Oppgave 1 (2 poeng)

Steg 1: Finn nullpunktene med abc-formelen:

På Del 1 kan vi godt se at \(x^2 + 7x + 6 = (x+1)(x+6)\) ved sum og produkt (to tall som ganget gir 6 og lagt sammen gir 7). Det går raskere. Men for å vise fram en sikker prosedyre velger vi abc-formelen først — sensoren ser tydelig at vi behersker den.

Det gir \(x_1 = \dfrac{-7-5}{2} = -6\) og \(x_2 = \dfrac{-7+5}{2} = -1\). Med faktoriseringsformelen \(ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)\) får vi

Steg 2: Fortegnslinje:

Nullpunktene \(x = -6\) og \(x = -1\) deler tallinja i tre områder. Vi tegner en fortegnslinje for hver faktor og deretter for produktet:

Faktor	\(x < -6\)	\(-6 < x < -1\)	\(x > -1\)
\(x + 6\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)
\(x + 1\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)
Produkt	\(+\)	\(-\)	\(+\)

Tegnregelen forklarer hvert felt: \((-)\cdot(-) = (+)\), \((+)\cdot(-) = (-)\), \((+)\cdot(+) = (+)\). I selve nullpunktene blir produktet \(0\).

Uttrykket er negativt eller null når \(-6 \leq x \leq -1\). Endepunktene er med fordi ulikheten er \(\leq\).

Oppgave 2 (4 poeng)

a) Løsning ved regning (innsettingsmetoden):

Vi setter uttrykket for \(y\) fra likning (1) inn i likning (2):

Vi løser andregradslikningen ved faktorisering. To tall som ganget gir \(-6\) og lagt sammen gir \(1\) er \(3\) og \(-2\):

Vi finner \(y\) for hver \(x\)-verdi:

• \(x = -3\): \(y = -(-3)^2 + 4 = -9 + 4 = -5\)
• \(x = 2\): \(y = -(2)^2 + 4 = -4 + 4 = 0\)

Kontroll i likning (2): \(-3 - (-5) = 2\) ✓    \(2 - 0 = 2\) ✓

b) Grafisk løsning:

Vi skriver likningene som funksjoner av \(x\):

For den rette linja \(y_2 = x - 2\) holder det med tre punkter (gullstandarden — to gir linja, det tredje er kontroll). Vi velger \(x = -3,\ 0,\ 3\):

\(x\)	\(-3\)	\(0\)	\(3\)
\(y_2 = x - 2\)	\(-5\)	\(-2\)	\(1\)

For parabelen \(y_1 = -x^2 + 4\) er snar­veien å faktorisere først:

Det gir nullpunkter \(x = -2\) og \(x = 2\). Toppunktet ligger midt mellom nullpunktene fordi parabelen er symmetrisk, altså i \(x = 0\) der \(y = -0^2 + 4 = 4\). Tre punkter er nok når man har dette grepet:

\(x\)	\(-2\)	\(0\) (toppunkt)	\(2\)
\(y_1 = -x^2 + 4\)	\(0\)	\(4\)	\(0\)

Vi tegner grafene og leser av skjæringspunktene \((-3, -5)\) og \((2, 0)\) — nøyaktig de samme vi fant ved regning.

Grafisk løsning:

(Skjæringspunktene leses av som (-3, -5) og (2, 0) — samme svar som ved regning.)

Oppgave 3 (3 poeng)

Steg 1: Finn en hel rot:

Test \(x = 1\) først — det er gratis å sjekke. Når du setter inn \(x = 1\) blir alle \(x\)-leddene bare \(1\), så du står igjen med summen av koeffisientene:

Altså er \(x = 1\) ikke en rot. Vi prøver de andre heltallsdivisorene av konstantleddet \(8\): \(\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4,\ \pm 8\). Test \(x = 2\):

Altså er \(x = 2\) en rot, og dermed er \((x - 2)\) en faktor.

Steg 2: Polynomdivisjon:

Vi deler \(2x^3 + 3x^2 - 18x + 8\) på \((x - 2)\):

  (2x³ + 3x² − 18x + 8) : (x − 2) = 2x² + 7x − 4
 −(2x³ − 4x²)
   ─────────
         7x² − 18x
        −(7x² − 14x)
         ─────────
              −4x + 8
             −(−4x + 8)
              ───────
                    0

Altså:

Steg 3: Løs andregradslikningen \(2x^2 + 7x - 4 = 0\):

Dette gir:

Oppgave 4 (2 poeng)

For at likningen skal være en identitet, må venstre side og høyre side være like for alle \(x\). Vi utvider venstre side med kvadratsetningen \((x+b)^2 = x^2 + 2bx + b^2\):

Vi sammenligner koeffisientene med høyresiden \(x^2 + 8x + c\):

Ledd	Venstre	Høyre
\(x^2\)	\(a\)	\(1\)
\(x\)	\(2ab\)	\(8\)
konstant	\(ab^2\)	\(c\)

Fra første rad leses \(a\) av direkte: det er ikke noe synlig tall foran \(x^2\) på høyresiden, så koeffisienten er \(1\). Altså må \(a = 1\). Da forenkles resten — \(a\) "forsvinner" fra utregningen:

Fra andre rad med \(a = 1\): \(2 \cdot 1 \cdot b = 8 \;\Rightarrow\; b = 4\).

Fra tredje rad med \(a = 1\): \(c = 1 \cdot 4^2 = 16\).

Kontroll: \(1 \cdot (x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16\) ✓

Oppgave 5 (2 poeng)

a) Tall nummer 8:

Se nøye på radene Susanne har skrevet og merk to ting:

• Andre faktor er rad­nummeret: rad 1 har 1, rad 2 har 2, rad 3 har 3, rad 4 har 4.
• Første faktor er én lavere enn andre: \(0,\ 1,\ 2,\ 3\).
• Konstantleddet er alltid \(+1\).

For rad \(n\) er mønsteret derfor \((n-1) \cdot n + 1\). Sjekk mot tallfølgen:

• \(n = 1\): \(0 \cdot 1 + 1 = 1\) ✓
• \(n = 2\): \(1 \cdot 2 + 1 = 3\) ✓
• \(n = 3\): \(2 \cdot 3 + 1 = 7\) ✓
• \(n = 4\): \(3 \cdot 4 + 1 = 13\) ✓
• \(n = 5\): \(4 \cdot 5 + 1 = 21\) ✓ (matcher femte tall i tallfølgen)

For \(n = 8\):

b) Generell formel:

Ut fra mønsteret er det tydelig at tall nummer \(n\) er gitt ved:

Kontroll: Vi sjekker noen verdier mot tallfølgen:

• \(a_1 = 1 - 1 + 1 = 1\) ✓
• \(a_2 = 4 - 2 + 1 = 3\) ✓
• \(a_3 = 9 - 3 + 1 = 7\) ✓
• \(a_4 = 16 - 4 + 1 = 13\) ✓
• \(a_5 = 25 - 5 + 1 = 21\) ✓
• \(a_8 = 64 - 8 + 1 = 57\) ✓

Oppgave 6 (1 poeng)

Siden vinkel \(B = 90°\), er trekanten rettvinklet med det rette hjørnet i \(B\). Det betyr at sidene \(AB\) og \(BC\) er kateter, og \(AC\) er hypotenusen.

Tangens til vinkel \(A\) er definert som forholdet mellom motstående katet og hosliggende katet:

To tall delt på hverandre blir bare \(1\) hvis tallene er like. Derfor må \(BC = AB\), altså at de to katetene er like lange.

Vinkel \(A\) må derfor være \(45°\), og siden vinkelsummen i en trekant er \(180°\), blir vinkel \(C = 180° - 90° - 45° = 45°\).

Trekanten er altså en likebeint rettvinklet trekant med:

• Rettvinklet hjørne i \(B\)
• Like lange kateter \(AB = BC\)
• Spisse vinkler på \(45°\) hver (i \(A\) og \(C\))

Eksempel: La \(AB = BC = 1\). Da blir hypotenusen \(AC = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).

Skisse:

(rett vinkel i \(B\); \(45°\) i \(A\) og \(C\); kateter \(AB = BC = 1\); hypotenus \(AC = \sqrt{2}\))

Oppgave 7 (5 poeng)

a) Vis at \(\sin 30° = \tfrac{1}{2}\) og \(\cos 30° = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\):

Trekanten ovenfor er en likebeint trekant der toppvinkelen er \(60°\) og begge de skrå sidene er \(4\). De to base­vinklene blir også \(60°\), så trekanten er likesidet (alle sider \(= 4\), alle vinkler \(= 60°\)).

Når vi tegner høyden fra toppen, deler den den likesidede trekanten i to kongruente, rettvinklede trekanter. Disse to har vinklene \(30°,\ 60°,\ 90°\) (toppvinkelen halveres til \(2 \cdot 30°\), basevinkelen er fortsatt \(60°\), og høyden står vinkelrett på grunnlinjen). Den deler også grunnlinjen \(4\) i to like deler på \(2\). Vi får en rettvinklet trekant med:

• Hypotenus = \(4\) (siden på den likesidede trekanten)
• Motstående katet til \(30°\)-vinkelen = halve grunnlinjen = \(2\)
• Hosliggende katet til \(30°\)-vinkelen = høyden \(h\)

Pythagoras gir høyden:

Nå kan vi bruke definisjonene av sinus og cosinus i den rettvinklede trekanten:

b) Areal av trekanten nedenfor:

Trekanten nedenfor har sidene \(a = 4\) og \(b = 10\sqrt{3}\), med mellomliggende vinkel \(V = 30°\). Vi bruker arealsetningen:

c) Omkrets av trekanten nedenfor:

Vi mangler den tredje siden \(c\). Vi bruker cosinussetningen der \(c\) er motstående den kjente vinkelen \(30°\):

Forenkling av \(\sqrt{196}\) på Del 1: Faktoriser inn­under roten — \(196 = 2 \cdot 98 = 2 \cdot 2 \cdot 49 = 4 \cdot 49\). Da blir \(\sqrt{196} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{49} = 2 \cdot 7 = 14\). Slike høye tall under rota kan man nesten alltid faktorisere ut til kjente kvadrater.

Omkretsen er summen av de tre sidene — ikke glem å legge sammen til slutt:

Oppgave 8 (4 poeng)

a) Rasjonal funksjon uten nullpunkt og med to vertikale asymptoter:

For en rasjonal funksjon \(f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}\):

• Nullpunkt får vi der telleren \(P(x) = 0\) (og nevneren ikke er null).
• Vertikal asymptote får vi der nevneren \(Q(x) = 0\) (og telleren ikke er null).

For å ha to vertikale asymptoter må nevneren ha to forskjellige reelle nullpunkter. For å ha ingen nullpunkt må telleren ikke ha reelle nullpunkter (eller være en konstant ulik null).

Det enkleste er å la telleren være en konstant, og la nevneren ha to nullpunkter, for eksempel \(x = -1\) og \(x = 1\):

Kontroll (argument):

• Telleren er konstant \(= 1 \neq 0\) for alle \(x\), så \(f\) har ingen nullpunkt. ✓
• Nevneren \((x-1)(x+1)\) er null for \(x = -1\) og \(x = 1\). I begge punktene er telleren \(= 1 \neq 0\), så det er to vertikale asymptoter ved \(x = -1\) og \(x = 1\). ✓

b) Rasjonal funksjon med horisontal asymptote \(y = 2\) som ikke skjærer \(y\)-aksen:

For at en rasjonal funksjon skal ha horisontal asymptote \(y = 2\), må telleren og nevneren ha samme grad, og forholdet mellom ledende koeffisienter må være \(2\).

For at grafen ikke skal skjære \(y\)-aksen, må \(g\) være udefinert i \(x = 0\). Det får vi til ved å la nevneren være null nettopp i \(x = 0\) (altså inneholde faktoren \(x\)).

Hvis vi prøver det enklest mulige uttrykket \(g(x) = \dfrac{2x}{x}\) får vi \(g(x) = 2\) — en konstant funksjon uten asymptote i det hele tatt. Vi må legge til noe i telleren som ikke kanselleres av \(x\). Med telleren \(2x + 1\) og nevneren \(x\) får vi en ekte rasjonal funksjon:

Kontroll (argument):

• Når \(x \to \pm \infty\), går \(\dfrac{1}{x} \to 0\), så \(g(x) \to 2\). Altså horisontal asymptote \(y = 2\). ✓
• Nevneren er \(0\) for \(x = 0\), så \(g\) er ikke definert i \(x = 0\). Dermed kan grafen umulig skjære \(y\)-aksen. ✓
• (Bonus: definisjonsmengden er \(x \neq 0\), og grafen har vertikal asymptote \(x = 0\).)

Oppgave 9 (3 poeng)

a) Forklar at \(f'(4) = 5\):

Den deriverte \(f'(x)\) i et punkt er stigningstallet til tangenten til grafen i det punktet.

I oppgaven er det opplyst at den rette linjen er en tangent til grafen til \(f\), og at den berører grafen i punktet \((4, 0)\). Stigningstallet til tangenten er oppgitt til \(5\).

Derfor er stigningstallet til grafen i \(x = 4\) lik \(5\), dvs.

b) Bestem \(f'(x)\):

En andregradsfunksjon kan alltid skrives på den generelle formen

som derivert ledd for ledd gir

Vi har to opplysninger om den deriverte:

• I bunnpunktet \((-1,\; -12{,}5)\) er tangenten vannrett, så \(f'(-1) = 0\).
• I tangeringspunktet \((4,\; 0)\) er stigningstallet \(5\), så \(f'(4) = 5\) (fra a).

Det gir et likningssett med ukjente \(a\) og \(b\):

Subtraherer vi likningene over, faller \(b\) ut: \((8a + b) - (-2a + b) = 5 - 0\), altså \(10a = 5\), så \(a = \tfrac{1}{2}\). Innsetting gir \(b = 2a = 1\).

Kontroll: \(f'(-1) = -1 + 1 = 0\) ✓    \(f'(4) = 4 + 1 = 5\) ✓

Oppgave 1 (5 poeng)

a) Utslipp ved 50 km/h:

Vi setter \(x = 50\) inn i \(U(x)\):

b) Fart som gir minst utslipp:

Vi deriverer \(U(x)\) og setter \(U'(x) = 0\):

Sett \(U'(x) = 0\):

Dette ligger innenfor definisjonsmengden (\(30 < x < 110\)).

Vi sjekker at det er et minimum ved å se på fortegnet til \(U'(x)\): for \(x < 71{,}45\) er \(U'(x) < 0\), og for \(x > 71{,}45\) er \(U'(x) > 0\). Altså er \(x \approx 71{,}45\) et bunnpunkt.

Minste utslipp:

c) Totalt utslipp ved 90 km/h i 20 minutter:

Først finner vi utslippet per kilometer ved \(90\) km/h:

20 minutter er \(\tfrac{20}{60} = \tfrac{1}{3}\) time. Tilbakelagt distanse:

Totalt utslipp:

Oppgave 2 (5 poeng)

a) Lengden av \(AB\):

I trekant \(ACB\) kjenner vi to sider og mellomliggende vinkel:

• \(AC = \sqrt{2}\)
• \(CB = 1\)
• \(\angle ACB = 105°\)

Vi bruker cosinussetningen:

I CAS/kalkulator slår vi opp \(\cos(105°) \approx -0{,}2588\) (sett kalkulator/CAS i gradmodus). Da får vi:

b) Arealet av trekanten \(ABD\):

I trekant \(ABD\) kjenner vi vinklene:

• \(\angle A = 45°\)
• \(\angle D = 60°\)
• \(\angle B = 180° - 45° - 60° = 75°\)

og vi nettopp fant siden \(AB \approx 1{,}932\) (som ligger mellom vinklene \(A\) og \(B\)).

Vi bruker sinussetningen til å finne en annen side, for eksempel \(AD\) (motstående \(\angle B = 75°\)):

Nå bruker vi arealsetningen med de to sidene \(AB\) og \(AD\) og mellomliggende vinkel \(A = 45°\):

Kontroll med en annen formel: \(BD = AB \cdot \dfrac{\sin A}{\sin D} \approx 1{,}932 \cdot \dfrac{0{,}7071}{0{,}8660} \approx 1{,}578\). Da blir arealet ved arealsetningen i \(B\): \(T \approx \tfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BD \cdot \sin B \approx \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}932 \cdot 1{,}578 \cdot 0{,}9659 \approx 1{,}47\) ✓

Oppgave 3 (6 poeng)

a) Lineær modell \(f\) (Tor):

Med \(x\) = antall år etter 2013, har vi punktene \((0,\, 9000)\) og \((9,\, 2500)\). Stigningstallet er:

Skjæringspunktet med \(y\)-aksen er \(b = 9000\). Modellen blir:

Hva modellen forteller: Vipebestanden synker med ca. \(722\) par hvert år. Modellen vil gi \(0\) par ved \(x = 9000/(6500/9) = 12{,}46\), altså rundt 2025/2026 – noe som understreker det dystre bildet hvis nedgangen virkelig fortsetter lineært.

b) Eksponentiell modell \(g\) (Egil):

Vi skriver \(g(x) = 9000 \cdot k^x\) der \(k\) er den årlige vekstfaktoren. Bruker \(g(9) = 2500\):

Modellen blir:

Hva modellen forteller: Vipebestanden synker med ca. \(1 - 0{,}8672 = 0{,}1328\), dvs. ca. 13,3 % per år. I motsetning til den lineære modellen vil bestanden aldri nå null, men nærme seg \(0\) når \(x \to \infty\).

c) Den justerte modellen \(q\):

Egil tar utgangspunkt i den eksponentielle modellen \(p\), men antar nå at bestanden ikke vil gå mot null fordi hekkeområdene bevares. Den vil stabilisere seg mot en positiv nedre grense (horisontal asymptote). Den modifiserte modellen er på formen

der \(C\) er asymptoten (det stabile bestandsnivået), og \(A \cdot k^x\) representerer den «overflødige» bestanden over asymptoten, som synker eksponentielt.

Fra grafene leser vi av at:

• \(p(0) = 7000\) og \(p(9) = 500\) (den rene eksponentielle delen, uten asymptote-skift).
• \(q(0) = 9000\) og \(q(9) = 2500\) (samme start- og slutt­bestand som data­ene).
• Den horisontale asymptoten til \(q\) er \(C = 9000 - 7000 = 2500 - 500 = 2000\) (samme «løft» i begge ender).

Egils antakelser:

1. Bestanden vil ikke dø ut, men stabilisere seg rundt 2000 par takket være bevaring av hekkeområdene.
2. Den delen av bestanden som ligger over det stabile nivået, vil avta eksponentielt med samme prosentvise nedgang som i den opprinnelige eksponentielle modellen \(p\).

Vi bestemmer parametrene i \(p(x) = A \cdot k^x\):

Da blir:

Bestem \(q(15)\) og \(q(20)\) med CAS/kalkulator:

Vi skriver 0.7458^15 direkte i CAS/kalkulator og får \(0{,}7458^{15} \approx 0{,}01228\).

På samme måte: 0.7458^20 i CAS gir \(0{,}7458^{20} \approx 0{,}002834\).

Oppgave 4 (3 poeng)

Steg 1: Finn formelen for antall pinner og kuler:

Vi observerer mønsteret:

Figur \(n\)	Pinner	Kuler
1	1	0
2	3	2
3	5	6
4	7	12

Pinner: 1, 3, 5, 7, ... Følgen øker med 2 per steg, så

Kuler: 0, 2, 6, 12, ... Differansene er 2, 4, 6 (øker med 2 per steg, dvs. andre­differansen er konstant 2 – typisk for et andregradsuttrykk). Vi gjenkjenner mønsteret som

Kontroll: \(1 \cdot 0 = 0\), \(2 \cdot 1 = 2\), \(3 \cdot 2 = 6\), \(4 \cdot 3 = 12\). ✓

Steg 2: Lag et program (Python):

Vi skriver et program som summerer pinnene og kulene over alle 50 figurene:

# Program som regner ut totalt antall pinner og kuler
# for de 50 første figurene i Kristians serie
antall_figurer = 50
totalt_pinner = 0
totalt_kuler = 0

for n in range(1, antall_figurer + 1):
    pinner_i_figur = 2 * n - 1   # 1, 3, 5, 7, ...
    kuler_i_figur = n * (n - 1)  # 0, 2, 6, 12, ...
    totalt_pinner += pinner_i_figur
    totalt_kuler += kuler_i_figur

print("Totalt antall pinner:", totalt_pinner)
print("Totalt antall kuler :", totalt_kuler)
    

Steg 3: Hva skriver programmet ut?

Vi kjører Python-programmet (eller bruker sum()-funksjonen i CAS) og leser av utskriften. Vi kan også sjekke svarene ved å bruke sum direkte i Python:

totalt_pinner = sum(2*n - 1 for n in range(1, 51))   # 2500
totalt_kuler  = sum(n*(n - 1) for n in range(1, 51)) # 41650
    

Programmet vil skrive ut:

Totalt antall pinner: 2500
Totalt antall kuler : 41650