Løsningsforslag – Matematikk 1T Vår 2026

Eksamen MAT1021 – 19.05.2026

Oppgave 1 (2 poeng)

Steg 1: Faktoriser uttrykket

Vi finner nullpunktene til \(x^2 + 7x + 6 = 0\). Vi ser etter to tall som ganget gir 6 og lagt sammen gir 7. Det er \(1\) og \(6\):

Vi kan også verifisere ved abc-formelen:

Dette gir \(x_1 = -1\) og \(x_2 = -6\).

Steg 2: Fortegnslinje

Vi setter opp en fortegnslinje for \((x+1)(x+6)\):

Faktor	\(x < -6\)	\(-6 < x < -1\)	\(x > -1\)
\(x + 6\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)
\(x + 1\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)
Produkt	\(+\)	\(-\)	\(+\)

Uttrykket er negativt eller null når \(-6 \leq x \leq -1\). Likhet får vi i selve nullpunktene (siden ulikheten er \(\leq\)).

Oppgave 2 (4 poeng)

a) Løsning ved regning (innsettingsmetoden)

Vi setter uttrykket for \(y\) fra likning (1) inn i likning (2):

Vi løser andregradslikningen ved faktorisering. To tall som ganget gir \(-6\) og lagt sammen gir \(1\) er \(3\) og \(-2\):

Vi finner \(y\) for hver \(x\)-verdi:

• \(x = -3\): \(y = -(-3)^2 + 4 = -9 + 4 = -5\)
• \(x = 2\): \(y = -(2)^2 + 4 = -4 + 4 = 0\)

Kontroll i likning (2): \(-3 - (-5) = 2\) ✓    \(2 - 0 = 2\) ✓

b) Grafisk løsning

Vi skriver likningene som funksjoner av \(x\):

For å tegne parabelen finner vi noen punkter:

\(x\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(y_1 = -x^2+4\)	\(-5\)	\(0\)	\(3\)	\(4\)	\(3\)	\(0\)	\(-5\)
\(y_2 = x-2\)	\(-5\)	\(-4\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)

Vi ser at de to grafene skjærer hverandre i \((-3, -5)\) og \((2, 0)\) – nøyaktig de samme punktene vi fant ved regning.

Oppgave 3 (3 poeng)

Steg 1: Finn en hel rot

Vi prøver heltallsdivisorene av konstantleddet 8: \(\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8\).

Test \(x = 2\):

Altså er \(x = 2\) en rot, og dermed er \((x - 2)\) en faktor.

Steg 2: Polynomdivisjon

Vi deler \(2x^3 + 3x^2 - 18x + 8\) på \((x - 2)\):

  (2x³ + 3x² − 18x + 8) : (x − 2) = 2x² + 7x − 4
   2x³ − 4x²
   ─────────
         7x² − 18x
         7x² − 14x
         ─────────
              −4x + 8
              −4x + 8
              ───────
                    0

Altså:

Steg 3: Løs andregradslikningen \(2x^2 + 7x - 4 = 0\)

Dette gir:

Oppgave 4 (2 poeng)

For at likningen skal være en identitet, må venstre side og høyre side være like for alle \(x\). Vi utvider venstre side med kvadratsetningen \((x+b)^2 = x^2 + 2bx + b^2\):

Vi sammenligner koeffisientene med høyresiden \(x^2 + 8x + c\):

Ledd	Venstre	Høyre
\(x^2\)	\(a\)	\(1\)
\(x\)	\(2ab\)	\(8\)
konstant	\(ab^2\)	\(c\)

Fra første rad: \(a = 1\).

Fra andre rad: \(2 \cdot 1 \cdot b = 8 \;\Rightarrow\; b = 4\).

Fra tredje rad: \(c = 1 \cdot 4^2 = 16\).

Kontroll: \(1 \cdot (x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16\) ✓

Oppgave 5 (2 poeng)

a) Tall nummer 8

Vi ser at mønsteret for tall nummer \(n\) er \((n-1) \cdot n + 1\). Den \(n\)-te raden hos Susanne bruker faktorene \((n-1)\) og \(n\):

• \(n = 1\): \(0 \cdot 1 + 1 = 1\)
• \(n = 2\): \(1 \cdot 2 + 1 = 3\)
• \(n = 3\): \(2 \cdot 3 + 1 = 7\)
• \(n = 4\): \(3 \cdot 4 + 1 = 13\)

For \(n = 8\):

b) Generell formel

Ut fra mønsteret er det tydelig at tall nummer \(n\) er gitt ved:

Kontroll: Vi sjekker noen verdier mot tallfølgen:

• \(a_1 = 1 - 1 + 1 = 1\) ✓
• \(a_2 = 4 - 2 + 1 = 3\) ✓
• \(a_3 = 9 - 3 + 1 = 7\) ✓
• \(a_4 = 16 - 4 + 1 = 13\) ✓
• \(a_5 = 25 - 5 + 1 = 21\) ✓
• \(a_8 = 64 - 8 + 1 = 57\) ✓

Oppgave 6 (1 poeng)

Siden vinkel \(B = 90°\), er trekanten rettvinklet med det rette hjørnet i \(B\). Det betyr at sidene \(AB\) og \(BC\) er kateter, og \(AC\) er hypotenusen.

Tangens til vinkel \(A\) er definert som forholdet mellom motstående katet og hosliggende katet:

Det betyr at \(BC = AB\), altså at de to katetene er like lange.

Vinkel \(A\) må derfor være \(45°\), og siden vinkelsummen i en trekant er \(180°\), blir vinkel \(C = 180° - 90° - 45° = 45°\).

Trekanten er altså en likebeint rettvinklet trekant med:

• Rettvinklet hjørne i \(B\)
• Like lange kateter \(AB = BC\)
• Spisse vinkler på \(45°\) hver (i \(A\) og \(C\))

Eksempel: La \(AB = BC = 1\). Da blir hypotenusen \(AC = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).

Skisse (i tekst):

       C
       |\
       | \
     1 |  \  √2
       |   \
       |____\
       B  1  A
    

(rett vinkel i \(B\); \(45°\) i \(A\) og \(C\))

Oppgave 7 (5 poeng)

a) Vis at \(\sin 30° = \tfrac{1}{2}\) og \(\cos 30° = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Trekanten ovenfor er en likebeint trekant der toppvinkelen er \(60°\) og begge de skrå sidene er \(4\). De to base­vinklene blir også \(60°\), så trekanten er likesidet (alle sider \(= 4\), alle vinkler \(= 60°\)).

Når vi tegner høyden fra toppen, deler den den likesidede trekanten i to kongruente, rettvinklede trekanter. Den deler også toppvinkelen \(60°\) i to like vinkler på \(30°\) hver, og base­linjen \(4\) i to like deler på \(2\). Vi får en rettvinklet trekant med:

• Hypotenus = \(4\) (siden på den likesidede trekanten)
• Motstående katet til \(30°\)-vinkelen = halve grunnlinjen = \(2\)
• Hosliggende katet til \(30°\)-vinkelen = høyden \(h\)

Pythagoras gir høyden:

Nå kan vi bruke definisjonene av sinus og cosinus i den rettvinklede trekanten:

b) Areal av trekanten nedenfor

Trekanten nedenfor har sidene \(a = 4\) og \(b = 10\sqrt{3}\), med mellomliggende vinkel \(V = 30°\). Vi bruker arealsetningen:

c) Omkrets av trekanten nedenfor

Vi mangler den tredje siden \(c\). Vi bruker cosinussetningen der \(c\) er motstående den kjente vinkelen \(30°\):

Omkretsen er summen av de tre sidene:

Oppgave 8 (4 poeng)

a) Rasjonal funksjon uten nullpunkt og med to vertikale asymptoter

For en rasjonal funksjon \(f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}\):

• Nullpunkt får vi der telleren \(P(x) = 0\) (og nevneren ikke er null).
• Vertikal asymptote får vi der nevneren \(Q(x) = 0\) (og telleren ikke er null).

For å ha to vertikale asymptoter må nevneren ha to forskjellige reelle nullpunkter. For å ha ingen nullpunkt må telleren ikke ha reelle nullpunkter (eller være en konstant ulik null).

Det enkleste er å la telleren være en konstant, og la nevneren ha to nullpunkter, for eksempel \(x = -1\) og \(x = 1\):

Kontroll (argument):

• Telleren er konstant \(= 1 \neq 0\) for alle \(x\), så \(f\) har ingen nullpunkt. ✓
• Nevneren \((x-1)(x+1)\) er null for \(x = -1\) og \(x = 1\). I begge punktene er telleren \(= 1 \neq 0\), så det er to vertikale asymptoter ved \(x = -1\) og \(x = 1\). ✓

b) Rasjonal funksjon med horisontal asymptote \(y = 2\) som ikke skjærer \(y\)-aksen

For at en rasjonal funksjon skal ha horisontal asymptote \(y = 2\), må telleren og nevneren ha samme grad, og forholdet mellom ledende koeffisienter må være \(2\).

For at grafen ikke skal skjære \(y\)-aksen, må \(g\) være udefinert i \(x = 0\). Det får vi til ved å la nevneren være null nettopp i \(x = 0\) (altså inneholde faktoren \(x\)).

Vi velger telleren \(2x + 1\) og nevneren \(x\):

Kontroll (argument):

• Når \(x \to \pm \infty\), går \(\dfrac{1}{x} \to 0\), så \(g(x) \to 2\). Altså horisontal asymptote \(y = 2\). ✓
• Nevneren er \(0\) for \(x = 0\), så \(g\) er ikke definert i \(x = 0\). Dermed kan grafen umulig skjære \(y\)-aksen. ✓
• (Bonus: definisjonsmengden er \(x \neq 0\), og grafen har vertikal asymptote \(x = 0\).)

Oppgave 9 (3 poeng)

a) Forklar at \(f'(4) = 5\)

Den deriverte \(f'(x)\) i et punkt er stigningstallet til tangenten til grafen i det punktet.

I oppgaven er det opplyst at den rette linjen er en tangent til grafen til \(f\), og at den berører grafen i punktet \((4, 0)\). Stigningstallet til tangenten er oppgitt til \(5\).

Derfor er stigningstallet til grafen i \(x = 4\) lik \(5\), dvs.

b) Bestem \(f'(x)\)

Siden \(f\) er en andregradsfunksjon med bunnpunkt i \((-1,\; -12{,}5)\), kan vi skrive den på toppunktsformen:

Vi deriverer:

Bruker betingelsen \(f'(4) = 5\):

Da blir:

Kontroll: \(f'(4) = 4 + 1 = 5\) ✓. Vi kan også sjekke at \(f(4) = 0\):

Oppgave 1 (5 poeng)

a) Utslipp ved 50 km/h

Vi setter \(x = 50\) inn i \(U(x)\):

b) Fart som gir minst utslipp

Vi deriverer \(U(x)\) og setter \(U'(x) = 0\):

Sett \(U'(x) = 0\):

Dette ligger innenfor definisjonsmengden (\(30 < x < 110\)).

Vi sjekker at det er et minimum ved å se på fortegnet til \(U'(x)\): for \(x < 71{,}45\) er \(U'(x) < 0\), og for \(x > 71{,}45\) er \(U'(x) > 0\). Altså er \(x \approx 71{,}45\) et bunnpunkt.

Minste utslipp:

c) Totalt utslipp ved 90 km/h i 20 minutter

Først finner vi utslippet per kilometer ved \(90\) km/h:

20 minutter er \(\tfrac{20}{60} = \tfrac{1}{3}\) time. Tilbakelagt distanse:

Totalt utslipp:

Oppgave 2 (5 poeng)

a) Lengden av \(AB\)

I trekant \(ACB\) kjenner vi to sider og mellomliggende vinkel:

• \(AC = \sqrt{2}\)
• \(CB = 1\)
• \(\angle ACB = 105°\)

Vi bruker cosinussetningen:

Med \(\cos(105°) \approx -0{,}2588\) får vi:

Eksakt form: Vi har \(\cos 105° = \cos(60° + 45°) = \tfrac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}\), så \(2\sqrt{2} \cdot \cos 105° = \tfrac{2\sqrt{2}(\sqrt{2}-\sqrt{6})}{4} = \tfrac{4 - 4\sqrt{3}}{4} = 1 - \sqrt{3}\). Det gir \(AB^2 = 3 - (1 - \sqrt{3}) = 2 + \sqrt{3}\), og dermed:

b) Arealet av trekanten \(ABD\)

I trekant \(ABD\) kjenner vi vinklene:

• \(\angle A = 45°\)
• \(\angle D = 60°\)
• \(\angle B = 180° - 45° - 60° = 75°\)

og vi nettopp fant siden \(AB \approx 1{,}932\) (som ligger mellom vinklene \(A\) og \(B\)).

Vi bruker sinussetningen til å finne en annen side, for eksempel \(AD\) (motstående \(\angle B = 75°\)):

Nå bruker vi arealsetningen med de to sidene \(AB\) og \(AD\) og mellomliggende vinkel \(A = 45°\):

Kontroll med en annen formel: \(BD = AB \cdot \dfrac{\sin A}{\sin D} \approx 1{,}932 \cdot \dfrac{0{,}7071}{0{,}8660} \approx 1{,}578\). Da blir arealet ved arealsetningen i \(B\): \(T \approx \tfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BD \cdot \sin B \approx \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}932 \cdot 1{,}578 \cdot 0{,}9659 \approx 1{,}47\) ✓

Oppgave 3 (6 poeng)

a) Lineær modell \(f\) (Tor)

Med \(x\) = antall år etter 2013, har vi punktene \((0,\, 9000)\) og \((9,\, 2500)\). Stigningstallet er:

Skjæringspunktet med \(y\)-aksen er \(b = 9000\). Modellen blir:

Hva modellen forteller: Vipebestanden synker med ca. \(722\) par hvert år. Modellen vil gi \(0\) par ved \(x = 9000/(6500/9) = 12{,}46\), altså rundt 2025/2026 – noe som understreker det dystre bildet hvis nedgangen virkelig fortsetter lineært.

b) Eksponentiell modell \(g\) (Egil)

Vi skriver \(g(x) = 9000 \cdot k^x\) der \(k\) er den årlige vekstfaktoren. Bruker \(g(9) = 2500\):

Modellen blir:

Hva modellen forteller: Vipebestanden synker med ca. \(1 - 0{,}8672 = 0{,}1328\), dvs. ca. 13,3 % per år. I motsetning til den lineære modellen vil bestanden aldri nå null, men nærme seg \(0\) når \(x \to \infty\).

c) Den justerte modellen \(q\)

Egil tar utgangspunkt i den eksponentielle modellen \(p\), men antar nå at bestanden ikke vil gå mot null fordi hekkeområdene bevares. Den vil stabilisere seg mot en positiv nedre grense (horisontal asymptote). Den modifiserte modellen er på formen

der \(C\) er asymptoten (det stabile bestandsnivået), og \(A \cdot k^x\) representerer den «overflødige» bestanden over asymptoten, som synker eksponentielt.

Fra grafene leser vi av at:

• \(p(0) = 7000\) og \(p(9) = 500\) (den rene eksponentielle delen, uten asymptote-skift).
• \(q(0) = 9000\) og \(q(9) = 2500\) (samme start- og slutt­bestand som data­ene).
• Den horisontale asymptoten til \(q\) er \(C = 9000 - 7000 = 2500 - 500 = 2000\) (samme «løft» i begge ender).

Egils antakelser:

1. Bestanden vil ikke dø ut, men stabilisere seg rundt 2000 par takket være bevaring av hekkeområdene.
2. Den delen av bestanden som ligger over det stabile nivået, vil avta eksponentielt med samme prosentvise nedgang som i den opprinnelige eksponentielle modellen \(p\).

Vi bestemmer parametrene i \(p(x) = A \cdot k^x\):

Da blir:

Bestem \(q(15)\) og \(q(20)\):

\(0{,}7458^{15} = e^{15 \ln 0{,}7458} = e^{15 \cdot (-0{,}2932)} = e^{-4{,}398} \approx 0{,}01228\).

\(0{,}7458^{20} = e^{20 \cdot (-0{,}2932)} = e^{-5{,}864} \approx 0{,}002836\).

Oppgave 4 (3 poeng)

Steg 1: Finn formelen for antall pinner og kuler

Vi observerer mønsteret:

Figur \(n\)	Pinner	Kuler
1	1	0
2	3	2
3	5	6
4	7	12

Pinner: 1, 3, 5, 7, ... Følgen øker med 2 per steg, så

Kuler: 0, 2, 6, 12, ... Differansene er 2, 4, 6 (øker med 2 per steg, dvs. andre­differansen er konstant 2 – typisk for et andregradsuttrykk). Vi gjenkjenner mønsteret som

Kontroll: \(1 \cdot 0 = 0\), \(2 \cdot 1 = 2\), \(3 \cdot 2 = 6\), \(4 \cdot 3 = 12\). ✓

Steg 2: Lag et program (Python)

Vi skriver et program som summerer pinnene og kulene over alle 50 figurene:

# Program som regner ut totalt antall pinner og kuler
# for de 50 første figurene i Kristians serie
antall_figurer = 50
totalt_pinner = 0
totalt_kuler = 0

for n in range(1, antall_figurer + 1):
    pinner_i_figur = 2 * n - 1   # 1, 3, 5, 7, ...
    kuler_i_figur = n * (n - 1)  # 0, 2, 6, 12, ...
    totalt_pinner += pinner_i_figur
    totalt_kuler += kuler_i_figur

print("Totalt antall pinner:", totalt_pinner)
print("Totalt antall kuler :", totalt_kuler)
    

Steg 3: Hva skriver programmet ut?

Vi kan også regne ut totalsummene direkte med kjente sumformler:

Totalt antall pinner: Dette er summen av de 50 første oddetallene:

Totalt antall kuler:

Programmet vil derfor skrive ut:

Totalt antall pinner: 2500
Totalt antall kuler : 41650