Løsningsforslag – Matematikk 1T Høst 2022

Eksamen MAT1021

Oppgave 1

Vi har en rettvinklet trekant med kateter 3 og 4 og hypotenus 5. Vinkelen \(u\) ligger ved kateten med lengde 3 (den hosliggende kateten sett fra \(u\)).

Definisjonene av sinus, cosinus og tangens i en rettvinklet trekant:

Vi regner ut brøken \(\frac{\sin u}{\cos u}\):

Vi ser at dette er det samme som \(\tan u = \frac{4}{3}\).

Oppgave 2

Oppgave 2a

Vi finner nullpunktene ved å sette \(f(x) = 0\):

Dette gir nullpunktene \(x = -4\), \(x = 2\) og \(x = 4\).

Egenskaper vi kan lese av:

• Funksjonen er et tredjegradspolynom med positiv ledende koeffisient (koeffisienten foran \(x^3\) er 1), slik at grafen går fra nedre venstre mot øvre høyre.
• Funksjonen har tre nullpunkter: \(x = -4\), \(x = 2\) og \(x = 4\).
• To av nullpunktene (\(x = 2\) og \(x = 4\)) ligger tett sammen på høyre side, mens ett nullpunkt (\(x = -4\)) ligger lenger til venstre.

Vi sjekker også \(f(0)\):

Så grafen krysser \(y\)-aksen i et positivt punkt.

Oppgave 2b

Nullpunktene er \(x = -4\), \(x = 2\) og \(x = 4\). Vi setter opp en fortegnslinje.

Vi undersøker fortegnene til de tre faktorene i hvert intervall:

Produktet er positivt i intervallene \(-4 < x < 2\) og \(x > 4\).

Oppgave 3

def f(x):
    return (1 - 2 * x) / (x - 2)

x = 8

while x >= -8 :

    print(x , f(x))
    x = x - 1

8 -2.5
7 -2.6
6 -2.75
5 -3.0
4 -3.5
3 -5.0

Oppgave 3a

Lars ønsker å lage en verditabell for funksjonen

Programmet regner ut funksjonsverdier for \(x\)-verdier fra 8 og nedover til \(-8\), med steg på 1.

Programmet skriver ut verdiene for \(x = 8, 7, 6, 5, 4, 3\). Neste verdi er \(x = 2\), og da blir nevneren \(x - 2 = 2 - 2 = 0\). Vi kan ikke dele på null, og programmet gir en feilmelding (ZeroDivisionError).

Oppgave 3b

Lars kan legge til en betingelse i løkken som hopper over \(x = 2\). For eksempel:

def f(x):
    return (1 - 2 * x) / (x - 2)

x = 8

while x >= -8 :

    if x != 2:
        print(x , f(x))
    x = x - 1

Med denne endringen sjekker programmet om \(x\) er forskjellig fra 2 før det regner ut og skriver ut funksjonsverdien. Når \(x = 2\), hoppes utskriften over, og programmet fortsetter til neste \(x\)-verdi.

Oppgave 3c

Funksjonen er

Vi omformer uttrykket ved polynomdivisjon. Vi kan skrive:

Dette er en hyperbel med:

• Vertikal asymptote: \(x = 2\) (nevneren blir null)
• Horisontal asymptote: \(y = -2\) (når \(x \to \pm\infty\))
• Nullpunkt: \(f(x) = 0 \Rightarrow 1 - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\), slik at grafen krysser \(x\)-aksen i \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\)
• Skjæring med \(y\)-aksen: \(f(0) = \frac{1 - 0}{0 - 2} = -\frac{1}{2}\)

Grafen er en hyperbel som ligner på \(y = -\frac{3}{x}\), men forskjøvet 2 enheter til høyre og 2 enheter ned.

For \(x > 2\): grafen synker fra asymptoten \(y = -2\) mot \(-\infty\) når \(x\) nærmer seg 2 fra høyre, og nærmer seg \(y = -2\) ovenfra (under) når \(x\) er stor.

For \(x < 2\): grafen nærmer seg \(+\infty\) når \(x\) nærmer seg 2 fra venstre, krysser \(x\)-aksen i \(x = \frac{1}{2}\), og nærmer seg \(y = -2\) nedenfra (over) når \(x\) er svært negativ.

Oppgave 4

Siden \(f\) er en andregradsfunksjon, kan vi skrive:

Da er den deriverte:

Tangenten i et punkt har stigningstall lik den deriverte i det punktet.

Fra tangenten i \((-2, 0)\):

Tangentens stigningstall er 9, slik at:

Fra tangenten i \((8, -10)\):

Tangentens stigningstall er \(-11\), slik at:

Vi løser likningssystemet:

Vi trekker likning (I) fra likning (II):

Vi setter inn \(a = -1\) i likning (I):

Oppgave 1

Oppgave 1a

Når strømmen blir slått av, er \(x = 0\):

Oppgave 1b

Vi løser ulikheten \(T(x) < 20\):

Vi tar logaritmen på begge sider. Siden \(\ln(0{,}87) < 0\), snur ulikhetstegnet:

Vi regner ut:

Oppgave 1c

Vi har allerede funnet at \(T(0) = 38\). Vi beregner \(T(4)\):

Stigningstallet til linjen gjennom \((0, 38)\) og \((4, 23{,}23)\):

Praktisk tolkning: I gjennomsnitt synker temperaturen i vannet med omtrent 3,7 °C per time i løpet av de fire første timene etter at strømmen er slått av.

Oppgave 1d

Temperaturendringen i løpet av én time fra tidspunkt \(x\) til \(x+1\) er:

Temperatursenkningen (som positiv verdi) per time er:

Denne er størst når \(x = 0\):

Siden \(0{,}87^x\) er en avtakende funksjon for \(x \geq 0\), er den maksimale temperatursenkningen per time lik 4,485 °C, som er mindre enn 5 °C.

Alternativt kan vi bruke den deriverte:

Den momentane endringsraten er størst (i absoluttverdi) ved \(x = 0\): \(|T'(0)| \approx 4{,}81\), som også er under 5.

Oppgave 1e

Modellen er \(T(x) = 3{,}5 + 34{,}5 \cdot 0{,}87^x\).

Når tiden \(x\) øker mot uendelig, vil \(0{,}87^x \to 0\) fordi \(0{,}87 < 1\). Da nærmer temperaturen seg:

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

• Definer funksjonen: T(x) := 3.5 + 34.5 · 0.87^x
• Starttemperatur: T(0) → gir \(38\)
• Finn når \(T = 20\): NLøs(T(x) = 20, x) → gir \(x \approx 5{,}30\)
• Temperatur etter 4 timer: T(4) → gir \(\approx 23{,}26\)
• Gjennomsnittlig endring: (T(4) - T(0)) / (4 - 0) → gir \(\approx -3{,}68\) °C per time

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

• Skriv inn: T(x) = 3.5 + 34.5 · 0.87^x
• Startpunkt \((0,\; 38)\) og asymptote \(y = 3{,}5\)
• Når \(T = 20\): \(x \approx 5{,}3\) timer

Oppgave 2

La \(x\) være antall leiligheter med to rom og \(y\) antall leiligheter med tre rom.

Vi setter opp et likningssystem:

Fra likning 1: \(x = 40 - y\). Vi setter inn i likning 2:

Da er \(x = 40 - 10 = 30\).

Kontroll: \(30 + 10 = 40\) leiligheter. \(30 \cdot 2 + 10 \cdot 3 = 60 + 30 = 90\) rom. Stemmer!

Oppgave 3

Oppgave 3a

La \(r\) være sirkelens radius. Siden \(S\) er sentrum og \(B\) ligger på sirkelen, er \(SB = r\). Siden \(C\) også ligger på sirkelen, er \(SC = r\).

Trekant \(SBC\) er derfor en likebeint trekant med \(SB = SC = r\) og vinkel \(\angle SCB = 45°\).

Siden trekanten er likebeint med \(SB = SC\), er også \(\angle SBC = 45°\).

Vinkelsummen gir:

Arealet av trekant \(SBC\) med de to sidene \(SB = SC = r\) og mellomliggende vinkel 90°:

Vi vet at arealet er \(3\sqrt{2}\):

Oppgave 3b

Siden \(AB\) er diameter og \(C\) ligger på sirkelperiferien, er \(\angle ACB = 90°\) (Thales' setning).

Vi har \(AB = 2r\) (diameter). Fra oppgave 3a vet vi at \(\angle SCB = 45°\).

Siden \(\angle ACB = 90°\), får vi:

Trekant \(ACS\) er også likebeint med \(SA = SC = r\) (begge er radier). Siden \(\angle ACS = 45°\), har vi \(\angle SAC = 45°\) og \(\angle ASC = 90°\).

Altså er trekant \(ASC\) kongruent med trekant \(BSC\), og arealet av \(\triangle ASC\) er også \(3\sqrt{2}\).

Arealet av \(\triangle ABC\) er summen:

Oppgave 4

Oppgave 4a

Cosinussetningen sier at for en trekant med sider \(a\), \(b\), \(c\) og vinkel \(C\) motstående side \(c\):

Vi sammenligner med \(14^2 = 16^2 + x^2 - 16x\):

• \(c = 14\) (den motstående siden)
• \(a = 16\) og \(b = x\) (de to sidene som omslutter vinkelen)
• \(2ab\cos C = 16x\), slik at \(2 \cdot 16 \cdot x \cdot \cos C = 16x\), altså \(\cos C = \frac{16x}{32x} = \frac{1}{2}\), som gir \(C = 60°\)

Oppgave 4b

Vi omskriver likningen:

Vi bruker abc-formelen (eller kvadratsetningen):

Dette gir:

Begge løsninger er positive, slik at begge gir gyldige trekanter:

• Trekant 1: Sider 14, 16 og 10, med vinkel 60° mellom sidene 16 og 10.
• Trekant 2: Sider 14, 16 og 6, med vinkel 60° mellom sidene 16 og 6.

Oppgave 4c

Vi erstatter 14 med en generell størrelse \(k\) og setter opp likningen:

For at likningen skal ha nøyaktig en løsning, må diskriminanten være lik null:

Den ene løsningen for \(x\) er da:

Kontroll: Vi kan sjekke med cosinussetningen: \((8\sqrt{3})^2 = 16^2 + 8^2 - 16 \cdot 8 = 256 + 64 - 128 = 192\). Og \(k^2 = 192\). Stemmer!

Oppgave 5

Oppgave 5a

Vi bruker regresjonsanalyse (potensregresjon) på datapunktene. Ved å bruke et digitalt verktøy (f.eks. GeoGebra eller kalkulator) med de oppgitte datapunktene, får vi en potensmodell.

Vi kan også gjøre dette manuelt ved å velge to datapunkter og løse. La oss bruke \((1{,}0;\; 2{,}08)\) og \((0{,}1;\; 0{,}69)\):

Slik at \(a \approx 2{,}08\). Deretter:

Vi tar logaritmen:

Ved bruk av potensregresjon på alle datapunktene (f.eks. i GeoGebra) får vi mer nøyaktig:

Oppgave 5b

Vi omskriver formelen for \(T\):

Vi regner ut koeffisienten:

Den teoretiske formelen gir altså:

Dette stemmer svært godt overens med modellen vi fant i oppgave a): \(S(x) \approx 2{,}01 \cdot x^{0{,}50}\).

Sammenligningen viser at:

• Koeffisienten \(a \approx 2{,}01\) tilsvarer \(\frac{2\pi}{\sqrt{g}} \approx 2{,}007\)
• Eksponenten \(b \approx 0{,}50\) tilsvarer eksponenten \(\frac{1}{2}\) i den teoretiske formelen

Oppgave 6

Oppgave 6a

La bredden av rektangelet være \(b\). Siden omkretsen er 64 m:

Vi lager en tabell med ulike verdier av \(b\):

Oppgave 6b

La \(x\) være bredden av rektangelet. Da er lengden \(32 - x\), og arealet blir:

Dette er en andregradsfunksjon med negativ \(x^2\)-koeffisient, slik at grafen er en parabel med toppunkt.

Metode 1: Toppunkt ved symmetrilinje

Nullpunktene er \(x = 0\) og \(x = 32\). Symmetrilinjen ligger midt mellom nullpunktene:

Toppunktet er ved \(x = 16\):

Metode 2: Derivasjon

Vi setter \(A'(x) = 0\):

Siden \(A''(x) = -2 < 0\), er dette et toppunkt.

Når \(x = 16\), er lengden også \(32 - 16 = 16\), slik at rektangelet er et kvadrat.

Oppgave 7

Steg 1: Finn parabelens uttrykk

Vi plasserer parabelen i et koordinatsystem med toppunktet (bunnpunktet av gardinen) i origo. Parabelen åpner oppover.

Gardinen er 70 cm høy og 150 cm bred øverst. Det betyr at toppunktet er i origo \((0, 0)\), og de to øvre hjørnene er i \((-75, 70)\) og \((75, 70)\).

Parabelens form: \(y = ax^2\). Vi bruker punktet \((75, 70)\):

Parabelen er:

Steg 2: Analyser utklippen fra tøyrullen

Tøyrullen er 140 cm bred. Fra figuren ser vi at fire gardiner plasseres i bredden (langs tøyets lengderetning), annenhver oppned og rettvendt.

Hvert gardin er 150 cm bredt øverst. Fire gardiner i bredden betyr at vi trenger \(4 \times 150/2 = 300\) cm langs tøyets lengde (to bredder fordi annenhver gardin er snudd), men la oss studere figuren mer nøye.

Fra figuren ser vi at gardinene plasseres med parabelåpningen 150 cm langs tøyets lengderetning. Gardinene pakkes slik at en oppvendt parabel passer inn mellom to nedvendte parabler.

Vi trenger å finne bredden som to sammensatte gardiner (en oppvendt og en nedvendt) tar i lengderetningen, og deretter beregne totallengden.

Steg 3: Beregn hvor mye to naboparabler overlapper

Vi ser på figuren: gardinene er 150 cm brede (langs tøyets lengderetning) og 70 cm høye. Tøyrullen er 140 cm bred.

En parabel står med åpningen oppover, og den neste er snudd (åpningen nedover) og forskjøvet slik at de passer sammen. Bunnpunktet av den øvre parabelen er i høyde 70 cm, og toppunktet av den nedre er i høyde 70 cm.

Vi plasserer den oppvendte parabelen slik:

Den nedvendte parabelen (snudd og forskjøvet til høyde 70, med toppunkt i \((d, 70)\)) er:

For at gardinene akkurat skal passe i høyden 140 cm (tøyets bredde), må den oppvendte parabelen nå opp til 70 cm øverst, og den nedvendte ned til 70 cm øverst -- men tøyet er 140 cm bredt, som er nøyaktig \(2 \times 70\) cm.

For å bruke så lite tøy som mulig, plasseres gardinene slik at parablene er forskjøvet minst mulig. Den nedvendte parabelen er så nær den oppvendte som mulig uten å overlappe.

Gardinene tangerer hverandre der kurvene møtes. Vi setter \(y_1 = y_2\):

For at kurvene skal tangere (nøyaktig ett krysningspunkt), må diskriminanten være null:

Avstanden mellom toppunktene til to naboparabler er \(d = 75\sqrt{2} \approx 106{,}07\) cm.

Steg 4: Beregn total lengde for 8 gardiner

Fra figuren plasseres gardinene i to rader (over og under) på tøyrullen med bredde 140 cm. Fire gardiner plasseres i bredden: to oppvendte og to nedvendte, alternerende.

I lengderetningen trengs plass for fire parabler (starten av den første til slutten av den siste). Det første gardinets halve bredde stikker ut i starten, og det siste gardinets halve bredde stikker ut i slutten.

Med fire gardiner i en rad trengs 75 cm (halve bredden av første gardin) + 3 mellomrom av \(75\sqrt{2}\) cm + 75 cm (halve bredden av siste gardin):

Men fra figuren ser vi at det er to rader med fire gardiner, totalt åtte gardiner fra ett tøystykke. Tøyet har bredde 140 cm = 2 \(\times\) 70 cm, slik at to rader med gardiner (en oppvendt og en nedvendt) nettopp fyller bredden.

For fire gardiner i en enkelt rad (som i figuren) ser vi at mønsteret er: gardinene veksler mellom oppvendt og nedvendt. Vi trenger halv bredde (75 cm) i starten, deretter \(d = 75\sqrt{2}\) mellom hvert bunnpunkt, og halv bredde (75 cm) på slutten.

Med fire gardiner i bredden (i figuren) trengs fire toppunkter langs lengden. Mellom fire toppunkter er det tre mellomrom:

For åtte gardiner trenger vi to slike rader, altså to lengder:

Men fra figuren ser det ut som alle åtte gardinene klippes fra samme tøystykke i to lag (øvre og nedre halvdel av tøybredden). I så fall er det fire gardiner per rad og to rader oppover, og alle åtte gardinene klippes fra ett stykke med lengde:

Ser vi nøyere på figuren, vises det at tøyet har bredde 140 cm og at det er to rader med fire gardiner (8 gardiner totalt) fra samme stykke. To gardiner i høyden fyller 140 cm (2 \(\times\) 70 cm), og fire sett langs lengden.