot 22{,}69 + 8^2 = 181{,}5 + 64 = 245{,}5 \text{ m}^2\]

Svar a): Arealet blir $\boxed{245{,}5 \text{ m}^2}$ når katetene er 8 m.

b) Oversikt over areal for ulike verdier av x

$x$ (m)	$y$ (m)	$A$ (m²)
4	36,3	161,4
6	29,5	213,1
8	22,7	245,5
10	15,9	258,6
12	9,0	252,5
14	2,2	227,1

Svar b): Tabellen viser at arealet er størst når $x \approx 10$ m.

c) Modell for arealet A(x)

Vi setter uttrykket for $y$ inn i arealformelen:

\[A(x) = x \cdot \left(50 - (2 + \sqrt{2})x\right) + x^2\]

\[A(x) = 50x - (2 + \sqrt{2})x^2 + x^2 = 50x - (1 + \sqrt{2})x^2\]

Svar c): Modellen er $\boxed{A(x) = 50x - (1 + \sqrt{2})x^2}$

d) Maksimalt areal

Vi deriverer og setter lik null:

\[A'(x) = 50 - 2(1 + \sqrt{2})x = 0\]

\[x = \frac{50}{2(1 + \sqrt{2})} = \frac{25}{1 + \sqrt{2}}\]

Vi rasjonaliserer nevneren:

\[x = \frac{25}{1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = \frac{25(1 - \sqrt{2})}{1 - 2} = \frac{25(1 - \sqrt{2})}{-1} = 25(\sqrt{2} - 1)\]

\[x = 25(\sqrt{2} - 1) \approx 25 \cdot 0{,}414 \approx 10{,}36 \text{ m}\]

Svar d): Katetlengden som gir størst areal er $\boxed{x = 25(\sqrt{2} - 1) \approx 10{,}4 \text{ m}}$

e) Gyldighetsområde

Vi må ha:

$x > 0$ (katetene må ha positiv lengde)
$y > 0$ (rektangelet må ha positiv bredde)

Fra $y > 0$:

\[50 - (2 + \sqrt{2})x > 0\]

\[x < \frac{50}{2 + \sqrt{2}} = \frac{50}{3{,}414} \approx 14{,}64\]

Svar e): Gyldighetsområdet er $\boxed{0 < x < \frac{50}{2 + \sqrt{2}} \approx 14{,}6 \text{ m}}$

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer: A(x) := 50x - (1 + sqrt(2)) * x^2
Derivert: 50 - 2(1 + sqrt(2)) * x
Toppunkt: $x = 25(\sqrt{2} - 1) \approx 10{,}36$
Maks areal: A(25(sqrt(2) - 1)) → gir $\approx 259 \text{ m}^2$

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

Skriv inn: A(x) = 50x - (1 + sqrt(2)) * x^2
Toppunktet M ved $x \approx 10{,}4$ med $A \approx 259$
Gyldighetsområdet er $0 < x < 14{,}6$

🎯 Karakterskillet 4 → 6:

4 (god)	6 (svært god)
Kommer fram til riktig svar i de fleste oppgaver	Riktig svar med tydelige utregninger og forklaringer
Bruker formler korrekt	Velger riktig metode + viser forståelse av når metoden gjelder
Algebraisk forenkling stort sett korrekt	Effektiv algebraisk teknikk + faktoriserer før unødvendig regning
Modelleringsoppgaver: regner riktig, tolkning kort	Modellering: drøfter modellens gyldighet, kontekstualiserer svaret
Programmering fungerer, men sparsom dokumentasjon	Programmering med klare kommentarer + forklaring av algoritmen
Trigonometri-oppgaver: bruker setninger riktig	Trigonometri: kan utlede/bevise sinussetning og cosinussetning (KM13)

⚠️ Vanlige feil å unngå:

Glemme parenteser ved minustegn i kvadratsetninger ($(a-b)^2 \neq a^2 - b^2$)
Bruke $a/b + c/d = (a+c)/(b+d)$ — du må finne fellesnevner
Glemme kjerneregelen ved derivasjon av sammensatte funksjoner
Bruke radianer der gradeer kreves (eller omvendt) i trigonometri
I sinussetningen: forveksle hvilken vinkel som hører til hvilken side
I Del 2: ikke dokumentere CAS/GeoGebra-bruk — sensor må kunne følge tankene
Programmering: kjøre kode uten å forklare hva den gjør
Modellering: glemme å tolke resultatet i kontekst (svaret har en betydning!)
Funksjonsanalyse: glemme å oppgi definisjonsmengde og verdimengde
Andregradsulikheter: glemme fortegnsskjema

Løsningsforslag – Matematikk 1T Høst 2024

Eksamen MAT1021

Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no. Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.

Oppgave 1 - Løsning

Oppgave: Snorre har funnet formelen nedenfor i en matematikkbok \[2 \cdot \sin(u) \cdot \cos(u) = \sin(2u)\] Bruk trekanten til høyre og vis at formelen gjelder når $u = 30°$.

Steg 1: Finn trigonometriske verdier fra trekanten

Fra den rettvinklede trekanten med vinkler 30°, 60° og 90°:

For vinkelen $u = 30°$:

\[\sin(30°) = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{1}{2}\]

\[\cos(30°) = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Steg 2: Regn ut venstre side

\[2 \cdot \sin(30°) \cdot \cos(30°) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Steg 3: Regn ut høyre side

Når $u = 30°$, blir $2u = 60°$.

Fra trekanten:

\[\sin(60°) = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Steg 4: Sammenlign

\[\text{Venstre side: } 2 \cdot \sin(30°) \cdot \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[\text{Høyre side: } \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Konklusjon: Venstre side = Høyre side = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Formelen $2 \cdot \sin(u) \cdot \cos(u) = \sin(2u)$ er verifisert for $u = 30°$.

Oppgave 2 - Løsning

Oppgave: Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = (x-1)(x+3)$. Bestem koordinatene til bunnpunktet på grafen til $f$.

Metode: Bruk nullpunktene

For en andregradsfunksjon på formen $f(x) = (x - x_1)(x - x_2)$ ligger bunnpunktet (eller toppunktet) midt mellom nullpunktene.

Steg 1: Finn nullpunktene

Fra den faktoriserte formen $f(x) = (x-1)(x+3)$ kan vi lese av nullpunktene direkte:

\[x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 1\]

\[x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = -3\]

Steg 2: Finn x-koordinaten til bunnpunktet

x-koordinaten til bunnpunktet er gjennomsnittet av nullpunktene:

\[x_b = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]

Steg 3: Finn y-koordinaten til bunnpunktet

Sett $x = -1$ inn i funksjonen:

\[f(-1) = ((-1) - 1)((-1) + 3) = (-2) \cdot 2 = -4\]

Svar: Bunnpunktet har koordinatene $\boxed{(-1, -4)}$

Oppgave 3 - Løsning

Oppgave: Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = x^3 + 7x^2 + 4x - 12$. Løs ulikheten $f(x) < 0$ og illustrer løsningen grafisk ved å lage en skisse.

Steg 1: Faktoriser polynomet

Vi prøver å finne en rot ved å teste enkle verdier:

\[f(1) = 1^3 + 7 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 - 12 = 1 + 7 + 4 - 12 = 0 \quad \checkmark\]

Siden $f(1) = 0$, er $x = 1$ en rot, og $(x-1)$ er en faktor.

Steg 2: Polynomdivisjon

Vi deler $x^3 + 7x^2 + 4x - 12$ på $(x-1)$:

\[(x^3 + 7x^2 + 4x - 12) \div (x - 1) = x^2 + 8x + 12\]

Resultat:

\[x^3 + 7x^2 + 4x - 12 = (x-1)(x^2 + 8x + 12)\]

Steg 3: Faktoriser andregradsuttrykket

\[x^2 + 8x + 12 = (x+2)(x+6)\]

Fullstendig faktorisering:

\[f(x) = (x-1)(x+2)(x+6)\]

Steg 4: Finn nullpunktene

Nullpunktene er: $x = 1$, $x = -2$, og $x = -6$

Steg 5: Fortegnsskjema

For et tredjegradspolynom med positiv ledende koeffisient:

$x$	$x < -6$	$-6$	$-6 < x < -2$	$-2$	$-2 < x < 1$	$1$	$x > 1$
$f(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Tallinje med fortegnene og løsningsområdet markert:

(Røde områder viser hvor f(x) < 0, dvs. løsningsmengden til ulikheten.)

Steg 6: Grafisk illustrasjon

Røde områder viser hvor $f(x) < 0$

Svar: $f(x) < 0$ når \[\boxed{x < -6 \quad \text{eller} \quad -2 < x < 1}\] På intervallform: $x \in \langle \leftarrow, -6 \rangle \cup \langle -2, 1 \rangle$

Oppgave 4 - Løsning

Oppgave: I koordinatsystemet har vi en sirkel med radius $r = 1$. Punktet $P(0{,}64 \, , \, 0{,}77)$ ligger på sirkelen ved vinkelen $50°$.

a) Er $\tan 50° > 1$? Husk å begrunne svaret ditt.
b) Er $\tan 130° > 0$? Husk å begrunne svaret ditt.

Bakgrunn: Enhetssirkelen

For enhetssirkelen (radius = 1) gjelder:

$\cos(\theta) = x$-koordinaten
$\sin(\theta) = y$-koordinaten
$\tan(\theta) = \dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \dfrac{y}{x}$

Fra figuren: $P(0{,}64 \, , \, 0{,}77)$ ligger ved $50°$, så $\cos(50°) = 0{,}64$ og $\sin(50°) = 0{,}77$.

a) Er tan 50° > 1?

\[\tan(50°) = \frac{\sin(50°)}{\cos(50°)} = \frac{0{,}77}{0{,}64} \approx 1{,}20\]

Siden $\sin(50°) = 0{,}77 > 0{,}64 = \cos(50°)$, blir brøken større enn 1.

Svar a): Ja, $\tan 50° > 1$ fordi $\sin(50°) > \cos(50°)$.

b) Er tan 130° > 0?

$130°$ ligger i andre kvadrant (mellom $90°$ og $180°$).

I andre kvadrant:

$\sin(130°) > 0$ (y-koordinaten er positiv)
$\cos(130°) < 0$ (x-koordinaten er negativ)

\[\tan(130°) = \frac{\sin(130°)}{\cos(130°)} = \frac{\text{positiv}}{\text{negativ}} = \text{negativ}\]

Svar b): Nei, $\tan 130° < 0$ fordi i andre kvadrant er sinus positiv og cosinus negativ, noe som gir negativ tangens.

Oppgave 5 - Løsning

Areal av det store kvadratet

Det store kvadratet har sidelengde $s + t$, så arealet er

\[A_{\text{stort}} = (s+t)^2\]

Areal som sum av delene

Det store kvadratet er satt sammen av tre deler (jf. figuren):

Det store rektangelet (grønt) til venstre har bredde $t$ og høyde $s+t$, altså areal $t(s+t) = st + t^2$.
Det øvre rektangelet (lilla) øverst til høyre har sidene $s$ og $t$, altså areal $s \cdot t = st$.
Det lille kvadratet nederst til høyre har side $s$, altså areal $s^2$.

Til sammen blir arealet:

\[A_{\text{stort}} = t(s+t) + st + s^2 = st + t^2 + st + s^2 = s^2 + 2st + t^2\]

Identiteten

De to uttrykkene for arealet av det store kvadratet må være like:

\[(s+t)^2 = s^2 + 2st + t^2\]

Svar: Ved å regne ut arealet av det store kvadratet på to måter får vi den matematiske identiteten (første kvadratsetning): \[\boxed{(s+t)^2 = s^2 + 2st + t^2}\]

DEL 2
Med hjelpemidler

Oppgave 1 - Løsning

Oppgave: Funksjonen $P(x) = 3600 \cdot 0{,}85^x + 600$ viser antall personer som abonnerer på papirutgaven av en avis $x$ år etter 2010.

a) Antall abonnenter i 2010 (to metoder)

Metode 1: Sett inn x = 0

I 2010 er $x = 0$:

\[P(0) = 3600 \cdot 0{,}85^0 + 600 = 3600 \cdot 1 + 600 = 4200\]

Metode 2: Tolkning av funksjonsuttrykket

Funksjonen $P(x) = 3600 \cdot 0{,}85^x + 600$ er på formen $a \cdot b^x + c$.

Startverdien (når $x = 0$) er $a + c = 3600 + 600 = 4200$.

Svar a): Det var 4200 abonnenter på papirutgaven i 2010.

b) Stigningstall til sekanten

Vi finner først funksjonsverdiene:

\[P(4) = 3600 \cdot 0{,}85^4 + 600 = 3600 \cdot 0{,}522 + 600 \approx 2479\]

\[P(14) = 3600 \cdot 0{,}85^{14} + 600 = 3600 \cdot 0{,}103 + 600 \approx 971\]

Stigningstallet til linjen gjennom $(4, P(4))$ og $(14, P(14))$:

\[a = \frac{P(14) - P(4)}{14 - 4} = \frac{971 - 2479}{10} = \frac{-1508}{10} = -150{,}8\]

Svar b): Stigningstallet er $\approx -151$.

Praktisk tolkning: I gjennomsnitt mistet papirutgaven ca. 151 abonnenter per år i perioden fra 2014 til 2024.

c) Momentan vekstfart når x = 10

Vi deriverer $P(x)$:

\[P'(x) = 3600 \cdot 0{,}85^x \cdot \ln(0{,}85) = 3600 \cdot \ln(0{,}85) \cdot 0{,}85^x\]

Vi setter inn $x = 10$:

\[P'(10) = 3600 \cdot \ln(0{,}85) \cdot 0{,}85^{10} \approx 3600 \cdot (-0{,}1625) \cdot 0{,}1969 \approx -115{,}2\]

Svar c): Den momentane vekstfarten når $x = 10$ er $\approx -115$.

Praktisk tolkning: I 2020 (når $x = 10$) minket antall papirabonnenter med ca. 115 personer per år.

d) Når overstiger digital papir?

Digital i 2019: 1000 abonnenter. Vokser med 5,5% per år.

Modell for digital ($t$ = år etter 2019):

\[D(t) = 1000 \cdot 1{,}055^t\]

Vi må sammenligne med papir. År 2019 tilsvarer $x = 9$ i P(x).

For år $t$ etter 2019 (dvs. $x = 9 + t$):

\[P(9 + t) = 3600 \cdot 0{,}85^{9+t} + 600\]

Vi løser $D(t) = P(9 + t)$:

\[1000 \cdot 1{,}055^t = 3600 \cdot 0{,}85^{9+t} + 600\]

Ved numerisk løsning (CAS/grafisk) får vi $t \approx 2{,}6$, altså midt i 2021.

Sammenligner vi hele år, er det første hele året digital ligger over papir:

2021 ($t = 2$): $D \approx 1113$, $P \approx 1202$ → papir er fortsatt størst
2022 ($t = 3$): $D \approx 1174$, $P \approx 1112$ → digital er størst

Svar d): Det var for første gang flere digitale abonnenter enn papirabonnenter i 2022.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer funksjonen: P(x) := 3600 * 0.85^x + 600
Skriv: P(4) → gir $\approx 2479$
Skriv: P(14) → gir $\approx 970$
Stigningstall: (P(14) - P(4)) / (14 - 4) → gir $\approx -151$
Derivert: Derivert(P, x)

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

Skriv inn: P(x) = 3600 * 0.85^x + 600 (blå kurve)
Skriv inn: D(x) = 1000 * 1.055^(x - 9) (rød kurve)
Punkt A og B for sekantlinjen, skjæringspunkt I rundt $x \approx 12$

Oppgave 2 - Løsning

Løsning med trigonometri

For en likesidet trekant med side $s$ er alle vinkler $60°$.

Arealformel med trigonometri:

\[A = \frac{1}{2} \cdot s \cdot s \cdot \sin(60°) = \frac{1}{2} s^2 \sin(60°)\]

Med $s = 4$:

\[A_{\text{én trekant}} = \frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot \sin(60°) = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\]

Totalt areal for 12 trekanter:

\[A_{\text{total}} = 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3}\]

Svar: Ved å bruke arealformelen $A = \frac{1}{2}ab\sin(C)$ får vi arealet $\boxed{48\sqrt{3}}$, som stemmer med Marias svar.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Areal av én trekant: 1/2 * 4^2 * sin(60°) → gir $4\sqrt{3}$
Totalt areal: 12 * 4 * sqrt(3) → gir $48\sqrt{3}$

Oppgave 3 - Løsning

Oppgave: En rasjonal funksjon $f$ har asymptotene $x = 2$ og $y = 4$. Nullpunktet er $x = -3$. Bestem et mulig funksjonsuttrykk $f(x)$.

Resonnement

Vertikal asymptote $x = 2$: Nevneren må ha en faktor $(x - 2)$.

Horisontal asymptote $y = 4$: Forholdet mellom ledende koeffisienter i teller og nevner må være 4.

Nullpunkt $x = -3$: Telleren må ha en faktor $(x + 3)$.

Konstruksjon av funksjonen

Vi starter med grunnformen:

\[f(x) = \frac{a(x + 3)}{x - 2}\]

For at den horisontale asymptoten skal være $y = 4$, må $a = 4$:

\[f(x) = \frac{4(x + 3)}{x - 2} = \frac{4x + 12}{x - 2}\]

Verifisering

Vertikal asymptote: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ ✓
Horisontal asymptote: $\lim_{x \to \infty} \frac{4x + 12}{x - 2} = \frac{4}{1} = 4$ ✓
Nullpunkt: $4x + 12 = 0 \Rightarrow x = -3$ ✓

Svar: Et mulig funksjonsuttrykk er $\boxed{f(x) = \frac{4(x + 3)}{x - 2} = \frac{4x + 12}{x - 2}}$

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

Skriv inn: f(x) = 4(x + 3) / (x - 2)
Vertikal asymptote: x = 2 (stiplet)
Horisontal asymptote: y = 4 (stiplet)
Nullpunktet N = (-3, 0) og y-skjæringen (0, -6) vises tydelig

Oppgave 4 - Løsning

a) Program for n!

def fakultet(n):
    resultat = 1
    for i in range(1, n + 1):
        resultat = resultat * i
    return resultat

print("5! =", fakultet(5))
print("10! =", fakultet(10))
print("15! =", fakultet(15))

Resultater:

\[5! = 120\] \[10! = 3\,628\,800\] \[15! = 1\,307\,674\,368\,000\]

Svar a): $5! = 120$, $10! = 3\,628\,800$, $15! = 1\,307\,674\,368\,000$

b) Antall nuller i 100!

En null på slutten kommer fra faktoren $10 = 2 \times 5$.

Det er mange flere faktorer av 2 enn 5 i 100!, så antall nuller bestemmes av antall faktorer av 5.

Vi teller faktorer av 5:

Tall delelig med 5: $\lfloor 100/5 \rfloor = 20$ (gir 20 faktorer av 5)
Tall delelig med 25: $\lfloor 100/25 \rfloor = 4$ (gir 4 ekstra faktorer av 5)
Tall delelig med 125: $\lfloor 100/125 \rfloor = 0$

Totalt antall faktorer av 5:

\[20 + 4 + 0 = 24\]

Oppgave 5 - Løsning

Oppgave: Tredjegradsfunksjonen $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ oppfyller:

Grafen går gjennom punktet $(2, 6)$
Punktet $(-2, 8)$ er et toppunkt
Tangenten i punktet $(3, f(3))$ har stigningstall 4